Периодическая точка

Точка, в которую возвращается функция/система после некоторого времени или итераций

В математике , при изучении итерационных функций и динамических систем , периодической точкой функции называется точка, в которую система возвращается после определенного числа итераций функции или через определенный промежуток времени.

Итерированные функции

Дано отображение f из множества X в себя,

${\displaystyle f:X\to X,}$

точка x в X называется периодической точкой, если существует n >0, такое что

${\displaystyle \ f_{n}(x)=x}$

где f _n — n-я итерация f . Наименьшее положительное целое число n , удовлетворяющее вышеизложенному, называется простым периодом или наименьшим периодом точки x . Если каждая точка в X является периодической точкой с тем же периодом n , то f называется периодической с периодом n (это не следует путать с понятием периодической функции ) .

Если существуют различные n и m, такие что

${\displaystyle f_{n}(x)=f_{m}(x)}$

тогда x называется предпериодической точкой . Все периодические точки являются предпериодическими.

Если f — диффеоморфизм дифференцируемого многообразия , так что производная определена, то говорят, что периодическая точка является гиперболической , если ${\displaystyle f_{n}^{\prime }}$

${\displaystyle |f_{n}^{\prime }|\neq 1,}$

что это привлекательно, если

${\displaystyle |f_{n}^{\prime }|<1,}$

и это отталкивает, если

${\displaystyle |f_{n}^{\prime }|>1.}$

Если размерность устойчивого многообразия периодической точки или неподвижной точки равна нулю, то точка называется источником ; если размерность ее неустойчивого многообразия равна нулю, то она называется стоком ; а если и устойчивое, и неустойчивое многообразие имеют ненулевую размерность, то она называется седлом или седловой точкой .

Примеры

Точка периода один называется неподвижной точкой .

Логистическая карта

$${\displaystyle x_{t+1}=rx_{t}(1-x_{t}),\qquad 0\leq x_{t}\leq 1,\qquad 0\leq r\leq 4}$$

проявляет периодичность для различных значений параметра r . Для r между 0 и 1, 0 является единственной периодической точкой с периодом 1 (что дает последовательность 0, 0, 0, …, которая притягивает все орбиты). Для r между 1 и 3 значение 0 все еще является периодическим, но не притягивающим, в то время как значение является притягивающей периодической точкой периода 1. При r больше 3, но меньше ⁠ ⁠ существует пара точек периода 2, которые вместе образуют притягивающую последовательность, а также непритягивающие точки периода 1 0 и По мере того, как значение параметра r возрастает до 4, возникают группы периодических точек с любым положительным целым числом для периода; для некоторых значений r одна из этих повторяющихся последовательностей является притягивающей, а для других ни одна из них не является (при этом почти все орбиты являются хаотическими). ${\displaystyle {\tfrac {r-1}{r}}}$ ${\displaystyle 1+{\sqrt {6}},}$ ${\displaystyle {\tfrac {r-1}{r}}.}$

Динамическая система

Дана реальная глобальная динамическая система ⁠ ⁠ ${\displaystyle (\mathbb {R} ,X,\Phi ),}$ с X — фазовым пространством и Φ — функцией эволюции ,

${\displaystyle \Phi :\mathbb {R} \times X\to X}$

точка x в X называется периодической с периодом T, если

${\displaystyle \Phi (T,x)=x\,}$

Наименьшее положительное число T с этим свойством называется простым периодом точки x .

Характеристики

• Дана периодическая точка x с периодом T , тогда для всех t в ⁠ ⁠ ${\displaystyle \Phi (t,x)=\Phi (t+T,x)}$ ${\displaystyle \mathbb {R} .}$
• Если задана периодическая точка x , то все точки на орбите γ _x через x являются периодическими с одним и тем же простым периодом.

Смотрите также

• Предельный цикл
• Установлен предел
• Стабильный набор
• Теорема Шарковского
• Стационарная точка
• Периодические точки комплексных квадратичных отображений

В данной статье использованы материалы из книги «Гиперболическая неподвижная точка» на сайте PlanetMath , которая распространяется по лицензии Creative Commons Attribution/Share-Alike License .