Идеальное число

Целое число, равное сумме своих собственных делителей

Иллюстрация статуса идеального числа числа 6

В теории чисел совершенное число — это целое положительное число , равное сумме своих положительных делителей , исключая само число. Например, число 6 имеет делители 1, 2 и 3 (исключая само себя), а 1 + 2 + 3 = 6, поэтому 6 — совершенное число.

Сумма делителей числа, за исключением самого числа, называется его аликвотной суммой , поэтому совершенным числом является то, которое равно его аликвотной сумме. Эквивалентно, совершенное число — это число, которое составляет половину суммы всех своих положительных делителей, включая его самого; в символах, где – функция суммы делителей . Например, 28 идеально: 1 + 2 + 4 + 7 + 14 = 28. ${\displaystyle \sigma _{1}(n)=2n}$ ${\displaystyle \sigma _{1}}$

Это определение древнее и появляется еще в « Началах » Евклида (VII.22), где оно называется τέλειος ἀριθμός ( совершенное , идеальное или полное число ). Евклид также доказал правило образования (IX.36), согласно которому число является четным совершенным, если оно является простым числом вида положительного целого числа — то, что теперь называется простым числом Мерсенна . Два тысячелетия спустя Леонард Эйлер доказал, что все даже совершенные числа имеют именно такой вид. ^[1] Это известно как теорема Евклида–Эйлера . ${\displaystyle q(q+1)/2}$ ${\displaystyle q}$ ${\displaystyle 2^{p}-1}$ ${\displaystyle p}$

Неизвестно, существуют ли нечетные совершенные числа и существует ли бесконечно много совершенных чисел. Первые несколько совершенных чисел — это 6 , 28 , 496 и 8128 (последовательность A000396 в OEIS ).

История

Примерно в 300 г. до н. э. Евклид показал, что если 2 ^p  − 1 простое, то 2 ^{p − 1} (2 ^p  − 1) совершенное. Первые четыре совершенных числа были единственными, известными ранней греческой математике , а математик Никомах заметил 8128 еще около 100 г. н.э. ^[2] Говоря современным языком, Никомах утверждает без доказательства, что каждое совершенное число имеет форму где . ^{[3] [4]} Похоже, он не осознает, что n само по себе должно быть простым. Он также говорит (ошибочно), что совершенные числа попеременно оканчиваются на 6 или 8. (Первые 5 совершенных чисел оканчиваются цифрами 6, 8, 6, 8, 6; но шестое также оканчивается на 6.) Филон Александрийский в своей книге первого века «О сотворении мира» упоминает совершенные числа, утверждая, что мир была создана за 6 дней, а луна обращается по орбите за 28 дней, потому что 6 и 28 идеальны. За Филоном следует Ориген ^[5] и Дидим Слепой , который добавляет наблюдение, что существует только четыре совершенных числа, которые меньше 10 000. (Комментарий к Бытие 1. 14–19). ^[6] Святой Августин дает определение совершенных чисел в «Городе Божьем» (Книга XI, глава 30) в начале 5-го века нашей эры, повторяя утверждение, что Бог сотворил мир за 6 дней, потому что 6 — наименьшее совершенное число. Египетский математик Исмаил ибн Фаллус (1194–1252) упомянул следующие три совершенных числа (33 550 336; 8 589 869 056 и 137 438 691 328) и перечислил еще несколько, которые, как теперь известно, являются неверными. ^[7] Первое известное европейское упоминание о пятом совершенном числе — это рукопись, написанная между 1456 и 1461 годами неизвестным математиком. ^[8] В 1588 году итальянский математик Пьетро Катальди определил шестое (8 589 869 056) и седьмое (137 438 691 328) совершенные числа, а также доказал, что каждое совершенное число, полученное по правилу Евклида, заканчивается на 6 или 8. ^{[9] [10 ] [11]} ${\displaystyle 2^{n-1}(2^{n}-1)}$ ${\displaystyle 2^{n}-1}$

Даже идеальные числа

Нерешенная задача по математике :

Существует ли бесконечно много совершенных чисел?

(еще нерешенные задачи по математике)

Евклид доказал, что число является четным совершенным, если оно простое ( Начала , предлож. IX.36). ${\displaystyle 2^{p-1}(2^{p}-1)}$ ${\displaystyle 2^{p}-1}$

Например, первые четыре совершенных числа генерируются по формуле, где p — простое число , следующим образом: ${\displaystyle 2^{p-1}(2^{p}-1),}$

$${\displaystyle {\begin{aligned}p=2&:\quad 2^{1}(2^{2}-1)=2\times 3=6\\p=3&:\quad 2^{2}(2^{3}-1)=4\times 7=28\\p=5&:\quad 2^{4}(2^{5}-1)=16\times 31=496\\p=7&:\quad 2^{6}(2^{7}-1)=64\times 127=8128.\end{aligned}}}$$

Простые числа этой формы известны как простые числа Мерсенна , в честь монаха семнадцатого века Марина Мерсенна , который изучал теорию чисел и совершенные числа. Чтобы быть простым, необходимо, чтобы p само было простым. Однако не все числа вида с простым p являются простыми; например, 2 ¹¹ − 1 = 2047 = 23 × 89 не является простым числом. ^[a] На самом деле простые числа Мерсенна очень редки — из 2 610 944 простых чисел p до 43 112 609 , ^[12] является простым только для 47 из них. ${\displaystyle 2^{p}-1}$ ${\displaystyle 2^{p}-1}$ ${\displaystyle 2^{p}-1}$ ${\displaystyle 2^{p}-1}$

В то время как Никомах заявлял (без доказательств), что все совершенные числа имеют вид , где является простым (хотя он утверждал это несколько иначе), Ибн аль-Хайсам (Альхазен) около 1000 г. н.э. не желал заходить так далеко, заявляя вместо этого (также без доказательство), что формула дает только каждое четное совершенное число. ^[13] Лишь в 18 веке Леонард Эйлер доказал, что эта формула дает все четные совершенные числа. Таким образом, существует взаимно однозначное соответствие между четными совершенными числами и простыми числами Мерсенна; каждое простое число Мерсенна порождает одно четное совершенное число, и наоборот. Этот результат часто называют теоремой Евклида-Эйлера . ${\displaystyle 2^{n-1}(2^{n}-1)}$ ${\displaystyle 2^{n}-1}$ ${\displaystyle 2^{p-1}(2^{p}-1)}$

Исчерпывающий поиск, проведенный проектом распределенных вычислений GIMPS , показал, что первые 48 четных чисел соответствуют ${\displaystyle 2^{p-1}(2^{p}-1)}$

р = 2, 3, 5, 7, 13, 17, 19, 31, 61, 89, 107, 127, 521, 607, 1279, 2203, 2281, 3217, 4253, 4423, 9689, 9941, 11213, 19937, 21701, 23209, 44497, 86243, 110503, 132049, 216091, 756839, 859433, 1257787, 1398269, 2976221, 3021377, 6972593, 13466917, 20996011, 24036583, 25964951, 30402457, 32582657, 37156667, 42643801, 43112609 и 57885161 (последовательность A000043 в ОЭИС ). ^[14]

Также были обнаружены три высших совершенных числа, а именно те, для которых p = 74207281, 77232917 и 82589933. Хотя все еще возможно, что в этом диапазоне могут быть и другие, первоначальные, но исчерпывающие тесты GIMPS не выявили других совершенных чисел для p ниже . 109332539. По состоянию на декабрь 2018 года ^{[обновлять]}известно 51 простое число Мерсенна ^[15] и, следовательно, 51 четное совершенное число (самое большое из которых — 2 ^82589932 × (2 ^82589933 − 1) с 49 724 095 цифр). Неизвестно , существует ли бесконечно много совершенных чисел, а также бесконечно много простых чисел Мерсенна.

Каждое четное совершенное число не только имеет форму , но и является -м треугольным числом (и, следовательно, равным сумме целых чисел от 1 до ) и -м шестиугольным числом . Кроме того, каждое четное совершенное число, кроме 6, является -м центрированным девятиугольным числом и равно сумме первых нечетных кубов (нечетных кубов до куба ): ${\displaystyle 2^{p-1}(2^{p}-1)}$ ${\displaystyle (2^{p}-1)}$ ${\displaystyle 2^{p}-1}$ ${\displaystyle 2^{p-1}}$ ${\displaystyle {\tfrac {2^{p}+1}{3}}}$ ${\displaystyle 2^{\frac {p-1}{2}}}$ ${\displaystyle 2^{\frac {p+1}{2}}-1}$

$${\displaystyle {\begin{alignedat}{3}6&=2^{1}(2^{2}-1)&&=1+2+3,\\[8pt]28&=2^{2}(2^{3}-1)&&=1+2+3+4+5+6+7\\&&&=1^{3}+3^{3}\\[8pt]496&=2^{4}(2^{5}-1)&&=1+2+3+\cdots +29+30+31\\&&&=1^{3}+3^{3}+5^{3}+7^{3}\\[8pt]8128&=2^{6}(2^{7}-1)&&=1+2+3+\cdots +125+126+127\\&&&=1^{3}+3^{3}+5^{3}+7^{3}+9^{3}+11^{3}+13^{3}+15^{3}\\[8pt]33550336&=2^{12}(2^{13}-1)&&=1+2+3+\cdots +8189+8190+8191\\&&&=1^{3}+3^{3}+5^{3}+\cdots +123^{3}+125^{3}+127^{3}\end{alignedat}}}$$

Даже совершенные числа (кроме 6) имеют вид

$${\displaystyle T_{2^{p}-1}=1+{\frac {(2^{p}-2)\times (2^{p}+1)}{2}}=1+9\times T_{(2^{p}-2)/3}}$$

при этом каждое полученное треугольное число T ₇ = 28 , T ₃₁ = 496 , T ₁₂₇ = 8128 (после вычитания 1 из совершенного числа и деления результата на 9) заканчивается на 3 или 5, последовательность начинается с T ₂ = 3 , T ₁₀ = 55 , Т ₄₂ = 903 , Т ₂₇₃₀ = 3727815, ... ^[16] Отсюда следует, что сложив цифры любого четного совершенного числа (кроме 6), затем сложив цифры полученного числа, и повторив этот процесс до тех пор, пока не будет получена единственная цифра (называемая цифровым корнем ), всегда получается число 1. Например, цифровой корень числа 8128 равен 1, потому что 8 + 1 + 2 + 8 = 19 , 1 + 9 = 10 и 1 + 0 = 1 . Это работает со всеми совершенными числами с нечетным простым числом p и, по сути, со всеми числами вида нечетное целое (не обязательно простое) m . ${\displaystyle 2^{p-1}(2^{p}-1)}$ ${\displaystyle 2^{m-1}(2^{m}-1)}$

Благодаря своей форме каждое четное совершенное число представляется в двоичной форме как p единиц, за которыми следует p - 1 нулей; например: ${\displaystyle 2^{p-1}(2^{p}-1),}$

$${\displaystyle {\begin{array}{rcl}6_{10}=&2^{2}+2^{1}&=110_{2}\\28_{10}=&2^{4}+2^{3}+2^{2}&=11100_{2}\\496_{10}=&2^{8}+2^{7}+2^{6}+2^{5}+2^{4}&=111110000_{2}\\8128_{10}=&\!\!2^{12}+2^{11}+2^{10}+2^{9}+2^{8}+2^{7}+2^{6}\!\!&=1111111000000_{2}\end{array}}}$$

Таким образом, любое четное совершенное число является пагубным числом .

Каждое четное совершенное число также является практическим числом (см. Сопутствующие понятия).

Нечетные совершенные числа

Нерешенная задача по математике :

Существуют ли нечетные совершенные числа?

(еще нерешенные задачи по математике)

Неизвестно, существуют ли какие-либо нечетные совершенные числа, хотя были получены различные результаты. В 1496 году Жак Лефевр заявил, что правило Евклида дает все совершенные числа, ^[17] подразумевая, что не существует нечетных совершенных чисел. Эйлер заявил: «Существуют ли… нечетные совершенные числа — это самый трудный вопрос». ^[18] Совсем недавно Карл Померанс представил эвристический аргумент , предполагающий, что на самом деле не должно существовать нечетных совершенных чисел. ^[19] Все совершенные числа также являются числами гармонических делителей , и также было высказано предположение, что не существует нечетных чисел гармонических делителей, отличных от 1. Многие свойства, доказанные в отношении нечетных совершенных чисел, также применимы к числам Декарта , и Пейс Нильсен предположил, что достаточное изучение этих чисел может привести к доказательству того, что нечетных совершенных чисел не существует. ^[20]

Любое нечетное совершенное число N должно удовлетворять следующим условиям:

• Н > 10 ¹⁵⁰⁰ . ^[21]
• N не делится на 105. ^[22]
• N имеет вид N ≡ 1 (по модулю 12) или N ≡ 117 (по модулю 468) или N ≡ 81 (по модулю 324). ^[23]
• N имеет вид

${\displaystyle N=q^{\alpha }p_{1}^{2e_{1}}\cdots p_{k}^{2e_{k}},}$

где:

• q ,  p ₁ , ...,  p _k — различные нечетные простые числа (Эйлера).
• q ≡ α ≡ 1 ( mod 4) (Эйлер).
• Наименьший простой делитель числа N не более ^[24] ${\displaystyle {\frac {k-1}{2}}.}$
• Либо q ^α  > 10 ⁶² , либо p _j ^{2 e _j}  > 10 ⁶² для некоторого j . ^[21]
• ${\displaystyle N<2^{(4^{k+1}-2^{k+1})}}$^{[25] [26]}
• ${\displaystyle \alpha +2e_{1}+2e_{2}+2e_{3}+\cdots +2e_{k}\geq {\frac {99k-224}{37}}}$. ^{[24] [27] [28]}
• ${\displaystyle qp_{1}p_{2}p_{3}\cdots p_{k}<2N^{\frac {17}{26}}}$. ^[29]

• Наибольший простой делитель N больше 10 ^{8 [30]} и меньше ^[31] ${\displaystyle {\sqrt[{3}]{3N}}.}$
• Второй по величине простой множитель больше 10 ⁴ , ^[32] и меньше . ^[33] ${\displaystyle {\sqrt[{5}]{2N}}}$
• Третий по величине простой множитель больше 100, ^[34] и меньше ^[35] ${\displaystyle {\sqrt[{6}]{2N}}.}$
• N имеет как минимум 101 простой делитель и как минимум 10 различных простых делителей. ^{[21] [36]} Если 3 не является одним из сомножителей числа N , то N имеет по крайней мере 12 различных простых сомножителей. ^[37]

Кроме того , известно несколько второстепенных результатов об показателях e ₁ , ...,  ek _.

• Не все e _i  ≡ 1 ( mod 3). ^[38]
• Не все e _i  ≡ 2 ( mod 5). ^[39]
• Если все e _i  ≡ 1 ( mod 3) или 2 ( mod 5), то наименьший простой делитель числа N должен лежать между 10 ⁸ и 10 ¹⁰⁰⁰ . ^[39]
• В более общем смысле, если все 2 e _i +1 имеют простой множитель в данном конечном множестве S , то наименьший простой множитель N должен быть меньше, чем эффективно вычислимая константа, зависящая только от S. ^[39]
• Если ( e ₁ , ...,  e _k ) = (1, ..., 1, 2, ..., 2) с t единицами и u двойками, то . ^[40] ${\displaystyle (t-1)/4\leq u\leq 2t+{\sqrt {\alpha }}}$
• ( е ₁ , ...,  е _k ) ≠ (1, ..., 1, 3), ^[41] (1, ..., 1, 5), (1, ..., 1, 6) . ^[42]
• Если e ₁ = ... = e _k = e , то
  • e не может быть 3, ^[43] 5, 24, ^[44] 6, 8, 11, 14 или 18. ^[42]
  • ${\displaystyle k\leq 2e^{2}+8e+2}$и . ^[45] ${\displaystyle N<2^{4^{2e^{2}+8e+3}}}$

В 1888 году Сильвестр заявил: ^[46]

... продолжительное размышление на эту тему убедило меня в том, что существование любого такого [нечетного совершенного числа] - его выход, так сказать, из сложной паутины условий, которые окружают его со всех сторон - будет немного коротким. чуда.

Незначительные результаты

Все даже совершенные числа имеют очень точную форму; нечетные совершенные числа либо не существуют, либо встречаются редко. Существует ряд результатов о совершенных числах, которые на самом деле довольно легко доказать, но, тем не менее, на первый взгляд они впечатляют; некоторые из них также подпадают под строгий закон малых чисел Ричарда Гая :

• Единственное четное совершенное число вида n ³  + 1 — 28 (Маковский, 1962). ^[47]
• 28 также является единственным четным совершенным числом, которое представляет собой сумму двух положительных кубов целых чисел (Галлардо 2010). ^[48]
• Сумма обратных делителей совершенного числа N должна составлять 2 (чтобы получить это, возьмите определение совершенного числа и разделите обе части на n ): ${\displaystyle \sigma _{1}(n)=2n}$
  • Для 6 у нас есть ; ${\displaystyle 1/6+1/3+1/2+1/1=2}$
  • Для 28 у нас есть и т.д. ${\displaystyle 1/28+1/14+1/7+1/4+1/2+1/1=2}$
• Число делителей совершенного числа (четного или нечетного) должно быть четным, поскольку N не может быть полным квадратом. ^[49]
  • Из этих двух результатов следует, что каждое совершенное число является гармоническим числом Оре .
• Четные совершенные числа не являются трапециевидными числами ; то есть их нельзя представить в виде разности двух положительных непоследовательных треугольных чисел . Существует всего три типа нетрапециевидных чисел: четные совершенные числа, степени двойки и числа вида, образованного произведением простого числа Ферма на степень двойки аналогично построению четных совершенных чисел из Простые числа Мерсенна. ^[50] ${\displaystyle 2^{n-1}(2^{n}+1)}$ ${\displaystyle 2^{n}+1}$
• Число совершенных чисел меньше n меньше , где c > 0 — константа. ^[51] На самом деле это так , если использовать обозначение «маленькое-о» . ^[52] ${\displaystyle c{\sqrt {n}}}$ ${\displaystyle o({\sqrt {n}})}$
• Каждое четное совершенное число оканчивается на 6 или 28 по основанию десять; и, за единственным исключением 6, оканчивается на 1 по основанию 9. ^{[53] [54]} Следовательно, в частности, цифровой корень каждого четного совершенного числа, отличного от 6, равен 1.
• Единственное совершенное число без квадратов — 6. ^[55]

Связанные понятия

Диаграмма Эйлера чисел до 100:

   Обильный

   Примитивное изобилие

   Очень обильный

   Сверхобильные и очень сложные

   Колоссально обильный и превосходный высококомпозитный

   Странный

   Идеальный

   Композитный

   Дефицит

Сумма собственных делителей дает различные другие виды чисел. Числа, у которых сумма меньше самого числа, называются недостаточными , а где она больше числа, — обильными . Эти термины, вместе с самим совершенством , происходят из греческой нумерологии . Пара чисел, представляющая собой сумму собственных делителей друг друга, называется дружественной , а более крупные циклы чисел называются общительной . Положительное целое число, каждое меньшее положительное целое число которого представляет собой сумму различных его делителей, является практическим числом .

По определению, совершенное число — это фиксированная точка ограниченной функции делителя s ( n ) = σ ( n ) − n , а последовательность аликвот, связанная с совершенным числом, является постоянной последовательностью. Все совершенные числа также являются -совершенными числами, или числами Гранвилля . ${\displaystyle {\mathcal {S}}}$

Полусовершенное число — натуральное число, равное сумме всех или некоторых собственных делителей. Полусовершенное число, равное сумме всех своих собственных делителей, является совершенным числом. Наиболее распространенные числа также полусовершенны; Множество чисел, которые не являются полусовершенными, называются странными числами .

Смотрите также

• Гиперсовершенное число
• Ленстерская группа
• Список простых чисел Мерсенна и совершенных чисел
• Умножить совершенное число
• Суперсовершенные числа
• Унитарное совершенное число
• Номер гармонического делителя

Примечания

1. Все факторы соответствуют 1 mod 2 p . Например, 2 ¹¹ − 1 = 2047 = 23 × 89 , и 23, и 89 дают остаток 1 при делении на 22. Кроме того, всякий раз, когда p является простым числом Софи Жермен , то есть 2 p + 1 также является простым — и 2 p + 1 соответствует 1 или 7 по модулю 8, то 2 p + 1 будет множителем, что имеет место для p = 11, 23, 83, 131, 179, 191, 239, 251,... ОЭИС : A002515 . ${\displaystyle 2^{p}-1}$ ${\displaystyle 2^{p}-1,}$

Рекомендации

1. Колдуэлл, Крис, «Доказательство того, что все даже совершенные числа являются степенью удвоенного простого числа Мерсенна».
2. Диксон, LE (1919). История теории чисел, Vol. Я. Вашингтон: Вашингтонский Институт Карнеги. п. 4.
3. «Совершенные числа». www-groups.dcs.st-and.ac.uk . Проверено 9 мая 2018 г.
4. В «Введении в арифметику» , глава 16, он говорит о совершенных числах: «Существует метод их получения, аккуратный и безошибочный, который не пропускает ни одно из совершенных чисел и не дает возможности дифференцировать ни одно из тех, которые не являются таковыми, которые осуществляется следующим образом». Затем он продолжает объяснять процедуру, которая эквивалентна поиску треугольного числа на основе простого числа Мерсенна.
5. Комментарий к Евангелию от Иоанна 28.1.1–4, с дальнейшими ссылками в издании Sources Chrétiennes : vol. 385, 58–61.
6. Роджерс, Джастин М. (2015). Рецепция филоновской арифмологической экзегезы в комментариях Дидима Слепого к Бытию (PDF) . Национальное собрание Общества библейской литературы, Атланта, Джорджия .
7. Рошди Рашед, Развитие арабской математики: между арифметикой и алгеброй (Дордрехт: Kluwer Academic Publishers, 1994), стр. 328–329.
8. Bayerische Staatsbibliothek , Clm 14908. См. Дэвида Юджина Смита (1925). История математики: Том II. Нью-Йорк: Дувр. п. 21. ISBN 0-486-20430-8.
9. Диксон, LE (1919). История теории чисел, Том. Я. Вашингтон: Вашингтонский Институт Карнеги. п. 10.
10. Пиковер, C (2001). Чудеса чисел: приключения в математике, разуме и смысле. Оксфорд: Издательство Оксфордского университета. п. 360. ИСБН 0-19-515799-0.
11. Петерсон, I (2002). Математические путешествия: от сюрреалистических чисел к магическим кругам. Вашингтон: Математическая ассоциация Америки. п. 132. ИСБН 88-8358-537-2.
12. «Количество простых чисел <= 43112609». Вольфрам Альфа . Проверено 28 октября 2018 г.
13. О'Коннор, Джон Дж.; Робертсон, Эдмунд Ф. , «Абу Али аль-Хасан ибн аль-Хайсам», Архив истории математики MacTutor , Университет Сент-Эндрюс
14. Отчет об основных этапах работы GIMPS. Проверено 27 февраля 2018 г.
15. "Дом GIMPS" . Мерсенн.орг . Проверено 21 июля 2022 г.
16. Вайсштейн, Эрик В. «Идеальное число». Математический мир .
17. Диксон, LE (1919). История теории чисел, Vol. Я. Вашингтон: Вашингтонский Институт Карнеги. п. 6.
18. «Старейшая открытая задача математики» (PDF) . Гарвард.edu . Проверено 16 июня 2023 г.
19. Oddperfect.org. Архивировано 29 декабря 2006 г. в Wayback Machine.
20. Надис, Стив (10 сентября 2020 г.). «Математики открывают новый фронт в решении древней проблемы чисел». Журнал Кванта . Проверено 10 сентября 2020 г.
21. Охем, Паскаль; Рао, Майкл (2012). «Нечетные совершенные числа больше 101500» (PDF) . Математика вычислений . 81 (279): 1869–1877. дои : 10.1090/S0025-5718-2012-02563-4 . ISSN  0025-5718. Збл  1263.11005.
22. Кюнель, Ульрих (1950). «Verschärfung der notwendigen Bedingungen für die Existenz von ungeraden vollkommenen Zahlen». Mathematische Zeitschrift (на немецком языке). 52 : 202–211. дои : 10.1007/BF02230691. S2CID  120754476.
23. Робертс, Т (2008). «О форме нечетного совершенного числа» (PDF) . Австралийский математический вестник . 35 (4): 244.
24. Зелински, Джошуа (3 августа 2021 г.). «Об общем количестве простых делителей нечетного совершенного числа» (PDF) . Целые числа . 21 . Проверено 7 августа 2021 г.
25. Чен, Юн-Гао; Тан, Цуй-Э (2014). «Улучшенные верхние границы для нечетных мультисовершенных чисел». Бюллетень Австралийского математического общества . 89 (3): 353–359. дои : 10.1017/S0004972713000488 .
26. Нильсен, Пейс П. (2003). «Верхняя граница нечетных совершенных чисел». Целые числа . 3 : А14–А22 . Проверено 23 марта 2021 г.
27. Охем, Паскаль; Рао, Майкл (2014). «О количестве простых делителей нечетного совершенного числа». Математика вычислений . 83 (289): 2435–2439. дои : 10.1090/S0025-5718-2013-02776-7 .
28. Грэм Клейтон, Коди Хансен (2023). «О неравенствах, связанных с подсчетом простых множителей нечетного совершенного числа» (PDF) . Целые числа . 23 . Проверено 29 ноября 2023 г.
29. Померанс, Карл; Лука, Флориан (2010). «О радикале совершенного числа». Нью-Йоркский математический журнал . 16 :23–30 . Проверено 7 декабря 2018 г.
30. Гото, Т; Оно, Ю (2008). «Простой делитель нечетных совершенных чисел превышает 108» (PDF) . Математика вычислений . 77 (263): 1859–1868. Бибкод : 2008MaCom..77.1859G. дои : 10.1090/S0025-5718-08-02050-9 . Проверено 30 марта 2011 г.
31. Конягин, Сергей; Акваа, Питер (2012). «О простых факторах нечетных совершенных чисел». Международный журнал теории чисел . 8 (6): 1537–1540. дои : 10.1142/S1793042112500935.
32. Яннуччи, DE (1999). «Второй по величине простой делитель нечетного совершенного числа превышает десять тысяч» (PDF) . Математика вычислений . 68 (228): 1749–1760. Бибкод : 1999MaCom..68.1749I. дои : 10.1090/S0025-5718-99-01126-6 . Проверено 30 марта 2011 г.
33. Зелинский, Джошуа (июль 2019 г.). «Верхние границы второго по величине простого множителя нечетного совершенного числа». Международный журнал теории чисел . 15 (6): 1183–1189. arXiv : 1810.11734 . дои : 10.1142/S1793042119500659. S2CID  62885986..
34. Яннуччи, DE (2000). «Третий по величине простой делитель нечетного совершенного числа превышает сто» (PDF) . Математика вычислений . 69 (230): 867–879. Бибкод : 2000MaCom..69..867I. дои : 10.1090/S0025-5718-99-01127-8 . Проверено 30 марта 2011 г.
35. Бибби, Шон; Винке, Питер; Зелинский, Джошуа (23 ноября 2021 г.). «О третьем по величине простом делителе нечетного совершенного числа» (PDF) . Целые числа . 21 . Проверено 6 декабря 2021 г.
36. Нильсен, Пейс П. (2015). «Нечетные совершенные числа, диофантовы уравнения и верхние границы» (PDF) . Математика вычислений . 84 (295): 2549–2567. дои : 10.1090/S0025-5718-2015-02941-X . Проверено 13 августа 2015 г.
37. Нильсен, Пейс П. (2007). «Нечетные совершенные числа имеют как минимум девять различных простых делителей» (PDF) . Математика вычислений . 76 (260): 2109–2126. arXiv : math/0602485 . Бибкод : 2007MaCom..76.2109N. дои : 10.1090/S0025-5718-07-01990-4. S2CID  2767519 . Проверено 30 марта 2011 г.
38. Макдэниел, Уэйн Л. (1970). «Несуществование нечетных совершенных чисел определенного вида». Архив математики . 21 (1): 52–53. дои : 10.1007/BF01220877. ISSN  1420-8938. MR  0258723. S2CID  121251041.
39. Флетчер, С. Адам; Нильсен, Пейс П.; Охем, Паскаль (2012). «Ситовые методы для нечетных совершенных чисел» (PDF) . Математика вычислений . 81 (279): 1753–1776. дои : 10.1090/S0025-5718-2011-02576-7 . ISSN  0025-5718. МР  2904601.
40. Коэн, GL (1987). «О наибольшей компоненте нечетного совершенного числа». Журнал Австралийского математического общества, серия A. 42 (2): 280–286. дои : 10.1017/S1446788700028251 . ISSN  1446-8107. МР  0869751.
41. Канольд, Ханс-Иоахим [на немецком языке] (1950). «Satze uber Kreisteilungspolynome und ihre Anwendungen auf einige zahlenteoretisehe Issuee. II». Журнал для королевы и математики . 188 (1): 129–146. дои : 10.1515/crll.1950.188.129. ISSN  1435-5345. MR  0044579. S2CID  122452828.
42. Коэн, GL; Уильямс, Р.Дж. (1985). «Расширение некоторых результатов, касающихся нечетных совершенных чисел» (PDF) . Ежеквартальный журнал Фибоначчи . 23 (1): 70–76. ISSN  0015-0517. МР  0786364.
43. Хагис, Питер младший; Макдэниел, Уэйн Л. (1972). «Новый результат о структуре нечетных совершенных чисел». Труды Американского математического общества . 32 (1): 13–15. дои : 10.1090/S0002-9939-1972-0292740-5 . ISSN  1088-6826. МР  0292740.
44. Макдэниел, Уэйн Л.; Хагис, Питер младший (1975). «Некоторые результаты, касающиеся отсутствия нечетных совершенных чисел вида п α M 2 β {\displaystyle p^{\alpha }M^{2\beta }}» (PDF) . Ежеквартальный журнал Фибоначчи . 13 (1): 25–28. ISSN  0015-0517. МР  0354538.
45. Ямада, Томохиро (2019). «Новая верхняя оценка нечетных совершенных чисел специального вида». Коллоквиум Математикум . 156 (1): 15–21. arXiv : 1706.09341 . дои : 10.4064/см7339-3-2018. ISSN  1730-6302. S2CID  119175632.
46. Сборник математических статей Джеймса Джозефа Сильвестра с. 590, тр. из «Sur les nombres dits de Hamilton», Compte Rendu de l'Association Française (Тулуза, 1887), стр. 164–168.
47. Маковски, А. (1962). «Замечание о совершенных числах». Элем. Математика . 17 (5): 109.
48. Галлардо, Луис Х. (2010). «К замечанию Маковского о совершенных числах». Элем. Математика . 65 : 121–126. дои : 10.4171/EM/149 ..
49. Ян, Сонг Ю. (2012), Вычислительная теория чисел и современная криптография, John Wiley & Sons, Раздел 2.3, Упражнение 2 (6), ISBN 9781118188613.
50. Джонс, Крис; Лорд, Ник (1999). «Характеристика нетрапециевидных чисел». Математический вестник . Математическая ассоциация. 83 (497): 262–263. дои : 10.2307/3619053. JSTOR  3619053. S2CID  125545112.
51. Хорнфек, Б. (1955). «Zur Dichte der Menge der vollkommenen zahlen». Арх. Математика . 6 (6): 442–443. дои : 10.1007/BF01901120. S2CID  122525522.
52. Канольд, HJ (1956). «Eine Bemerkung ¨uber die Menge der vollkommenen zahlen». Математика. Анна . 131 (4): 390–392. дои : 10.1007/BF01350108. S2CID  122353640.
53. Х. Новарезе. Примечание sur les nombres parfaits Texeira J. VIII (1886), 11–16.
54. Диксон, LE (1919). История теории чисел, Том. Я. Вашингтон: Вашингтонский Институт Карнеги. п. 25.
55. Редмонд, Дон (1996). Теория чисел: введение в чистую и прикладную математику. Чепмен и Холл / CRC Чистая и прикладная математика. Том. 201. ЦРК Пресс. Задача 7.4.11, с. 428. ИСБН 9780824796969..

Источники

• Евклид, «Начала» , Книга IX, Предложение 36. См. на сайте Д.Э. Джойса перевод и обсуждение этого предложения и его доказательства.
• Канольд, Х.-Дж. (1941). «Untersuchungen über ungerade vollkommene Zahlen». Журнал для королевы и математики . 1941 (183): 98–109. дои : 10.1515/crll.1941.183.98. S2CID  115983363.
• Стойервальд, Р. «Verschärfung einer notwendigen Bedingung für die Existenz einer ungeraden vollkommenen Zahl». С.-Б. Байер. Акад. Висс . 1937 : 69–72.

дальнейшее чтение

• Нанкар, М.Л.: «История совершенных чисел», Ганита Бхарати 1, вып. 1–2 (1979), 7–8.
• Хагис, П. (1973). «Нижняя граница множества нечетных совершенных простых чисел». Математика вычислений . 27 (124): 951–953. дои : 10.2307/2005530 . JSTOR  2005530.
• Риле, HJJ «Совершенные числа и аликвотные последовательности» в книге HW Lenstra и R. Tijdeman (ред.): Вычислительные методы в теории чисел , Vol. 154, Амстердам, 1982, стр. 141–157.
• Ризель, Х. Простые числа и компьютерные методы факторизации , Биркхаузер, 1985.
• Шандор, Йожеф; Крстичи, Борислав (2004). Справочник по теории чисел II . Дордрехт: Клювер Академик. стр. 15–98. ISBN 1-4020-2546-7. Збл  1079.11001.

Внешние ссылки

• «Совершенное число», Математическая энциклопедия , EMS Press , 2001 [1994]
• Дэвид Мьюз: Идеальные, дружелюбные и общительные числа
• Совершенные числа – история и теория
• Вайсштейн, Эрик В. «Совершенное число». Математический мир .
• Последовательность OEIS A000396 (Совершенные числа)
• OddPerfect.org Проект распределенных вычислений для поиска нечетных совершенных чисел.
• Отличный интернет-поиск простых чисел Мерсенна (GIMPS)
• Perfect Numbers, математический форум в Дрекселе.
• Граймс, Джеймс. «8128: Совершенные числа». Числофил . Брэйди Харан . Архивировано из оригинала 31 мая 2013 г. Проверено 2 апреля 2013 г.