В математике нулевая полугруппа ( также называемая нулевой полугруппой ) — это полугруппа с поглощающим элементом , называемым нулем , в которой произведение любых двух элементов равно нулю. [1] Если каждый элемент полугруппы является левым нулем , то полугруппа называется полугруппой левых нулей ; полугруппа правых нулей определяется аналогично. [2]
По словам А. Х. Клиффорда и Г. Б. Престона , «несмотря на свою тривиальность, эти полугруппы естественным образом возникают в ряде исследований». [1]
Пусть S — полугруппа с нулевым элементом 0. Тогда S называется нулевой полугруппой , если xy = 0 для всех x и y из S.
Пусть S = {0, a , b , c } будет (базовым множеством) нулевой полугруппы. Тогда таблица Кэли для S будет такой, как указано ниже:
Полугруппа, в которой каждый элемент является левым нулевым элементом, называется левонулевой полугруппой . Таким образом, полугруппа S является левонулевой полугруппой, если xy = x для всех x и y из S.
Пусть S = { a , b , c } — левая нулевая полугруппа. Тогда таблица Кэли для S имеет вид, приведенный ниже:
Полугруппа, в которой каждый элемент является элементом правого нуля , называется полугруппой правого нуля . Таким образом, полугруппа S является полугруппой правого нуля, если xy = y для всех x и y из S.
Пусть S = { a , b , c } — правая нулевая полугруппа. Тогда таблица Кэли для S имеет вид, приведенный ниже:
Нетривиальная нулевая (левый/правый нуль) полугруппа не содержит единичного элемента . Отсюда следует, что единственный нулевой (левый/правый нуль) моноид — это тривиальный моноид.
Класс нулевых полугрупп:
Отсюда следует, что класс нулевых (левых/правых нулевых) полугрупп является многообразием универсальной алгебры , а значит, и многообразием конечных полугрупп . Многообразие конечных нулевых полугрупп определяется тождеством ab = cd .