Нелинейное управление

Теория управления для нелинейных или нестационарных систем

Система управления с обратной связью . Желательно управлять системой (часто называемой установкой ) так, чтобы ее выход следовал желаемому опорному сигналу. Датчик контролирует выход, а контроллер вычитает фактический выход из желаемого опорного выхода и подает этот сигнал ошибки в систему, чтобы приблизить выход к опорному. В нелинейной системе управления по крайней мере один из блоков, система, датчик или контроллер, является нелинейным.

Нелинейная теория управления — это область теории управления , которая имеет дело с системами, которые являются нелинейными , изменчивыми во времени или и теми, и другими. Теория управления — это междисциплинарная отрасль инженерии и математики , которая занимается поведением динамических систем с входами и тем, как изменять выход путем изменения входных данных с помощью обратной связи , прямой связи или фильтрации сигналов . Управляемая система называется « установкой ». Один из способов заставить выход системы следовать желаемому опорному сигналу — это сравнить выход установки с желаемым выходом и обеспечить обратную связь с установкой для изменения выхода с целью приближения его к желаемому выходу.

Теория управления делится на две ветви. Линейная теория управления применяется к системам, состоящим из устройств, которые подчиняются принципу суперпозиции . Они управляются линейными дифференциальными уравнениями . Основной подкласс — это системы, которые, кроме того, имеют параметры, не меняющиеся со временем, называемые линейными инвариантными во времени (LTI) системами. Эти системы могут быть решены с помощью мощных математических методов частотной области большой общности, таких как преобразование Лапласа , преобразование Фурье , Z-преобразование , диаграмма Боде , корневой годограф и критерий устойчивости Найквиста .

Нелинейная теория управления охватывает более широкий класс систем, которые не подчиняются принципу суперпозиции. Она применяется к более реальным системам, поскольку все реальные системы управления нелинейны. Эти системы часто управляются нелинейными дифференциальными уравнениями . Математические методы, которые были разработаны для их обработки, более строгие и гораздо менее общие, часто применяются только к узким категориям систем. К ним относятся теория предельных циклов , отображения Пуанкаре , теория устойчивости Ляпунова и описывающие функции . Если интерес представляют только решения вблизи устойчивой точки, нелинейные системы часто можно линеаризовать, аппроксимируя их линейной системой, полученной путем разложения нелинейного решения в ряд , а затем можно использовать линейные методы. ^[1] Нелинейные системы часто анализируются с использованием численных методов на компьютерах , например, путем моделирования их работы с использованием языка моделирования . Даже если объект линейный, нелинейный контроллер часто может иметь привлекательные особенности, такие как более простая реализация, более высокая скорость, большая точность или сниженная энергия управления, которые оправдывают более сложную процедуру проектирования.

Примером нелинейной системы управления является система отопления, управляемая термостатом . Система отопления здания, такая как печь, имеет нелинейную реакцию на изменения температуры; она либо «включена», либо «выключена», она не имеет точного управления в ответ на разницу температур, которое имело бы пропорциональное (линейное) устройство. Поэтому печь выключена до тех пор, пока температура не опустится ниже уставки «включения» термостата, когда она включается. Из-за тепла, добавляемого печью, температура повышается, пока не достигнет уставки «выключения» термостата, который выключает печь, и цикл повторяется. Это циклическое изменение температуры около желаемой температуры называется предельным циклом и характерно для нелинейных систем управления.

Свойства нелинейных систем

Некоторые свойства нелинейных динамических систем

• Они не следуют принципу суперпозиции (линейности и однородности).
• Они могут иметь несколько изолированных точек равновесия.
• Они могут проявлять такие свойства, как предельный цикл , бифуркация , хаос .
• Конечное время выхода: решения нелинейных систем могут существовать не всегда.

Анализ и управление нелинейными системами

Существует несколько хорошо разработанных методов анализа нелинейных систем с обратной связью:

• Метод описания функции
• Метод фазовой плоскости
• Анализ устойчивости по Ляпунову
• Метод сингулярных возмущений
• Критерий Попова и круговой критерий абсолютной устойчивости
• Теорема о центральном многообразии
• Теорема о малом выигрыше
• Анализ пассивности

Существуют также методы проектирования управления для нелинейных систем. Их можно подразделить на методы, которые пытаются рассматривать систему как линейную в ограниченном диапазоне работы и используют (известные) методы линейного проектирования для каждой области:

• Планирование усиления

Те, которые пытаются ввести вспомогательную нелинейную обратную связь таким образом, чтобы систему можно было рассматривать как линейную для целей проектирования управления:

• Линеаризация обратной связи

И методы, основанные на Ляпунове :

• Редизайн Ляпунова
• Контрольно-Ляпуновская функция
• Нелинейное затухание
• Отступление
• Управление скользящим режимом

Нелинейный анализ обратной связи – Проблема Лурье

Блок-схема проблемы Лурье

Ранняя задача анализа нелинейной системы обратной связи была сформулирована А. И. Лурье . Системы управления, описываемые задачей Лурье, имеют прямой путь, который является линейным и неизменным во времени, и путь обратной связи, который содержит не имеющую памяти, возможно, изменяющуюся во времени, статическую нелинейность.

Линейную часть можно охарактеризовать четырьмя матрицами ( A , B , C , D ), а нелинейную часть — Φ( y ) с (секторной нелинейностью). ${\displaystyle {\frac {\Phi (y)}{y}}\in [a,b],\quad a<b\quad \forall y}$

Проблема абсолютной устойчивости

Учитывать:

1. ( A , B ) управляемо и ( C , A ) наблюдаемо
2. два действительных числа a , b, где a  <  b , определяющие сектор для функции Φ

Задача Лурье (также известная как задача абсолютной устойчивости) заключается в выводе условий, включающих только матрицу переноса H ( s ) и { a , b }, таких, что x  = 0 является глобально равномерно асимптотически устойчивым равновесием системы.

Существуют две известные неверные гипотезы по проблеме абсолютной устойчивости:

• Гипотеза Айзермана
• Гипотеза Калмана .

Графически эти гипотезы можно интерпретировать в терминах графических ограничений на график Φ( y ) x y или также на график d Φ/ dy x Φ/ y . ^[2] Существуют контрпримеры к гипотезам Айзермана и Калмана, такие, что нелинейность принадлежит сектору линейной устойчивости и единственное устойчивое равновесие сосуществует с устойчивым периодическим решением — скрытым колебанием .

Имеются две основные теоремы относительно задачи Лурье, дающие достаточные условия абсолютной устойчивости:

• Критерий круга (расширение критерия устойчивости Найквиста для линейных систем)
• Критерий Попова .

Теоретические результаты по нелинейному управлению

Теорема Фробениуса

Теорема Фробениуса — глубокий результат в дифференциальной геометрии. Применительно к нелинейному управлению она гласит следующее: дана система вида

${\displaystyle {\dot {x}}=\sum _{i=1}^{k}f_{i}(x)u_{i}(t)\,}$

где , — векторные поля, принадлежащие распределению , а — управляющие функции, интегральные кривые ограничены многообразием размерности , если и — инволютивное распределение. ${\displaystyle x\in R^{n}}$ ${\displaystyle f_{1},\dots ,f_{k}}$ ${\displaystyle \Delta }$ ${\displaystyle u_{i}(t)}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle \operatorname {span} (\Delta )=m}$ ${\displaystyle \Delta }$

Смотрите также

• Пассивация обратной связи
• Фазовая автоподстройка частоты
• Небольшая контрольная собственность

Ссылки

1. точка обрезки
2. Надери, Т.; Матерасси, Д.; Инноченти, Г.; Дженезио, Р. (2019). «Пересмотр гипотез Калмана и Айзермана с помощью графической интерпретации». IEEE Transactions on Automatic Control . 64 (2): 670–682. doi :10.1109/TAC.2018.2849597. ISSN  0018-9286. S2CID  59553748.

Дальнейшее чтение

• Лурье, А.И.; Постников, В. Н. (1944). «К теории устойчивости регулируемых систем». Прикладная математика и механика . 8 (3): 246–248.
• Видьясагар, М. (1993). Нелинейный системный анализ (2-е изд.). Englewood Cliffs: Prentice Hall. ISBN 978-0-13-623463-0.
• Исидори, А. (1995). Нелинейные системы управления (3-е изд.). Берлин: Springer. ISBN 978-3-540-19916-8.
• Халил, ХК (2002). Нелинейные системы (3-е изд.). Верхняя Сэддл-Ривер: Prentice Hall. ISBN 978-0-13-067389-3.
• Брольято, Б.; Лозано, Р.; Машке, Б.; Эгеланд, О. (2020). Анализ и управление диссипативными системами (3-е изд.). Лондон: Springer.
• Леонов ГА; Кузнецов НВ (2011). "Алгоритмы поиска скрытых колебаний в задачах Айзермана и Калмана" (PDF) . Доклады АН . 84 (1): 475–481. doi :10.1134/S1064562411040120. S2CID  120692391.
• Брагин В.О.; Вагайцев В.И.; Кузнецов Н.В.; Леонов ГА (2011). "Алгоритмы поиска скрытых колебаний в нелинейных системах. Гипотезы Айзермана и Калмана и схемы Чуа" (PDF) . Journal of Computer and Systems Sciences International . 50 (5): 511–543. doi :10.1134/S106423071104006X. S2CID  21657305.
• Леонов ГА, Кузнецов НВ (2011). Серджио, Биттанти (ред.). "Аналитико-численные методы исследования скрытых колебаний в нелинейных системах управления" (PDF) . Тома трудов IFAC (IFAC-PapersOnline) . Труды 18-го Всемирного конгресса IFAC. 18 (1): 2494–2505. doi :10.3182/20110828-6-IT-1002.03315. ISBN 9783902661937.

Внешние ссылки

• Функции языка Wolfram для нелинейных систем управления