Перидинамика

Компьютерная модель шейки алюминиевого стержня под напряжением. Цвета указывают на повышение температуры из-за нагрева пластика. Расчеты выполняются с использованием компьютерного кода Emu с использованием структуры, основанной на перидинамических состояниях.

Перидинамика — это нелокальная формулировка механики сплошной среды , ориентированная на деформации с разрывами, особенно на трещины . Первоначально была введена перидинамика, основанная на связях , ^[1] в которой внутренние силы взаимодействия между материальной точкой и всеми другими, с которыми она может взаимодействовать, моделируются как центральное поле сил . ^[2] Этот тип силовых полей можно представить как сеть связей, соединяющих каждую точку тела с каждой другой взаимодействующей точкой на определенном расстоянии, которое зависит от свойств материала, называемого перидинамическим горизонтом . Позже, чтобы преодолеть ограничения на основе связей для коэффициента Пуассона материала ^{[3] [4]} ( для плоского напряжения и плоской деформации в двумерных конфигурациях; для трехмерных), была сформулирована перидинамика на основе состояний . ^[5] Его характерной особенностью является то, что на силу, передаваемую между одной точкой и другой, влияет деформированное состояние всех остальных связей относительно зоны ее взаимодействия. ^[1] ${\displaystyle 1/3}$ ${\displaystyle 1/4}$ ${\displaystyle 1/4}$

Характерной особенностью перидинамики, отличающей ее от классической локальной механики, является наличие конечной связи между любыми двумя точками материального тела: это особенность, которая приближает такие формулировки к дискретным мезомасштабным теориям материи. ^[1]

Этимология

Термин «перидинамика » как прилагательное был предложен в 2000 году и происходит от префикса « пери», что означает «все вокруг» , «рядом » или «окружающий» ; и корень дина , что означает силу или власть. Термин «перидинамика» как существительное представляет собой сокращенную форму словосочетания « перидинамическая модель механики твердого тела». ^[1]

Цель

Разрушение — это математическая сингулярность , к которой классические уравнения механики сплошной среды не могут быть применены напрямую. Перидинамическая теория была предложена с целью математического моделирования образования и динамики трещин в упругих материалах. ^[1] Она основана на интегральных уравнениях , в отличие от классической механики сплошной среды, которая основана на уравнениях в частных производных . Поскольку частные производные не существуют на поверхностях трещин ^[1] и других геометрических особенностях , классические уравнения механики сплошной среды не могут применяться непосредственно, когда такие особенности присутствуют в деформации . Интегральные уравнения перидинамической теории справедливы и для особенностей и могут применяться непосредственно, так как не требуют частных производных. Возможность применять одни и те же уравнения непосредственно во всех точках математической модели деформирующейся конструкции помогает перидинамическому подходу избежать необходимости использования специальных методов механики разрушения, таких как xFEM . ^[6] Например, в перидинамике нет необходимости в отдельном законе роста трещины, основанном на коэффициенте интенсивности напряжений . ^[7]

Определение и основная терминология

(а) Кинематика материального тела в рамках перидинамической теории. (б) Представление перидинамического горизонта . ${\displaystyle \Omega _{t}}$ ${\displaystyle {\bf {x}}}$

В контексте теории перидинамики физические тела рассматриваются как состоящие из непрерывной сетки точек, которая может обмениваться силами взаимного взаимодействия на больших расстояниях в пределах максимального и четко установленного расстояния : радиуса перидинамического горизонта . Эта точка зрения гораздо больше приближается к молекулярной динамике , чем к макроскопическим телам, и, как следствие, не основана на концепции тензора напряжений (которая является локальной концепцией) и дрейфует к понятию парной силы , которой материальная точка обменивается внутри своего перидинамического горизонта. . С лагранжевой точки зрения, подходящей для малых смещений, перидинамический горизонт считается фиксированным в исходной конфигурации и затем деформируется вместе с телом. ^[3] Рассмотрим материальное тело, представленное , где может быть 1, 2 или 3. Тело имеет положительную плотность . Его эталонная конфигурация в начальный момент времени обозначается . Важно отметить, что эталонная конфигурация может быть либо конфигурацией без напряжений , либо конкретной конфигурацией тела, выбранной в качестве эталонной. В контексте перидинамики каждая точка взаимодействует со всеми точками в определенной окрестности, определяемой , где и представляет собой подходящую функцию расстояния на . Этот район часто упоминается в литературе как . Он широко известен как горизонт ^[7] [ ^8] или семейство . ^{[3] [9]} ${\displaystyle \delta >0}$ ${\displaystyle {\bf {x}}}$ ${\displaystyle \Omega \subset \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle \rho }$ ${\displaystyle \Omega _{0}\subset \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle \Omega }$ ${\displaystyle {\bf {x}}'}$ ${\displaystyle d({\bf {x}},{\bf {x}}')\leq \delta }$ ${\displaystyle \delta >0}$ ${\displaystyle d(\cdot ,\cdot )}$ ${\displaystyle \Omega _{0}}$ ${\displaystyle B_{\delta }({\bf {x}})}$ ${\displaystyle {\bf {x}}}$

Кинематика описывается через его перемещение из исходного положения, обозначаемое как . Следовательно, положение в конкретный момент времени определяется . При этом для каждой пары взаимодействующих точек изменение длины связи относительно исходной конфигурации отслеживается во времени через относительную деформацию , которую можно выразить как: ${\displaystyle {\bf {x}}}$ ${\displaystyle {\bf {u}}({\bf {x}},t):\Omega _{0}\times \mathbb {R} ^{+}\rightarrow \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle {\bf {x}}}$ ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle {\bf {y}}({\bf {x}},t):={\bf {x}}+{\bf {u}}({\bf {x}},t)}$ ${\displaystyle s({\bf {x}},{\bf {x}}',t)}$

${\displaystyle s\left({\bf {x}},{\bf {x}}',t\right)={\frac {\left|{\bf {u}}\left({\bf {x}}^{\prime },t\right)-{\bf {u}}({\bf {x}},t)\right|}{\left|{\bf {x}}^{\prime }-{\bf {x}}\right|}},}$

где обозначает евклидову норму ^[3] и . ${\displaystyle |\cdot |}$ ${\displaystyle {\bf {x}}'\in B_{\delta }({\bf {x}})\cap \Omega _{0}}$

Взаимодействие между любыми и называется связью . Эти парные связи имеют разную длину с течением времени в зависимости от силы, приходящейся на единицу объема в квадрате, обозначаемой как ^[3] ${\displaystyle {\bf {x}}}$ ${\displaystyle {\bf {x'}}}$

${\displaystyle {\bf {f}}\equiv {\bf {f}}({\bf {x}}',{\bf {x}},{\bf {u}}({\bf {x}}'),{\bf {u}}({\bf {x}}),t)}$.

Эта сила широко известна как парная силовая функция или перидинамическое ядро , и она охватывает все конститутивные (зависящие от материала) свойства. Он описывает, как внутренние силы зависят от деформации. Стоит отметить, что здесь для простоты обозначений опущена зависимость от . Кроме того, вводится член внешнего воздействия , что приводит к следующему уравнению движения, представляющему фундаментальное уравнение перидинамики: ^[3] ${\displaystyle {\bf {u}}}$ ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle \mathbf {b} ({\bf {x}},t)}$

${\displaystyle {\rho {\bf {u}}_{tt}({\bf {x}},t)={\bf {F}}({\bf {x}},t)}\,.}$

где интегральный член представляет собой сумму всех внутренних и внешних сил на единицу объема, действующих на : ${\displaystyle {\bf {F}}({\bf {x}},t)}$ ${\displaystyle {\bf {x}}}$

${\displaystyle {{\bf {F}}({\bf {x}},t):=\int _{\Omega _{0}\cap B_{\delta }({\bf {x}})}{\bf {f}}\left({\bf {x}}',{\bf {x}},{\bf {u}}\left({\bf {x}}'\right),{\bf {u}}({\bf {x}})\right)dV_{{\bf {x}}'}+{\bf {b}}({\bf {x}},t)}\,.}$

Векторнозначная функция — это плотность силы, действующей на . Эта плотность силы зависит от векторов относительного смещения и относительного положения между и . Размерность составляет . _ _ ^[3] ${\displaystyle {\bf {f}}}$ ${\displaystyle {\bf {x'}}}$ ${\displaystyle {\bf {x}}}$ ${\displaystyle {\bf {x'}}}$ ${\displaystyle {\bf {x}}}$ ${\displaystyle {\bf {f}}}$ ${\displaystyle [N/m^{6}]}$

Перидинамика на основе облигаций

В этой формулировке перидинамики ядро ​​определяется природой внутренних сил и физических ограничений, которые управляют взаимодействием только между двумя материальными точками. Для краткости определены следующие величины и так, что ^[1] ${\displaystyle {\bf {\bf {\xi }}}:={\bf {x}}'-{\bf {x}}}$ ${\displaystyle {\bf {\eta }}:={\bf {u}}({\bf {x}}')-{\bf {u}}({\bf {x}})}$

${\displaystyle {\bf {f}}({\bf {x}}'-{\bf {x}},{\bf {u}}({\bf {x}}')-{\bf {u}}({\bf {x}}))\equiv {\bf {{f}({\bf {\xi }},{\bf {\eta }})}}}$

Принцип действия и реакции

Для любого и принадлежности окрестности имеет место следующее соотношение: . Это выражение отражает принцип действия и противодействия, широко известный как Третий закон Ньютона. Оно гарантирует сохранение импульса в системе, состоящей из взаимодействующих частиц. ^[1] ${\displaystyle {\bf {x}}}$ ${\displaystyle {\bf {x'}}}$ ${\displaystyle B_{\delta }({\bf {x}})}$ ${\displaystyle {\bf {f}}(-\eta ,-\xi )=-{\bf {f}}(\eta ,\xi )}$

Сохранение углового момента

Для любых и принадлежащих окрестности выполнено условие: . Это условие возникает из-за рассмотрения относительного деформированного луч- вектора, соединяющего и как . Условие выполняется тогда и только тогда, когда вектор плотности парной силы имеет то же направление, что и относительный деформированный луч-вектор. Другими словами, для всех и , где – скалярная функция. ^[1] ${\displaystyle {\bf {x}}}$ ${\displaystyle {\bf {{x}'}}}$ ${\displaystyle B_{\delta }({\bf {x}})}$ ${\displaystyle (\xi +\eta )\times {\bf {f}}(\xi ,\eta )=0}$ ${\displaystyle {\bf {x}}}$ ${\displaystyle {\bf {{x}'}}}$ ${\displaystyle \xi +\eta }$ ${\displaystyle {\bf {f}}(\xi ,\eta )=f(\xi ,\eta )(\xi +\eta )}$ ${\displaystyle \xi }$ ${\displaystyle \eta }$ ${\displaystyle f(\xi ,\eta )}$

Гиперэластичный материал

Гиперупругий материал — это материал с определяющим соотношением, таким, что: [ ^1]

${\displaystyle \int _{\Gamma }{\bf {f}}({\bf {\xi }},{\bf {\eta }})\cdot d{\bf {\eta }}=0\,,\quad \forall {\text{ closed curve }}\Gamma ,\ \ \ \ \forall {\bf {\xi }}\neq {\bf {{0},}}}$

или, что то же самое, по теореме Стокса

${\displaystyle \nabla _{\bf {\eta }}\times {\bf {f}}({\bf {\xi }},{\bf {\eta }})={\bf {{0}\,}}}$ , ${\displaystyle \forall \,{\bf {\xi }},\,{\bf {\eta }}}$

и поэтому,

${\displaystyle {\bf {f}}({\bf {\xi }},{\bf {\eta }})=\nabla _{\bf {\eta }}\Phi ({\bf {\xi }},\,{\bf {\eta }})\,\forall {\bf {\xi }},\,{\bf {\eta }}\,.}$

В приведенном выше уравнении представлена ​​скалярная потенциальная функция в . ^[1] Из-за необходимости соблюдения закона сохранения углового момента приведенное ниже условие для скалярной функции следует ^[1] ${\displaystyle \Phi ({\bf {\xi }},{\bf {\eta }})}$ ${\displaystyle C^{2}(\mathbb {R} ^{n}\setminus {\bf {{\{0\}}\times \mathbb {R} ^{n})}}}$ ${\displaystyle f({\bf {\xi }},{\bf {\eta }})}$

${\displaystyle {\frac {\partial f({\bf {\xi }},{\bf {\eta }})}{\partial {\bf {\eta }}}}=g({\bf {\xi }},{\bf {\eta }})({\bf {\xi }}+{\bf {\eta }}).}$

где – скалярная функция. Интегрируя обе части уравнения, получаем следующее условие на ^[1] ${\displaystyle g({\bf {\xi }},{\bf {\eta }})}$ ${\displaystyle g({\bf {\xi }},{\bf {\eta }})}$

${\displaystyle {\bf {f}}({\bf {\xi }},{\bf {\eta }})=h(|{\bf {\xi }}+{\bf {\eta }}|,{\bf {\xi }})({\bf {\xi }}+{\bf {\eta }})}$,   

для скалярнозначной функции. Упругая природа очевидна: сила взаимодействия зависит только от начального взаимного положения точек и модуля их взаимного положения в деформированной конфигурации в момент времени . Применяя гипотезу изотропии , зависимость от вектора можно заменить зависимостью от его модуля , ^[1] ${\displaystyle h(|{\bf {\xi }}+{\bf {\eta }}|,{\bf {\xi }})}$ ${\displaystyle {\bf {f}}}$ ${\displaystyle {\bf {x}}}$ ${\displaystyle {\bf {x}}'}$ ${\displaystyle |{\bf {\xi }}+{\bf {\eta }}|}$ ${\displaystyle \Omega _{t}}$ ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle {\bf {\xi }}}$ ${\displaystyle |{\bf {\xi }}|}$

${\displaystyle {\bf {f}}({\bf {\xi }},{\bf {\eta }})=h(|{\bf {\xi }}+{\bf {\eta }}|,|{\bf {\xi }}|)({\bf {\xi }}+{\bf {\eta }}).}$

Таким образом, силы связи можно рассматривать как моделирование пружинной сети, которая  попарно соединяет каждую точку с . ${\displaystyle {\bf {x}}\in \Omega _{0}}$ ${\displaystyle {\bf {x}}'\in B_{\delta }({\bf {x}})\cap \Omega _{0}}$

Линейный эластичный материал

Если , перидинамическое ядро ​​может быть линеаризовано вокруг : ^[1] ${\displaystyle |{\bf {\eta }}|\ll 1}$ ${\displaystyle {\bf {\eta }}={\bf {0}}}$

${\displaystyle {\bf {f}}({\bf {\xi }},{\bf {\eta }})\approx {\bf {f}}({\bf {\xi }},{\bf {{0})+\left.{\frac {\partial {\bf {f}}({\bf {\xi }},{\bf {\eta }})}{\partial {\bf {\eta }}}}\right|_{{\bf {\eta }}={\bf {0}}}{\bf {\eta }};}}}$

тогда тензор микромодуля второго порядка можно определить как

${\displaystyle {\bf {C}}({\bf {\xi }})=\left.{\frac {\partial {\bf {f}}({\bf {\xi }},{\bf {\eta }})}{\partial {\bf {\eta }}}}\right|_{{\bf {\eta }}={\bf {0}}}={\bf {\xi }}\otimes \left.{\frac {\partial f({\bf {\xi }},{\bf {\eta }})}{\partial {\bf {\eta }}}}\right|_{{\bf {\eta }}={\bf {0}}}+f_{0}I}$

где и – тождественный тензор. После применения баланса линейного количества движения, упругости и условий изотропии тензор микромодуля может быть выражен в этой форме ^[1] ${\displaystyle f_{0}:=f({\bf {\xi }},{\bf {0}})}$ ${\displaystyle I}$

${\displaystyle {\bf {C}}({\bf {\xi }})=\lambda (|{\bf {\xi }}|){\bf {\xi }}\otimes {\bf {\xi }}+f_{0}I.}$

Поэтому для линеаризованного гиперупругого материала его перидинамическое ядро ​​имеет следующую структуру ^[1]

${\displaystyle {\bf {f}}({\bf {\xi }},{\bf {\eta }})\approx {\bf {f}}({\bf {\xi }},{\bf {0}})+\left(\lambda (|{\bf {\xi }}|){\bf {\xi }}\otimes {\bf {\xi }}+f_{0}I\right){\bf {\eta }}.}$

Выражения для перидинамического ядра

Перидинамическое ядро ​​— это универсальная функция, характеризующая конститутивное поведение материалов в рамках теории перидинамики. Одна из широко используемых формулировок ядра используется для описания класса материалов, известных как прототипы микроупругих хрупких материалов (ПМБ). В случае изотропных материалов ПМБ предполагается, что парная сила линейно пропорциональна конечному растяжению ^[7] , испытываемому материалом, определяемому как

${\displaystyle s:=(|{\bf {\xi }}+{\bf {\eta }}|-|{\bf {\xi }}|)/|{\bf {\xi }}|}$,

так что

${\displaystyle \mathbf {f} ({\bf {\eta }},{\bf {\xi }})=f(|{\bf {\xi }}+{\bf {\eta }}|,|{\bf {\xi }}|){\bf {{n},}}}$

где

${\displaystyle {\bf {{n}:=({\bf {\xi }}+{\bf {\eta }})/|{\bf {\xi }}+{\bf {\eta }}|}}}$

и где скалярная функция определяется следующим образом ^[7] ${\displaystyle f}$

${\displaystyle f=cs\mu (s,t)=c\;{\frac {|{\bf {\xi }}+{\bf {\eta }}|-|{\bf {\xi }}|}{|{\bf {\xi }}|}}\mu (s,t),}$с

${\displaystyle \mu (s,t)=\left\{{\begin{array}{ll}1\,,&{\text{ if }}s\left(t^{\prime },{\bf {\xi }}\right)<s_{0}\,,\\0\,,&{\text{ otherwise, }}\end{array}}\ \ \ \ {\text{ for all }}0\leq t^{\prime }\leq t\right.;}$

Константа называется константой микромодуля , и функция служит для указания того, превысило ли в данный момент растяжение связи , связанной с парой, критическое значение . При превышении критического значения связь считается разорванной , и для всех присваивается нулевая попарная сила . ^[1] ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle \mu (s,t)}$ ${\displaystyle t'\leq t}$ ${\displaystyle s}$ ${\displaystyle ({\bf {x,\,x'}})}$ ${\displaystyle s_{0}}$ ${\displaystyle t\geq t'}$

После сравнения значения плотности энергии деформации , полученного при изотропном расширении соответственно с использованием перидинамики и классической теории континуума, можно найти физическое когерентное значение микромодуля ^[7] ${\displaystyle c}$

${\displaystyle c={\frac {18k}{\pi \delta ^{4}}},}$

где модуль объемного сжатия материала. ${\displaystyle k}$

Следуя тому же подходу ^[10] константу микромодуля можно расширить до , где теперь – функция микромодуля . Эта функция дает более детальное описание того, как интенсивность парных сил распределяется по перидинамическому горизонту . Интуитивно понятно, что интенсивность сил уменьшается по мере увеличения расстояния между и , но конкретный способ, которым происходит это уменьшение, может варьироваться. ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle c({\bf {\xi }},\delta )}$ ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle B_{\delta }({\bf {x}})}$ ${\displaystyle {\bf {x}}}$ ${\displaystyle {\bf {x}}'\in B_{\delta }({\bf {x}})}$

Функция микромодуля выражается как ^[11]

${\displaystyle c({\bf {\xi }},\delta ):=c({\bf {{0},\delta )k({\bf {\xi }},\delta )\,,}}}$

где константа получена путем сравнения плотности перидинамической деформации с классическими механическими теориями; ^[12] — функция, определенная на со следующими свойствами (с учетом ограничений сохранения импульса и изотропии) ^[11] ${\displaystyle c({\bf {{0},\delta )}}}$ ${\displaystyle k({\bf {\xi }},\delta )}$ ${\displaystyle \Omega _{0}}$

${\displaystyle \left\{{\begin{array}{l}k({\bf {\xi }},\delta )=k(-{\bf {\xi }},\delta )\,,\\\lim _{{\bf {\xi }}\rightarrow {\bf {0}}}k({\bf {\xi }},\delta )=\max _{{\bf {\xi }}\ \in \mathbb {R} ^{n}}\{k({\bf {\xi }},\delta )\}\,,\\\lim _{{\bf {\xi }}\rightarrow \delta }k({\bf {\xi }},\delta )=0\,,\\\int _{\mathbb {R} ^{n}}\lim _{\delta \rightarrow 0}k({\bf {\xi }},\delta )d{\bf {x}}=\int _{\mathbb {R} ^{n}}\Delta ({\bf {\xi }})d{\bf {x}}=1\,,\end{array}}\right.}$

где – дельта-функция Дирака . ${\displaystyle \Delta ({\bf {\xi }})}$

Графическое изображение некоторых широко используемых функций микромодуля . ${\displaystyle c({\bf {\xi }},\delta )=c({\bf {{0},\delta )k({\bf {\xi }},\delta )}}}$

Цилиндрический микромодуль

Простейшим выражением для функции микромодуля является ^[11]

${\displaystyle c({\bf {{0},\delta )k({\bf {\xi }},\delta )=c{\bf {{1}_{B_{\delta }({\bf {x}}')}}}}}}$,

где : – индикаторная функция подмножества , определяемая как ${\displaystyle {\bf {{1}_{A}}}}$ ${\displaystyle X\rightarrow \mathbb {R} }$ ${\displaystyle A\subset X}$

${\displaystyle \mathbf {1} _{A}(x):={\begin{cases}1,&x\in A\,,\\0,&x\notin A\,,\end{cases}}\;\;;}$

Треугольный микромодуль

Он характеризуется тем, что является линейной функцией ^[13] ${\displaystyle k({\bf {\xi }},\delta )}$

${\displaystyle k({\bf {\xi }},\delta )=\left(1-{\frac {|{\bf {\xi }}|}{\delta }}\right){\bf {{1}_{B_{\delta }({\bf {x}}')}.}}}$

Нормальный микромодуль

Если кто-то хочет отразить тот факт, что наиболее распространенные дискретные физические системы характеризуются распределением Максвелла-Больцмана , чтобы включить это поведение в перидинамику, можно использовать следующее выражение для ^[14] ${\displaystyle k({\bf {\xi }},\delta )}$

${\displaystyle k({\bf {\xi }},\delta )=e^{-(|{\bf {\xi }}|/\delta )^{2}}{\bf {{1}_{B_{\delta }({\bf {x}}')};}}}$

Квартичный микромодуль

В литературе можно встретить также следующее выражение для функции [ ^11] ${\displaystyle k({\bf {\xi }},\delta )}$

${\displaystyle k({\bf {\xi }},\delta )=\left(1-\left({\frac {\xi }{\delta }}\right)^{2}\right)^{2}{\bf {{1}_{B_{\delta }({\bf {x}}')}.}}}$

В целом, в зависимости от конкретного свойства материала, подлежащего моделированию, существует широкий диапазон выражений для микромодуля и, в целом, для перидинамического ядра. Таким образом, приведенный выше список не является исчерпывающим. ^[11]

Повреждать

Представление перидинамической парной силовой функции с функцией разрыва связей ; после превышения критического значения растяжения связь считается разорванной, и между двумя вовлеченными материальными точками не существует силы. ${\displaystyle {\bf {f}}(\xi ,\eta )}$ ${\displaystyle \mu (s,t)}$ ${\displaystyle s_{0}}$

Повреждение включено в функцию парной силы, позволяя связям разрываться, когда их удлинение превышает некоторое заданное значение. После разрыва связи она больше не выдерживает никакой силы, и конечные точки фактически отключаются друг от друга. Когда связь разрывается, сила, которую она несла, перераспределяется на другие связи, которые еще не разорвались. Эта возросшая нагрузка повышает вероятность того, что эти другие облигации разорвутся. Процесс разрыва связей и перераспределения нагрузки, приводящий к дальнейшему разрушению, — это рост трещин в перидинамической модели. ^[7]

Аналитически торможение связи задается внутри выражения перидинамического ядра функцией ^[7]

${\displaystyle \mu (s,t)=\left\{{\begin{array}{ll}1\,,&{\text{ if }}s\left(t^{\prime },{\bf {\xi }}\right)<s_{0}\,,\\0\,,&{\text{ otherwise, }}\end{array}}\ \ \ \ {\text{ for all }}0\leq t^{\prime }\leq t\right.;}$

Если построить график зависимости растяжения связи , то влияние функции торможения связи на образование трещин становится ясным. Однако в перидинамической модели можно смоделировать не только резкий перелом, но и использовать более общее выражение для. ^[7] ${\displaystyle {\bf {f}}(s,t)}$ ${\displaystyle s}$ ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle \mu }$

Государственная перидинамика

Описанная выше теория предполагает, что каждая перидинамическая связь реагирует независимо от всех остальных. Это чрезмерное упрощение для большинства материалов и приводит к ограничениям типов материалов, которые можно моделировать. В частности, это предположение подразумевает, что любое изотропное линейно-упругое твердое тело ограничено коэффициентом Пуассона , равным 1/4. ^[3]

Чтобы устранить этот недостаток общности, была введена идея перидинамических состояний . Это позволяет плотности силы в каждой связи зависеть от растяжений во всех связях, соединенных с ее конечными точками, в дополнение к ее собственному растяжению. Например, сила облигации может зависеть от изменений чистого объема в конечных точках. Эффект этого изменения объема относительно эффекта растяжения связи определяет коэффициент Пуассона . С помощью перидинамических состояний любой материал, который можно смоделировать в рамках стандартной теории механики сплошной среды , можно смоделировать как перидинамический материал, сохраняя при этом преимущества перидинамической теории разрушения. ^[5]

Математически уравнение внутренней и внешней силы

${\displaystyle {{\bf {F}}({\bf {x}},t):=\int _{\Omega _{0}\cap B_{\delta }({\bf {x}})}{\bf {f}}\left({\bf {x}}',{\bf {x}},{\bf {u}}\left({\bf {x}}'\right),{\bf {u}}({\bf {x}})\right)dV_{{\bf {x}}'}+{\bf {b}}({\bf {x}},t)}\,.}$

используемый в составах на основе связей, заменен на ^[5] ${\displaystyle {\bf {F}}({\bf {x}},t):=\int _{B_{\delta }({\bf {x}})}\left\{{\underline {\mathbf {T} }}[\mathbf {x} ,t]\left\langle \mathbf {x} ^{\prime }-\mathbf {x} \right\rangle -{\underline {\mathbf {T} }}\left[\mathbf {x} ^{\prime },t\right]\left\langle \mathbf {x} -\mathbf {x} ^{\prime }\right\rangle \right\}dV_{\mathbf {x} ^{\prime }}+\mathbf {b} (\mathbf {x} ,t),}$

где – поле состояния вектора силы. ${\displaystyle {\underline {\mathbf {T} }}}$

Общее состояние m-порядка — это математический объект, аналогичный тензору , за исключением того, что оно ^[5] ${\displaystyle {\underline {\mathbf {A} }}\langle \cdot \rangle :B_{\delta }({\bf {x}})\rightarrow {\mathcal {L}}_{m}.}$

• в целом нелинейный;
• в целом непостоянный;
• не является конечномерным.

Векторные состояния — это состояния порядка 2. Для так называемого простого материала определяется как ${\displaystyle {\underline {\mathbf {T} }}}$

${\displaystyle {\underline {\mathbf {T} }}:={\underline {\mathbf {\hat {T}} }}({\underline {\mathbf {Y} }})}$

где – интегрируемая по Риману функция на , называется полем состояния вектора деформации и определяется следующим соотношением ^[5] ${\displaystyle {\underline {\mathbf {\hat {T}} }}:{\mathcal {V}}\rightarrow {\mathcal {V}}}$ ${\displaystyle B_{\delta }({\bf {x}})}$ ${\displaystyle {\underline {\mathbf {Y} }}}$

${\displaystyle {\underline {\mathbf {Y} }}[\mathbf {x} ,t]\langle {\boldsymbol {\xi }}\rangle =\mathbf {y} (\mathbf {x} +{\boldsymbol {\xi }},t)-\mathbf {y} (\mathbf {x} ,t)\quad \forall \mathbf {x} \in \Omega _{0},\xi \in B_{\delta }({\bf {x}}),t\geq 0}$

таков образ связи при деформации ${\displaystyle {\underline {\mathbf {Y} }}\left\langle \mathbf {x} ^{\prime }-\mathbf {x} \right\rangle }$ ${\displaystyle \mathbf {x} ^{\prime }-\mathbf {x} }$

такой, что

${\displaystyle {\underline {\mathbf {Y} }}\langle {\boldsymbol {\xi }}\rangle =\mathbf {0} {\text{ if and only if }}{\boldsymbol {\xi }}=\mathbf {0} ,}$

это означает, что две разные частицы никогда не занимают одну и ту же точку по мере развития деформации. ^[5]

Можно доказать ^[5] , что баланс импульсов следует из определения , а если определяющее соотношение таково, что ${\displaystyle {\bf {F}}({\bf {x,\,t}})}$

${\displaystyle \int _{B_{\delta }({\bf {x}})}{\underline {\mathbf {Y} }}\langle {\boldsymbol {\xi }}\rangle \times {\underline {\mathbf {T} }}\langle {\boldsymbol {\xi }}\rangle dV_{\boldsymbol {\xi }}=0\quad \forall {\underline {\mathbf {Y} }}\in {\mathcal {V}}}$

Поле состояния вектора силы удовлетворяет балансу углового момента. ^[5]

Приложения

Вязкое разрушение сплава Al-Mg-Si .

Растущий интерес к перидинамике ^[6] обусловлен ее способностью заполнить пробел между атомистическими теориями материи и классической локальной механикой сплошной среды. Он эффективно применяется к явлениям микромасштаба, таким как образование и распространение трещин , ^{[15] [16] [17]} дисперсия волн , ^{[18] [19]} внутризеренный разрушение. ^[20] Эти явления можно описать путем соответствующей настройки радиуса перидинамического горизонта, который напрямую связан со степенью нелокального взаимодействия между точками внутри материала. ^[21]

Помимо вышеупомянутых областей исследований, нелокальный подход перидинамики к разрывам нашел применение в различных других областях. В геомеханике он использовался для изучения трещин в почве, вызванных водой, ^{[22] [23]} разрушения геоматериалов , ^[24] фрагментации горных пород, ^{[25] [26]} и так далее. В биологии перидинамика использовалась для моделирования дальнодействующих взаимодействий в живых тканях , ^[27] разрывов клеток , растрескивания биомембран ^[28] и многого другого. ^[6] Кроме того, перидинамика была расширена до теории термодиффузии , ^{[29] [30]} что позволяет моделировать теплопроводность в материалах с несплошностями, дефектами, неоднородностями и трещинами. Он также применялся для изучения явлений адвекции-диффузии в многофазных жидкостях ^[31] и для построения моделей нестационарных задач адвекции-диффузии. ^[32] Благодаря своей универсальности, перидинамика использовалась в различных мультифизических анализах , включая микроструктурный анализ, ^[33] усталость и теплопроводность в композиционных материалах, ^{[34] [35]} гальваническую коррозию в металлах, ^[36] электричество -индуцированные трещины в диэлектрических материалах и многое другое. ^[6]

Смотрите также

• Механика сплошных сред
• Механика разрушения
• Передвижной клеточный автомат
• Молекулярная динамика
• Нелокальный оператор
• Сингулярность

Рекомендации

1. Силлинг, SA (январь 2000 г.). «Переформулировка теории упругости для разрывов и дальнодействующих сил». Журнал механики и физики твердого тела . 48 (1): 175–209. Бибкод : 2000JMPSo..48..175S. дои : 10.1016/S0022-5096(99)00029-0. S2CID  122055539.
2. Димола, Нунцио; Коклит, Алессандро; Фаницца, Джузеппе; Полити, Тициано (23 октября 2022 г.). «Перидинамика, основанная на связях, обзор нелокальных теорий гидродинамики». Достижения в области непрерывных и дискретных моделей . 2022 (1). arXiv : 2207.06194 . дои : 10.1186/s13662-022-03732-6 . ISSN  2731-4235.
3. Маденчи, Эрдоган; Отеркус, Эркан (2014). Перидинамическая теория и ее приложения . Нью-Йорк, штат Нью-Йорк: Спрингер. стр. 19–43. ISBN 978-1-4614-8464-6.
4. Мацек, Ричард В.; Силлинг, Стюарт А. (ноябрь 2007 г.). «Перидинамика посредством анализа методом конечных элементов». Конечные элементы в анализе и проектировании . 43 (15): 1169–1178. дои : 10.1016/j.finel.2007.08.012. ISSN  0168-874X. ОСТИ  1725746.
5. Силлинг, SA; Эптон, М.; Векнер, О.; Сюй, Дж.; Аскари, Э. (8 августа 2007 г.). «Перидинамические состояния и конститутивное моделирование». Журнал эластичности . 88 (2): 151–184. дои : 10.1007/s10659-007-9125-1. ISSN  0374-3535. S2CID  30571789.
6. Джавили, Али; Морасата, Рико; Отеркус, Эркан; Отеркус, Сельда (ноябрь 2019 г.). «Обзор перидинамики». Математика и механика твердого тела . 24 (11): 3714–3739. дои : 10.1177/1081286518803411. hdl : 11693/53217 . ISSN  1081-2865. S2CID  162176799.
7. Силлинг, SA; Аскари, Э. (июнь 2005 г.). «Бессеточный метод, основанный на перидинамической модели механики твердого тела». Компьютеры и конструкции . 83 (17–18): 1526–1535. doi :10.1016/j.compstruc.2004.11.026.
8. Рен, Хуэйлун; Чжуан, Сяоин; Цай, Юнчан; Рабчук, Тимон (21 декабря 2016 г.). «Двухгоризонтная перидинамика: Двухгоризонтная перидинамика». Международный журнал численных методов в технике . 108 (12): 1451–1476. arXiv : 1506.05146 . дои : 10.1002/nme.5257. S2CID  117201049.
9. Чен, Цзыгуан; Бакенхус, Дрю; Бобару, Флорин (ноябрь 2016 г.). «Конструктивное перидинамическое ядро ​​упругости». Компьютерные методы в прикладной механике и технике . 311 : 356–373. Бибкод : 2016CMAME.311..356C. дои : 10.1016/j.cma.2016.08.012 .
10. Бобару, Флорин; Дуангпанья, Мончай (сентябрь 2010 г.). «Перидинамическая формулировка нестационарной теплопроводности». Международный журнал тепломассообмена . 53 (19–20): 4047–4059. doi :10.1016/j.ijheatmasstransfer.2010.05.024.
11. Хуан, Дэн; Лу, Гуанда; Ван, Чунвэнь; Цяо, Пичжун (июнь 2015 г.). «Расширенный перидинамический подход к анализу деформаций и разрушений». Инженерная механика разрушения . 141 : 196–211. doi :10.1016/j.engfracmech.2015.04.036.
12. Чен, Чжиюн; Вуди Джу, Дж.; Су, Гошао; Хуан, Сяохуа; Ли, Шуан; Чжай, Ляньцзюнь (июль 2019 г.). «Влияние функций микромодуля на перидинамическое моделирование распространения и разветвления трещин в хрупких материалах». Инженерная механика разрушения . 216 : 106498. doi : 10.1016/j.engfracmech.2019.106498. S2CID  197621064.
13. Ха, Юн До; Бобару, Флорин (март 2010 г.). «Исследование динамического распространения трещин и ветвления трещин с учетом перидинамики». Международный журнал переломов . 162 (1–2): 229–244. дои : 10.1007/s10704-010-9442-4. ISSN  0376-9429. S2CID  8462707.
14. Килич, Бахаттин (2008). «Перидинамическая теория для прогнозирования прогрессирующих разрушений однородных и гетерогенных материалов». {{cite journal}}: Требуется цитировать журнал |journal=( помощь )
15. Агвай, Эбигейл; Гювен, Ибрагим; Маденчи, Эрдоган (сентябрь 2011 г.). «Прогнозирование распространения трещин с помощью перидинамики: сравнительное исследование». Международный журнал переломов . 171 (1): 65–78. дои : 10.1007/s10704-011-9628-4. ISSN  0376-9429. S2CID  136475045.
16. Липтон, Роберт (октябрь 2014 г.). «Динамическое хрупкое разрушение как предел малого горизонта перидинамики». Журнал эластичности . 117 (1): 21–50. arXiv : 1305.4531 . дои : 10.1007/s10659-013-9463-0 . ISSN  0374-3535. S2CID  254462294.
17. Силлинг, SA; Векнер, О.; Аскари, Э.; Бобару, Ф. (март 2010 г.). «Зарождение трещин в перидинамическом твердом теле». Международный журнал переломов . 162 (1–2): 219–227. doi : 10.1007/s10704-010-9447-z. ISSN  0376-9429. S2CID  209225.
18. Коклит, генеральный директор; Дипьерро, С.; Фаницца, Г.; Маддалена, Ф.; Романо, М.; Вальдиночи, Э. (март 2023 г.). «Качественные аспекты нелокальной динамики». Журнал перидинамики и нелокального моделирования . 5 (1): 1–19. arXiv : 2106.13596 . doi : 10.1007/s42102-021-00064-z. ISSN  2522-896X. S2CID  235652235.
19. Селесон, Пабло; Паркс, Майкл Л.; Гинцбургер, Макс; Лехук, Ричард Б. (январь 2009 г.). «Перидинамика как расширение молекулярной динамики». Многомасштабное моделирование . 8 (1): 204–227. дои : 10.1137/09074807X. ISSN  1540-3459. ОСТИ  1678881.
20. Бехзадинасаб, Масуд; Фостер, Джон Т. (апрель 2020 г.). «Полулагранжева конститутивная структура соответствия для перидинамики». Журнал механики и физики твердого тела . 137 : 103862. Бибкод : 2020JMPSo.13703862B. дои : 10.1016/j.jmps.2019.103862 . S2CID  212784700.
21. Аскари, Э; Бобару, Ф; Лехук, РБ; Паркс, МЛ; Силлинг, ЮАР; Векнер, О. (1 июля 2008 г.). «Перидинамика для многомасштабного моделирования материалов». Физический журнал: серия конференций . 125 (1): 012078. Бибкод : 2008JPhCS.125a2078A. дои : 10.1088/1742-6596/125/1/012078 . ISSN  1742-6596. S2CID  250694017.
22. Ни, Тао; Песавенто, Франческо; Заккариотто, Мирко; Гальванетто, Уго; Чжу, Ци-Чжи; Шрефлер, Бернхард А. (июль 2020 г.). «Гибридное МКЭ и перидинамическое моделирование распространения трещин гидроразрыва в насыщенных пористых средах». Компьютерные методы в прикладной механике и технике . 366 : 113101. arXiv : 2307.10929 . Бибкод : 2020CMAME.366k3101N. дои : 10.1016/j.cma.2020.113101. S2CID  219519506.
23. Чжоу, Сяо-Пин; Ван, Юн-Тэн; Шоу, Юн-Донг (август 2020 г.). «Перидинамическая модель на основе гидромеханической связи для процессов гидроразрыва под давлением и жидкости в трещиновато-пористых породах». Международный журнал механики горных пород и горных наук . 132 : 104383. Бибкод : 2020IJRMM.13204383Z. doi : 10.1016/j.ijrmms.2020.104383. S2CID  225382857.
24. Сун, Сяоюй; Халили, Насер (январь 2019 г.). «Модель перидинамики для анализа локализации деформации геоматериалов». Международный журнал численных и аналитических методов в геомеханике . 43 (1): 77–96. Бибкод : 2019IJNAM..43...77S. дои : 10.1002/nag.2854 . ISSN  0363-9061. S2CID  125649306.
25. Панчадхара, Рохан; Гордон, Питер А.; Паркс, Майкл Л. (март 2017 г.). «Моделирование стимуляции скважины топливом с учетом перидинамики». Международный журнал механики горных пород и горных наук . 93 : 330–343. Бибкод : 2017IJRMM..93..330P. дои : 10.1016/j.ijrmms.2017.02.006 .
26. Чжоу, Сяо-Пин; Ван, Юн-Тэн (январь 2021 г.). «Современный обзор характеристик прогрессивного разрушения геоматериалов в теории перидинамики». Журнал инженерной механики . 147 (1). doi : 10.1061/(ASCE)EM.1943-7889.0001876. ISSN  0733-9399. S2CID  228906748.
27. Лежен, Эмма; Линдер, Кристиан (август 2017 г.). «Моделирование роста опухоли с помощью перидинамики». Биомеханика и моделирование в механобиологии . 16 (4): 1141–1157. дои : 10.1007/s10237-017-0876-8. ISSN  1617-7959. PMID  28124191. S2CID  254169636.
28. Тейлор, Майкл; Гёзен, Иреп; Патель, Самир; Джесорка, Альдо; Бертольди, Катя (09.11.2016). ван Вин, Хендрик В. (ред.). «Перидинамическое моделирование разрывов биомембран». ПЛОС ОДИН . 11 (11): e0165947. Бибкод : 2016PLoSO..1165947T. дои : 10.1371/journal.pone.0165947 . ISSN  1932-6203. ПМК 5102442 . ПМИД  27829001. 
29. Бобару, Флорин; Дуангпанья, Мончай (апрель 2012 г.). «Перидинамическая формулировка нестационарной теплопроводности в телах с развивающимися разрывами». Журнал вычислительной физики . 231 (7): 2764–2785. Бибкод : 2012JCoPh.231.2764B. дои : 10.1016/j.jcp.2011.12.017. S2CID  6929467.
30. Отеркус, Сельда; Маденчи, Эрдоган; Агвай, Эбигейл (май 2014 г.). «Перидинамическая термодиффузия». Журнал вычислительной физики . 265 : 71–96. Бибкод : 2014JCoPh.265...71O. дои : 10.1016/j.jcp.2014.01.027. S2CID  22835224.
31. Фостер, Джон (2019). «Методы нелокального и дробного порядка для определения пристеночной турбулентности, моделирования крупных вихрей и взаимодействия жидкости со структурой». Технический отчет, Техасский университет в Остине, США .
32. Чжао, Цзянмин; Чен, Цзыгуан; Мехрмашхади, Джавад; Бобару, Флорин (ноябрь 2018 г.). «Построение перидинамической модели для нестационарных задач адвекции-диффузии». Международный журнал тепломассообмена . 126 : 1253–1266. doi :10.1016/j.ijheatmasstransfer.2018.06.075. S2CID  125321481.
33. Буряченко, Валерий А. (октябрь 2020 г.). «Метод обобщенного эффективного поля в перидинамической микромеханике композитов произвольной структуры». Международный журнал твердых тел и структур . 202 : 765–786. doi : 10.1016/j.ijsolstr.2020.06.022 . S2CID  225577923.
34. Ху, ЮЛ; Маденчи, Э. (январь 2017 г.). «Перидинамика для прогнозирования усталостной долговечности и остаточной прочности композитных ламинатов». Композитные конструкции . 160 : 169–184. doi :10.1016/j.compstruct.2016.10.010.
35. Отеркус, Эркан; Маденчи, Эрдоган (28 марта 2012 г.). «Перидинамический анализ армированных волокном композиционных материалов». Журнал «Механика материалов и конструкций» . 7 (1): 45–84. дои : 10.2140/jomms.2012.7.45 . ISSN  1559-3959.
36. Чжао, Цзянмин; Джафарзаде, Сиаваш; Рахмани, Мохаммед; Чен, Цзыгуан; Ким, Ён-Рак; Бобару, Флорин (сентябрь 2021 г.). «Перидинамическая модель гальванической коррозии и разрушения». Электрохимика Акта . 391 : 138968. doi : 10.1016/j.electacta.2021.138968 .

дальнейшее чтение

• Бобару, Флорин; Фостер, Джон Т.; Гебель, Филипп Х.; Силлинг, Стюарт А., ред. (2016). Справочник по перидинамическому моделированию . Достижения прикладной математики. Бока-Ратон, Лондон, Нью-Йорк: CRC Press, Taylor & Francisco Group, книга Чепмена и Холла. ISBN 978-1-4822-3044-4.
• Отеркус, Эркан; Отеркус, Сельда; Маденчи, Эрдоган (24 апреля 2021 г.). Перидинамическое моделирование, численные методы и приложения. Эльзевир. ISBN 978-0-12-820441-2.
• Рабчук, Тимон; Рен, Хуэйлун; Чжуан, Сяоин (15 февраля 2023 г.). Вычислительные методы на основе перидинамики и нелокальных операторов: теория и приложения. Спрингер Природа. ISBN 978-3-031-20906-2.
• Д'Элия, Марта; Ли, Синцзе; Селесон, Пабло; Тянь, Сяочуань; Ю, Юэ (март 2022 г.). «Обзор методов локально-нелокальной связи в нелокальной диффузии и нелокальной механике». Журнал перидинамики и нелокального моделирования . 4 (1): 1–50. arXiv : 1912.06668 . дои : 10.1007/s42102-020-00038-7. ISSN  2522-896X. S2CID  257114051.
• Бобару, Флорин; Чен, Цзыгуан; Джафарзаде, Сиаваш (1 декабря 2023 г.). Коррозионное повреждение и коррозионное разрушение: перидинамическое моделирование и расчеты. Эльзевир. ISBN 978-0-12-823174-6.

Внешние ссылки

• Реализация конечно-элементной и конечно-разностной аппроксимации нелокальных моделей.
• Peridigm — код вычислительной перидинамики с открытым исходным кодом.
• Репозиторий PeriDoX с открытым исходным кодом для перидинамики и его документация
• Репозиторий PeriLab с открытым исходным кодом для перидинамики, написанный на Julia.
• Сандиа Лаборатория-Перидинамика
• Сайт по перидинамике