Односторонний предел

Предел функции, приближающейся к точке значения от значений ниже или выше точки значения

Функция , где обозначает знаковую функцию , имеет левый предел , правый предел и значение функции в точке ${\displaystyle f(x)=x^{2}+\operatorname {sign} (x),}$ ${\displaystyle \operatorname {sign} (x)}$ ${\displaystyle -1,}$ ${\displaystyle +1,}$ ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle x=0.}$

В исчислении односторонний предел относится к одному из двух пределов функции действительной переменной при приближении к указанной точке слева или справа. [ ^1] [ ^2] ${\displaystyle f(x)}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle x}$

Предел по мере уменьшения значения приближается ( приближается «справа» ^[3] или «сверху») можно обозначить: ^{[1] [2]} ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle a}$

$${\displaystyle \lim _{x\to a^{+}}f(x)\quad {\text{ or }}\quad \lim _{x\,\downarrow \,a}\,f(x)\quad {\text{ or }}\quad \lim _{x\searrow a}\,f(x)\quad {\text{ or }}\quad f(x+)}$$

Предел по мере увеличения значения приближается ( приближается «слева» ^{[4] [5]} или «снизу») можно обозначить: ^{[1] [2]} ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle a}$

$${\displaystyle \lim _{x\to a^{-}}f(x)\quad {\text{ or }}\quad \lim _{x\,\uparrow \,a}\,f(x)\quad {\text{ or }}\quad \lim _{x\nearrow a}\,f(x)\quad {\text{ or }}\quad f(x-)}$$

Если предел как приближения существует, то пределы слева и справа оба существуют и равны. В некоторых случаях, когда предел не существует, два односторонних предела тем не менее существуют. Следовательно, предел как приближения иногда называют «двусторонним пределом». ^{[ необходима цитата ]} ${\displaystyle f(x)}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle a}$ $${\displaystyle \lim _{x\to a}f(x)}$$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle a}$

Возможно, что существует ровно один из двух односторонних пределов (при этом другой не существует). Также возможно, что не существует ни один из двух односторонних пределов.

Формальное определение

Определение

Если представляет собой некоторый интервал , который содержится в области и если является точкой в ​​, то правосторонний предел как приближения может быть строго определен как значение , которое удовлетворяет: ^{[6] [ необходима проверка ]} и левосторонний предел как приближения может быть строго определен как значение , которое удовлетворяет: ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle R}$ $${\displaystyle {\text{for all }}\varepsilon >0\;{\text{ there exists some }}\delta >0\;{\text{ such that for all }}x\in I,{\text{ if }}\;0<x-a<\delta {\text{ then }}|f(x)-R|<\varepsilon ,}$$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle L}$ $${\displaystyle {\text{for all }}\varepsilon >0\;{\text{ there exists some }}\delta >0\;{\text{ such that for all }}x\in I,{\text{ if }}\;0<a-x<\delta {\text{ then }}|f(x)-L|<\varepsilon .}$$

То же самое можно изобразить более символически следующим образом.

Пусть представляет собой интервал, где , и . ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle I\subseteq \mathrm {domain} (f)}$ ${\displaystyle a\in I}$

$${\displaystyle \lim _{x\to a^{+}}f(x)=R~~~\iff ~~~(\forall \varepsilon \in \mathbb {R} _{+},\exists \delta \in \mathbb {R} _{+},\forall x\in I,(0<x-a<\delta \longrightarrow |f(x)-R|<\varepsilon ))}$$

$${\displaystyle \lim _{x\to a^{-}}f(x)=L~~~\iff ~~~(\forall \varepsilon \in \mathbb {R} _{+},\exists \delta \in \mathbb {R} _{+},\forall x\in I,(0<a-x<\delta \longrightarrow |f(x)-L|<\varepsilon ))}$$

Интуиция

По сравнению с формальным определением предела функции в точке, односторонний предел (как следует из названия) имеет дело только с входными значениями, лежащими по одну сторону от приближающегося входного значения.

Для справки, формальное определение предела функции в точке выглядит следующим образом:

$${\displaystyle \lim _{x\to a}f(x)=L~~~\iff ~~~\forall \varepsilon \in \mathbb {R} _{+},\exists \delta \in \mathbb {R} _{+},\forall x\in I,0<|x-a|<\delta \implies |f(x)-L|<\varepsilon .}$$

Чтобы определить односторонний предел, мы должны изменить это неравенство. Обратите внимание, что абсолютное расстояние между и равно ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle a}$

$${\displaystyle |x-a|=|(-1)(-x+a)|=|(-1)(a-x)|=|(-1)||a-x|=|a-x|.}$$

Для предела справа мы хотим быть справа от , что означает, что , поэтому положительно. Сверху — это расстояние между и . Мы хотим ограничить это расстояние нашим значением , давая неравенство . Собирая вместе неравенства и и используя свойство транзитивности неравенств, мы получаем составное неравенство . ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle a<x}$ ${\displaystyle x-a}$ ${\displaystyle x-a}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle \delta }$ ${\displaystyle x-a<\delta }$ ${\displaystyle 0<x-a}$ ${\displaystyle x-a<\delta }$ ${\displaystyle 0<x-a<\delta }$

Аналогично, для предела слева мы хотим быть слева от , что означает, что . В этом случае это , положительно и представляет расстояние между и . Опять же, мы хотим ограничить это расстояние нашим значением , что приводит к составному неравенству . ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle x<a}$ ${\displaystyle a-x}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle \delta }$ ${\displaystyle 0<a-x<\delta }$

Теперь, когда наше значение находится в желаемом интервале, мы ожидаем, что значение также находится в желаемом интервале. Расстояние между и , предельное значение левостороннего предела, равно . Аналогично, расстояние между и , предельное значение правостороннего предела, равно . В обоих случаях мы хотим ограничить это расстояние значением , поэтому получаем следующее: для левостороннего предела и для правостороннего предела. ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle f(x)}$ ${\displaystyle f(x)}$ ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle |f(x)-L|}$ ${\displaystyle f(x)}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle |f(x)-R|}$ ${\displaystyle \varepsilon }$ ${\displaystyle |f(x)-L|<\varepsilon }$ ${\displaystyle |f(x)-R|<\varepsilon }$

Примеры

Пример 1 : Пределы слева и справа откакприближенияявляются Причина, по которойэто потому,что всегда отрицательно (так какозначает, чтопри всех значенияхудовлетворяющего), что подразумевает, чтовсегда положительно, так чторасходится ^{[примечание 1]} к(а не к) какприближаетсяслева. Аналогично,поскольку все значенияудовлетворяют(говоря по-другому,всегда положительно) какприближаетсясправа, что подразумевает, чтовсегда отрицательно, так чторасходится к ${\displaystyle g(x):=-{\frac {1}{x}}}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle a:=0}$ $${\displaystyle \lim _{x\to 0^{-}}{-1/x}=+\infty \qquad {\text{ and }}\qquad \lim _{x\to 0^{+}}{-1/x}=-\infty }$$ ${\displaystyle \lim _{x\to 0^{-}}{-1/x}=+\infty }$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle x\to 0^{-}}$ ${\displaystyle x\to 0}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle x<0}$ ${\displaystyle -1/x}$ ${\displaystyle \lim _{x\to 0^{-}}{-1/x}}$ ${\displaystyle +\infty }$ ${\displaystyle -\infty }$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle \lim _{x\to 0^{+}}{-1/x}=-\infty }$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle x>0}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle -1/x}$ ${\displaystyle \lim _{x\to 0^{+}}{-1/x}}$ ${\displaystyle -\infty .}$

График функции ${\displaystyle 1/(1+2^{-1/x}).}$

Пример 2 : Одним из примеров функции с различными односторонними пределами является(см. рисунок), где предел слева равен, а предел справа равен Чтобы вычислить эти пределы, сначала покажем, что (что верно, поскольку), так что, следовательно, тогда как поскольку знаменатель расходится к бесконечности; то есть, поскольку Посколькупределане существует. ${\displaystyle f(x)={\frac {1}{1+2^{-1/x}}},}$ ${\displaystyle \lim _{x\to 0^{-}}f(x)=0}$ ${\displaystyle \lim _{x\to 0^{+}}f(x)=1.}$ $${\displaystyle \lim _{x\to 0^{-}}2^{-1/x}=\infty \qquad {\text{ and }}\qquad \lim _{x\to 0^{+}}2^{-1/x}=0}$$ ${\displaystyle \lim _{x\to 0^{-}}{-1/x}=+\infty {\text{ and }}\lim _{x\to 0^{+}}{-1/x}=-\infty }$ $${\displaystyle \lim _{x\to 0^{+}}{\frac {1}{1+2^{-1/x}}}={\frac {1}{1+\displaystyle \lim _{x\to 0^{+}}2^{-1/x}}}={\frac {1}{1+0}}=1}$$ ${\displaystyle \lim _{x\to 0^{-}}{\frac {1}{1+2^{-1/x}}}=0}$ ${\displaystyle \lim _{x\to 0^{-}}1+2^{-1/x}=\infty .}$ ${\displaystyle \lim _{x\to 0^{-}}f(x)\neq \lim _{x\to 0^{+}}f(x),}$ ${\displaystyle \lim _{x\to 0}f(x)}$

Отношение к топологическому определению предела

Односторонний предел точки соответствует общему определению предела , при этом область определения функции ограничена одной стороной, либо допуская, что область определения функции является подмножеством топологического пространства, либо рассматривая одностороннее подпространство, включая ^{[1] [ необходима проверка ]} В качестве альтернативы можно рассмотреть область с топологией полуоткрытого интервала . ^{[ необходима ссылка ]} ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle p.}$

Теорема Абеля

Примечательной теоремой, описывающей односторонние пределы некоторых степенных рядов на границах их интервалов сходимости, является теорема Абеля . ^{[ требуется ссылка ]}

Примечания

1. Предел, равный, называется расходящимся , а не сходящимся . То же самое верно, когда предел равен ${\displaystyle \infty }$ ${\displaystyle \infty }$ ${\displaystyle \infty .}$ ${\displaystyle -\infty .}$

Ссылки

1. "Односторонний предел - Энциклопедия математики". encyclopediaofmath.org . Получено 7 августа 2021 г. .
2. Fridy, JA (24 января 2020 г.). Вводный анализ: теория исчисления. Gulf Professional Publishing. стр. 48. ISBN 978-0-12-267655-0. Получено 7 августа 2021 г. .
3. Хасан, Осман; Хайям, Сайед (2014-01-02). "К формальному линейному криптоанализу с использованием HOL4" (PDF) . Журнал универсальной компьютерной науки . 20 (2): 209. doi :10.3217/jucs-020-02-0193. ISSN  0948-6968.
4. Гасич, Андрей Г. (2020-12-12). Фазовые явления белков в живой материи (диссертация).
5. Брокейт, Мартин; Манчанда, Пэмми; Сиддики, Абул Хасан (2019), «Предел и непрерывность», исчисление для ученых и инженеров , промышленная и прикладная математика, Сингапур: Springer Singapore, стр. 39–53, doi :10.1007/978-981-13-8464-6_2, ISBN 978-981-13-8463-9, S2CID  201484118 , получено 2022-01-11
6. Giv, Hossein Hosseini (28 сентября 2016 г.). Математический анализ и его внутренняя природа. Американское математическое общество. стр. 130. ISBN 978-1-4704-2807-5. Получено 7 августа 2021 г. .

Смотрите также

• Проективно расширенная вещественная прямая
• Полудифференцируемость
• Предел верхний и предел нижний