Расширение Александроффа

В математической области топологии расширение Александрова представляет собой способ расширения некомпактного топологического пространства путем присоединения одной точки таким образом, чтобы полученное пространство было компактным . Он назван в честь русского математика Павла Александрова . Точнее, пусть X — топологическое пространство. Тогда расширение Александрова X — это некоторый компакт X * вместе с открытым вложением c : X → X * таким, что дополнение X в X * состоит из одной точки, обычно обозначаемой ∞. Отображение c является хаусдорфовой компактификацией тогда и только тогда, когда X — локально компактное некомпактное хаусдорфово пространство . Для таких пространств расширение Александрова называется одноточечной компактификацией или компактификацией Александрова . Преимущества компактификации Александрова заключаются в ее простой, часто геометрически значимой структуре и том факте, что она в точном смысле минимальна среди всех компактификаций; недостаток заключается в том, что он дает хаусдорфову компактификацию только в классе локально компактных, некомпактных хаусдорфовых пространств, в отличие от компактификации Стоуна – Чеха , которая существует для любого топологического пространства (но обеспечивает вложение точно для тихоновских пространств ).

Пример: обратная стереографическая проекция

Геометрически привлекательный пример одноточечной компактификации даёт обратная стереографическая проекция . Напомним, что стереографическая проекция S дает явный гомеоморфизм единичной сферы минус северный полюс (0,0,1) на евклидову плоскость. Обратная стереографическая проекция представляет собой открытое плотное вложение в компактное хаусдорфово пространство, полученное присоединением дополнительной точки . В стереографической проекции широтные круги преобразуются в плоские круги . Отсюда следует, что удаленный базис окрестностей, заданный проколотыми сферическими шапками, соответствует дополнениям к замкнутым плоским дискам . Более качественно, базис окрестности в обеспечивается множествами , когда K проходит через компактные подмножества . Этот пример уже содержит ключевые понятия общего случая. $S^{-1}:\mathbb {R} ^{2}\hookrightarrow S^{2}$ $\infty =(0,0,1)$ $z=c$ ${\textstyle r={\sqrt {(1+c)/(1-c)}}}$ $(0,0,1)$ $c\leq z<1$ ${\textstyle r\geq {\sqrt {(1+c)/(1-c)}}}$ $\infty$ $S^{-1}(\mathbb {R} ^{2}\setminus K)\cup \{\infty \}$ $\mathbb {R} ^{2}$

Мотивация

Пусть – вложение топологического пространства X в компактное хаусдорфово топологическое пространство Y с плотным образом и одноточечным остатком . Тогда c ( X ) открыто в компактном хаусдорфовом пространстве, поэтому локально компактно, следовательно, его гомеоморфный прообраз X также локально компактен. Более того, если бы X было компактным, то c ( X ) было бы замкнуто в Y и, следовательно, неплотно. Таким образом, пространство может допускать одноточечную хаусдорфову компактификацию только в том случае, если оно локально компактно, некомпактно и хаусдорфово. Более того, при такой одноточечной компактификации образ базиса окрестности для x в X дает базис окрестности для c ( x ) в c ( X ), и — поскольку подмножество компакта Хаусдорфа компактно тогда и только тогда, когда оно замкнуто — открытыми окрестностями должны быть все множества, полученные присоединением к образу под с подмножества X с компактным дополнением. $c:X\hookrightarrow Y$ $\{\infty \}=Y\setminus c(X)$ $\infty$ $\infty$

Расширение Александрова

Пусть – топологическое пространство. Поставьте и топологизируйте , взяв в качестве открытых множеств все открытые множества в X вместе со всеми множествами вида где C замкнуто и компактно в X . Здесь обозначает дополнение в Примечании, которое является открытой окрестностью и, таким образом, любое открытое покрытие будет содержать все, кроме компактного подмножества импликации , которое является компактным (Келли 1975, стр. 150). $X$ $X^{*}=X\cup \{\infty \},$ $X^{*}$ $V=(X\setminus C)\cup \{\infty \}$ $X\setminus C$ $C$ $X.$ $V$ $\infty ,$ $\{\infty \}$ $C$ $X^{*},$ $X^{*}$

Пространство называется расширением Александрова X (Уиллард, 19А). Иногда то же имя используется для карты включения. $X^{*}$ $c:X\to X^{*}.$

Приведенные ниже свойства следуют из приведенного выше обсуждения:

Карта c непрерывна и открыта: она вкладывает X как открытое подмножество . $X^{*}$
Пространство компактное. $X^{*}$
Образ c ( X ) плотен в , если X некомпактно. $X^{*}$
Пространство хаусдорфово тогда и только тогда, когда X хаусдорфово и локально компактно . $X^{*}$
Пространство является T 1 тогда и только тогда, когда X есть T ₁ . $X^{*}$

Одноточечная компактификация

В частности, расширение Александрова является хаусдорфовой компактификацией X тогда и только тогда, когда X хаусдорфово, некомпактно и локально компактно. В этом случае она называется одноточечной компактификацией или компактификацией Александрова X . $c:X\rightarrow X^{*}$

Напомним из вышеизложенного, что любая хаусдорфова компактификация с одним остатком обязательно (изоморфна) александровой компактификации. В частности, если является компактным Хаусдорфовым пространством и является предельной точкой ( т.е. не изолированной точкой ), является компактификацией Александрова . $X$ $p$ $X$ $X$ $X$ $X\setminus \{p\}$

Пусть X — любое некомпактное тихоновское пространство . При естественном частичном упорядочении на множестве классов эквивалентности компактификаций любой минимальный элемент эквивалентен расширению Александрова (Энгелькинг, теорема 3.5.12). Отсюда следует, что некомпактное тихоновское пространство допускает минимальную компактификацию тогда и только тогда, когда оно локально компактно. ${\mathcal {C}}(X)$

Нехаусдорфовые одноточечные компактификации

Пусть – произвольное некомпактное топологическое пространство. Кто-то может захотеть определить все компактификации (не обязательно Хаусдорфа), полученные добавлением одной точки, которые в этом контексте также можно назвать одноточечными компактификациями . Итак, мы хотим определить все возможные способы создания компактной топологии, которая была бы в ней плотной и топология подпространства, индуцированная из, была бы такой же, как исходная топология. Из последнего условия совместимости топологии автоматически следует, что она плотна в , поскольку некомпактна и не может быть замкнута в компактном пространстве. Кроме того, фактом является то, что карта включения обязательно является открытым вложением, то есть должна быть открыта в , а топология on должна содержать каждый член . ^[1] Таким образом, топология на определяется окрестностями . Любая окрестность обязательно является дополнением к замкнутому компактному подмножеству , как обсуждалось ранее. $(X,\tau )$ $X$ $X^{*}=X\cup \{\infty \}$ $X$ $X$ $X^{*}$ $X$ $X^{*}$ $X$ $c:X\to X^{*}$ $X$ $X^{*}$ $X^{*}$ $\tau$ $X^{*}$ $\infty$ $\infty$ $X^{*}$ $X$

Топологии , которые делают его компактификацией, следующие: $X^{*}$ $X$

Расширение Александрова, определенное выше. Здесь мы принимаем дополнения всех замкнутых компактных подмножеств в качестве окрестностей . Это самая большая топология, которая обеспечивает одноточечную компактификацию . $X$ $X$ $\infty$ $X^{*}$ $X$
Топология открытого расширения . Здесь мы добавляем одну окрестность , а именно все пространство . Это наименьшая топология, которая обеспечивает одноточечную компактификацию . $\infty$ $X^{*}$ $X^{*}$ $X$
Любая топология, промежуточная между двумя топологиями, описанными выше. Для окрестностей нужно выбрать подходящее подсемейство дополнений всех замкнутых компактных подмножеств ; например, дополнения ко всем конечным замкнутым компактным подмножествам или дополнения ко всем счетным замкнутым компактным подмножествам. $\infty$ $X$

Дальнейшие примеры

Компактификации дискретных пространств

Одноточечная компактификация множества натуральных чисел гомеоморфна пространству, состоящему из K = {0} U {1/ n | n — целое положительное число} с топологией порядка.
Последовательность в топологическом пространстве сходится к точке в тогда и только тогда, когда отображение , заданное for in и, является непрерывным. Здесь имеется дискретная топология . $\{a_{n}\}$ $X$ $a$ $X$ $f\colon \mathbb {N} ^{*}\to X$ $f(n)=a_{n}$ $n$ $\mathbb {N}$ $f(\infty )=a$ $\mathbb {N}$
Полиадические пространства определяются как топологические пространства, которые являются непрерывным образом мощности одноточечной компактификации дискретного локально компактного хаусдорфова пространства.

Компактификации непрерывных пространств

Одноточечная компактификация ⁿ - ^{мерного} евклидова пространства Rn гомеоморфна n -сфере Sn . Как и выше, карта может быть задана явно как n -мерная обратная стереографическая проекция.
Одноточечная компактификация произведения копий полуинтервала [0,1), то есть , (гомеоморфна) . $\kappa$ $[0,1)^{\kappa }$ $[0,1]^{\kappa }$
Поскольку замыкание связного подмножества связно, связно расширение Александрова некомпактного связного пространства. Однако одноточечная компактификация может «соединить» несвязное пространство: например, одноточечная компактификация дизъюнктного объединения конечного числа копий интервала (0,1) представляет собой клин окружностей . $n$ $n$
Одноточечная компактификация дизъюнктного объединения счетного числа копий интервала (0,1) — это гавайская серьга . Это отличается от клина из счетного числа кругов, который не является компактным.
Для данного компакта Хаусдорфа и любого замкнутого подмножества одноточечная компактификация равна , где косая черта обозначает факторпространство . ^[2] $X$ $C$ $X$ $X\setminus C$ $X/C$
Если и локально компактны по Хаусдорфу, то где находится произведение разбиения ? Напомним, что определение смэш-произведения: где – сумма клина , и снова / обозначает факторпространство. ^[2] $X$ $Y$ $(X\times Y)^{*}=X^{*}\wedge Y^{*}$ $\wedge$ $A\wedge B=(A\times B)/(A\vee B)$ $A\vee B$

Как функтор

Расширение Александрова можно рассматривать как функтор из категории топологических пространств с собственными непрерывными отображениями как морфизмами в категорию, объекты которой являются непрерывными отображениями и для которой морфизмы из в являются парами непрерывных отображений таких, что . В частности, гомеоморфные пространства имеют изоморфные расширения Александрова. $c\colon X\rightarrow Y$ $c_{1}\colon X_{1}\rightarrow Y_{1}$ $c_{2}\colon X_{2}\rightarrow Y_{2}$ $f_{X}\colon X_{1}\rightarrow X_{2},\ f_{Y}\colon Y_{1}\rightarrow Y_{2}$ $f_{Y}\circ c_{1}=c_{2}\circ f_{X}$

Смотрите также

Компактификация Бора - компактная группа Хаусдорфа, связанная с топологической группой.
Компактное пространство - Тип математического пространства.
Компактификация (математика) - вложение топологического пространства в компактное пространство как плотное подмножество.
Конец (топология) - в топологии связные компоненты «идеальной границы» пространства.
Расширенная строка действительных чисел — действительные числа с добавлением +∞ и −∞.
Нормальное пространство - топологическое пространство, в котором каждая пара непересекающихся замкнутых множеств имеет непересекающиеся открытые окрестности.
Остроконечное множество - основная концепция теории множеств.
Сфера Римана - модель расширенной комплексной плоскости плюс бесконечная точка.
Стереографическая проекция - особое отображение, при котором сфера проецируется на плоскость.
Компактификация Стоуна-Чеха - универсальное отображение топологического пространства X в компактное хаусдорфово пространство βX, такое, что любое отображение X в компактное хаусдорфово пространство факторизуется через βX однозначно; если X тихоновское, то X — плотное подпространство в βX
Компактификация Уоллмана - компактификация топологических пространств T _{1 .}

Примечания

^ «Общая топология - одноточечные компактификации, не хаусдорфовские».
^ ab Джозеф Дж. Ротман , Введение в алгебраическую топологию (1988) Springer-Verlag ISBN 0-387-96678-1 (доказательство см. в главе 11).