Модель фазового поля

Математическая модель

Модель фазового поля — это математическая модель для решения проблем на границе раздела. Она в основном применялась к динамике затвердевания, ^[1] но также применялась к другим ситуациям, таким как вязкое пальцевидение , ^[2] механика разрушения , ^{[3] [4] [5] [6]} водородная хрупкость , ^[7] и динамика пузырьков . ^{[8] [9] [10] [11]}

Метод заменяет граничные условия на интерфейсе на частное дифференциальное уравнение для эволюции вспомогательного поля (фазового поля), которое играет роль параметра порядка . Это фазовое поле принимает два различных значения (например, +1 и −1) в каждой из фаз, с плавным изменением между обоими значениями в зоне вокруг интерфейса, которая затем размыта с конечной шириной. Дискретное местоположение интерфейса может быть определено как совокупность всех точек, где фазовое поле принимает определенное значение (например, 0).

Модель фазового поля обычно строится таким образом, что в пределе бесконечно малой ширины интерфейса (так называемый предел резкого интерфейса) восстанавливается правильная динамика интерфейса. Такой подход позволяет решить задачу путем интегрирования набора уравнений в частных производных для всей системы, избегая тем самым явного рассмотрения граничных условий на интерфейсе.

Модели фазового поля были впервые представлены Фиксом ^[12] и Лангером ^[13] и вызвали растущий интерес к затвердеванию и другим областям.

Уравнения модели фазового поля

Модели фазового поля обычно строятся для воспроизведения заданной динамики интерфейса. Например, в задачах затвердевания динамика фронта задается уравнением диффузии для концентрации или температуры в объеме и некоторыми граничными условиями на интерфейсе (локальное условие равновесия и закон сохранения), ^[14] , что составляет модель резкого интерфейса.

Двухфазная микроструктура и профиль параметра порядка показаны на линии, проходящей через домен. Постепенное изменение параметра порядка от одной фазы к другой показывает диффузную природу интерфейса. ${\displaystyle \varphi }$

Ряд формулировок модели фазового поля основаны на функции свободной энергии , зависящей от параметра порядка (фазового поля) и диффузионного поля (вариационные формулировки). Уравнения модели затем получаются с использованием общих соотношений статистической физики . Такая функция строится из физических соображений, но содержит параметр или комбинацию параметров, связанных с шириной интерфейса. Затем параметры модели выбираются путем изучения предела модели, когда эта ширина стремится к нулю, таким образом, чтобы можно было идентифицировать этот предел с предполагаемой моделью резкого интерфейса.

Другие формулировки начинаются с прямой записи уравнений фазового поля, без ссылки на какой-либо термодинамический функционал (невариационные формулировки). В этом случае единственной ссылкой является модель резкого интерфейса, в том смысле, что она должна быть восстановлена ​​при выполнении предела малой ширины интерфейса модели фазового поля.

Уравнения фазового поля в принципе воспроизводят динамику интерфейса, когда ширина интерфейса мала по сравнению с наименьшим масштабом длины в задаче. При затвердевании этим масштабом является капиллярная длина , которая является микроскопическим масштабом. С вычислительной точки зрения интеграция уравнений в частных производных, разрешающих такой малый масштаб, является недопустимой. Однако Карма и Раппель ввели предел тонкого интерфейса ^[15] , который позволил ослабить это условие и открыл путь к практическому количественному моделированию с использованием моделей фазового поля. С ростом мощности компьютеров и теоретическим прогрессом в моделировании фазового поля модели фазового поля стали полезным инструментом для численного моделирования проблем интерфейса. ${\displaystyle d_{o}}$

Вариационные формулировки

Модель для фазового поля может быть построена с помощью физических аргументов, если имеется явное выражение для свободной энергии системы. Простой пример для задач затвердевания следующий:

${\displaystyle F[e,\varphi ]=\int d{\mathbf {r} }\left[K|{\mathbf {\nabla } }\varphi |^{2}+h_{0}f(\varphi )+e_{0}u(\varphi )^{2}\right]}$

где — фазовое поле, , — локальная энтальпия на единицу объема, — некоторая полиномиальная функция от , и (где — скрытая теплота , — температура плавления, — удельная теплоемкость). Член с соответствует межфазной энергии. Функция обычно берется как двухъямный потенциал, описывающий плотность свободной энергии объема каждой фазы, которые сами по себе соответствуют двум минимумам функции . Константы и имеют соответственно размерности энергии на единицу длины и энергии на единицу объема. Ширина интерфейса тогда задается как . Затем модель фазового поля может быть получена из следующих вариационных соотношений: ^[16] ${\displaystyle \varphi }$ ${\displaystyle u(\varphi )=e/e_{0}+h(\varphi )/2}$ ${\displaystyle e}$ ${\displaystyle h}$ ${\displaystyle \varphi }$ ${\displaystyle e_{0}={L^{2}}/{T_{M}c_{p}}}$ ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle T_{M}}$ ${\displaystyle c_{p}}$ ${\displaystyle \nabla \varphi }$ ${\displaystyle f(\varphi )}$ ${\displaystyle f(\varphi )}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle h_{0}}$ ${\displaystyle W={\sqrt {K/h_{0}}}}$

${\displaystyle \partial _{t}\varphi =-{\frac {1}{\tau }}\left({\frac {\delta F}{\delta \varphi }}\right)+\eta ({\mathbf {r} },t)}$

${\displaystyle \partial _{t}e=De_{0}\nabla ^{2}\left({\frac {\delta F}{\delta e}}\right)-{\mathbf {\nabla } }\cdot {\mathbf {q} }_{e}(\mathbf {r} ,t).}$

где D — коэффициент диффузии для переменной , а и — стохастические члены, учитывающие тепловые флуктуации (и чьи статистические свойства могут быть получены из теоремы о флуктуационной диссипации ). Первое уравнение дает уравнение для эволюции фазового поля, тогда как второе — это уравнение диффузии, которое обычно переписывается для температуры или для концентрации (в случае сплава). Эти уравнения масштабируют пространство с и время с : ${\displaystyle e}$ ${\displaystyle \eta }$ ${\displaystyle \mathbf {q} _{e}}$ ${\displaystyle l}$ ${\displaystyle l^{2}/D}$

${\displaystyle \alpha \varepsilon ^{2}\partial _{t}\varphi =\varepsilon ^{2}\nabla ^{2}\varphi -f'(\varphi )-{\frac {e_{0}}{h_{0}}}h'(\varphi )u+{\tilde {\eta }}({\mathbf {r} },t)}$

${\displaystyle \partial _{t}u=\nabla ^{2}u+{\frac {1}{2}}h'(\varphi )\partial _{t}\varphi -\mathbf {\nabla } \cdot \mathbf {q} _{u}(\mathbf {r} ,t)}$

где — безразмерная ширина интерфейса, и — безразмерные шумы. ${\displaystyle \varepsilon =W/l}$ ${\displaystyle \alpha ={D\tau }/{W^{2}h_{0}}}$ ${\displaystyle {\tilde {\eta }}({\mathbf {r} },t)}$ ${\displaystyle \mathbf {q} _{u}(\mathbf {r} ,t)}$

Альтернативные функции плотности энергии

Выбор функции свободной энергии, может оказать существенное влияние на физическое поведение интерфейса и должен выбираться с осторожностью. Функция двойной ямы представляет собой приближение уравнения состояния Ван-дер-Ваальса вблизи критической точки и исторически использовалась из-за простоты реализации, когда модель фазового поля применяется исключительно для целей отслеживания интерфейса. Но это привело к часто наблюдаемому явлению спонтанной усадки капли, при котором высокая смешиваемость фаз, предсказанная уравнением состояния вблизи критической точки, допускает значительное взаимопроникновение фаз и в конечном итоге может привести к полному исчезновению капли, радиус которой ниже некоторого критического значения. ^[17] Минимизация воспринимаемых потерь непрерывности в течение всего периода моделирования требует ограничений на параметр мобильности, что приводит к тонкому балансу между размыванием интерфейса из-за конвекции, реконструкцией интерфейса из-за минимизации свободной энергии (т. е. диффузией на основе подвижности) и взаимопроникновением фаз, также зависящим от подвижности. Недавний обзор альтернативных функций плотности энергии для приложений отслеживания интерфейса предложил модифицированную форму функции двойного препятствия, которая избегает явлений спонтанной усадки капли и ограничений подвижности, ^[18] с сравнительными результатами, обеспечивающими ряд эталонных симуляций с использованием функции двойной ямы и техники резкого интерфейса объема жидкости . Предлагаемая реализация имеет вычислительную сложность лишь немного большую, чем у функции двойной ямы, и может оказаться полезной для приложений отслеживания интерфейса модели фазового поля, где длительность/природа моделируемых явлений вносит проблемы непрерывности фазы (т. е. небольшие капли, расширенные симуляции, множественные интерфейсы и т. д.). ${\displaystyle f(\varphi )}$

Острый предел интерфейса уравнений фазового поля

Модель фазового поля может быть построена для намеренного воспроизведения заданной динамики интерфейса, представленной моделью резкого интерфейса. В таком случае должен быть выполнен предел резкого интерфейса (т. е. предел, когда ширина интерфейса стремится к нулю) предлагаемого набора уравнений фазового поля. Этот предел обычно берется с помощью асимптотических разложений полей модели по степеням ширины интерфейса . Эти разложения выполняются как в области интерфейса (внутреннее расширение), так и в объеме (внешнее расширение), а затем асимптотически согласуются порядок за порядком. Результат дает уравнение в частных производных для диффузионного поля и ряд граничных условий на интерфейсе, которые должны соответствовать модели резкого интерфейса и сравнение которых с ней дает значения параметров модели фазового поля. ${\displaystyle \varepsilon }$

В то время как такие расширения в ранних моделях фазового поля выполнялись вплоть до нижнего порядка только в , более поздние модели используют асимптотику более высокого порядка (ограничения тонкого интерфейса) для отмены нежелательных ложных эффектов или включения новой физики в модель. Например, эта техника позволила отменить кинетические эффекты, ^[15] рассматривать случаи с неравной диффузией в фазах, ^[19] моделировать вязкие пальцы ^[2] и двухфазные потоки Навье–Стокса, ^[20] включать флуктуации в модель, ^[21] и т. д. ${\displaystyle \varepsilon }$

Модели многофазного поля

Параметры множественного порядка описывают микроструктуру поликристаллического материала.

В моделях многофазного поля микроструктура описывается набором параметров порядка, каждый из которых связан с определенной фазой или кристаллографической ориентацией. Эта модель в основном используется для твердофазных фазовых превращений, где развиваются множественные зерна (например, рост зерна , рекристаллизация или превращение первого порядка, такое как аустенит в феррит в железных сплавах). Помимо возможности описания множественных зерен в микроструктуре, модели многофазного поля особенно позволяют учитывать множественные термодинамические фазы, происходящие, например, в технических сплавах. ^[22]

Фазовые модели на графах

Многие результаты для моделей континуального фазового поля имеют дискретные аналоги для графов, просто заменяя исчисление исчислением на графах .

Моделирование фазового поля в механике разрушения

Разрушение твердых тел часто численно анализируется в контексте конечных элементов с использованием дискретных или диффузных представлений трещин. Подходы, использующие конечно-элементное представление, часто используют сильные разрывы, встроенные на внутриэлементном уровне, и часто требуют дополнительных критериев, основанных, например, на напряжениях, плотностях энергии деформации или скоростях высвобождения энергии или других специальных обработках, таких как методы виртуального закрытия трещин и пересчета сетки для определения путей трещин. Напротив, подходы, использующие диффузное представление трещин, сохраняют непрерывность поля смещения, например, модели континуального повреждения и теории разрушения фазового поля. Последнее восходит к переформулировке принципа Гриффитса в вариационной форме и имеет сходство с моделями типа повреждения с усилением градиента. Возможно, наиболее привлекательной характеристикой подходов фазового поля к разрушению является то, что зарождение трещины и пути трещины автоматически получаются из задачи минимизации, которая связывает упругую и энергию разрушения. Во многих ситуациях зарождение трещины можно должным образом учесть, следуя ветвям критических точек, связанных с упругими решениями, пока они не потеряют устойчивость. В частности, модели фазового поля разрушения могут допускать зародышеобразование даже тогда, когда плотность энергии упругой деформации является пространственно постоянной. ^[23] Ограничением этого подхода является то, что зародышеобразование основано на плотности энергии деформации, а не на напряжении. Альтернативный взгляд, основанный на введении движущей силы зародышеобразования, стремится решить эту проблему. ^[24]

Модели фазового поля для коллективной миграции клеток

Группа биологических клеток может самостоятельно передвигаться сложным образом из-за потребления аденозинтрифосфата . Взаимодействия между клетками, такие как сплоченность или несколько химических сигналов, могут вызывать движение скоординированным образом, это явление называется «коллективной миграцией клеток». Теоретической моделью для этих явлений является модель фазового поля ^{[25] [26]} , которая включает фазовое поле для каждого вида клеток и дополнительные переменные поля, такие как концентрация хемотаксического агента. Такая модель может быть использована для таких явлений, как рак, заживление ран, морфогенез и явления эктоплазмы .

Программное обеспечение

• PACE3D – Parallel Algorithms for Crystal Evolution in 3D – это пакет для параллельного моделирования фазового поля, включающий многофазные многокомпонентные преобразования, крупномасштабные зернистые структуры и связь с потоком жидкости, упругими, пластическими и магнитными взаимодействиями. Он разработан в Университете прикладных наук Карлсруэ и Технологическом институте Карлсруэ .
• Проект моделирования мезомасштабной микроструктуры (MMSP) представляет собой набор классов C++ для моделирования микроструктуры на основе сетки.
• Программное обеспечение для моделирования эволюции MICRostructure (MICRESS) — это многокомпонентный пакет для моделирования многофазных полей, связанный с термодинамическими и кинетическими базами данных. Он разработан и поддерживается ACCESS eV.
• Массово-параллельная многофункциональная конечно-элементная среда MOOSE на языке C++ с открытым исходным кодом и поддержкой моделирования фазового поля, разработанная в Национальной лаборатории Айдахо.
• PhasePot — это инструмент моделирования микроструктуры на базе Windows, использующий комбинацию моделей фазового поля и Монте-Карло-Поттса.
• OpenPhase — программное обеспечение с открытым исходным кодом для моделирования формирования микроструктуры в системах, претерпевающих фазовые превращения первого рода, на основе модели многофазного поля.
• mef90/vDef — это вариационный симулятор разрушения фазового поля с открытым исходным кодом, основанный на теории, разработанной в ^{[3] [4] [5]}
• MicroSim — это программный стек, состоящий из кодов фазового поля, которые обеспечивают гибкость дискретизации, моделей, а также высокопроизводительного вычислительного оборудования (ЦП/ГП), на котором они могут выполняться.
• PRISMS-PF — это массивно-параллельный конечно-элементный код для проведения фазового поля и других связанных симуляций эволюции микроструктуры. ^[27] Он основан на библиотеке конечных элементов deal.II и разработан и поддерживается Центром PRISMS в Мичиганском университете.

Ссылки

1. Boettinger, WJ; Warren, JA; Beckermann, C .; Karma, A. (2002). «Моделирование затвердевания методом фазового поля». Annual Review of Materials Research . 32 : 163–194. doi :10.1146/annurev.matsci.32.101901.155803.
2. Folch, R.; Casademunt, J.; Hernández-Machado, A.; Ramírez-Piscina, L. (1999). "Модель фазового поля для потоков Хеле-Шоу с произвольным контрастом вязкости. II. Численное исследование". Physical Review E . 60 (2): 1734–40. arXiv : cond-mat/9903173 . Bibcode :1999PhRvE..60.1734F. doi :10.1103/PhysRevE.60.1734. PMID  11969955. S2CID  8488585.
3. Bourdin, B.; Francfort, GA; Marigo, JJ. (апрель 2000 г.). «Численные эксперименты по пересмотренному хрупкому разрушению». Журнал механики и физики твердого тела . 48 (4): 797–826. Bibcode : 2000JMPSo..48..797B. doi : 10.1016/S0022-5096(99)00028-9.
4. Bourdin, Blaise (2007). «Численная реализация вариационной формулировки для квазистатического хрупкого разрушения». Интерфейсы и свободные границы . 9 (3): 411–430. doi : 10.4171/IFB/171 . ISSN  1463-9963.
5. Бурден, Блез; Франкфорт, Жиль А.; Мариго, Жан-Жак (апрель 2008 г.). «Вариационный подход к разрушению». Журнал эластичности . 91 (1–3): 5–148. doi :10.1007/s10659-007-9107-3. ISSN  0374-3535. S2CID  120498253.
6. Карма, Ален; Кесслер, Дэвид; Левин, Герберт (2001). "Модель фазового поля динамического разрушения режима III". Physical Review Letters . 87 (4): 045501. arXiv : cond-mat/0105034 . Bibcode : 2001PhRvL..87d5501K. doi : 10.1103/PhysRevLett.87.045501. PMID  11461627. S2CID  42931658.
7. Мартинес-Панеда, Эмилио; Голахмар, Алиреза; Ниордсон, Кристиан (2018). «Формулировка фазового поля для водородного крекинга». Компьютерные методы в прикладной механике и машиностроении . 342 : 742–761. arXiv : 1808.03264 . Bibcode : 2018CMAME.342..742M. doi : 10.1016/j.cma.2018.07.021. S2CID  52360579.
8. Бибен, Тьерри; Касснер, Клаус; Мисба, Чауци (2005). «Фазово-полевой подход к трехмерной динамике везикул». Physical Review E. 72 ( 4): 041921. Bibcode : 2005PhRvE..72d1921B. doi : 10.1103/PhysRevE.72.041921. PMID  16383434.
9. Ашур, Мохаммед; Вализаде, Навид; Рабчук, Тимон (2021). «Изогеометрический анализ для задачи оптимизации с ограничениями на фазовое поле морфологической эволюции везикул в электрических полях». Компьютерные методы в прикладной механике и машиностроении . 377. Elsevier BV: 113669. Bibcode : 2021CMAME.377k3669A. doi : 10.1016/j.cma.2021.113669. ISSN  0045-7825. S2CID  233580102.
10. Valizadeh, Navid; Rabczuk, Timon (2022). "Изогеометрический анализ гидродинамики пузырьков с использованием подхода монолитного фазового поля". Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering . 388. Elsevier BV: 114191. Bibcode : 2022CMAME.388k4191V. doi : 10.1016/j.cma.2021.114191. ISSN  0045-7825. S2CID  240657318.
11. Valizadeh, Navid; Rabczuk, Timon (2019). «Изогеометрический анализ для моделей фазового поля геометрических уравнений в частных производных и уравнений в частных производных высокого порядка на стационарных и эволюционирующих поверхностях». Компьютерные методы в прикладной механике и машиностроении . 351. Elsevier BV: 599–642. Bibcode : 2019CMAME.351..599V. doi : 10.1016/j.cma.2019.03.043. ISSN  0045-7825. S2CID  145903238.
12. GJ Fix, в книге «Задачи со свободными границами: теория и приложения», под ред. А. Фазано и М. Примицерио, стр. 580, Pitman (Бостон, 1983).
13. Langer, JS (1986). "Модели формирования паттернов при фазовых переходах первого рода". Направления в физике конденсированных сред . Серия по направлениям в физике конденсированных сред. Том 1. Сингапур: World Scientific. стр. 165–186. Bibcode :1986dcmp.book..165L. doi :10.1142/9789814415309_0005. ISBN 978-9971-978-42-6.
14. Langer, JS (1980). «Неустойчивости и формирование структур при росте кристаллов». Reviews of Modern Physics . 52 (1): 1–28. Bibcode : 1980RvMP...52....1L. doi : 10.1103/RevModPhys.52.1.
15. Карма, Ален; Раппель, Воутер-Ян (1998). "Количественное моделирование фазового поля дендритного роста в двух и трех измерениях". Physical Review E. 57 ( 4): 4323. Bibcode : 1998PhRvE..57.4323K. doi : 10.1103/PhysRevE.57.4323.
16. Хоэнберг, П.; Гальперин, Б. (1977). "Теория динамических критических явлений". Reviews of Modern Physics . 49 (3): 435. Bibcode :1977RvMP...49..435H. doi :10.1103/RevModPhys.49.435. S2CID  122636335.
17. Юэ, Пэнтао; Чжоу, Чуньфэн; Фэн, Джеймс Дж. (2007). «Спонтанное сокращение капель и сохранение массы в моделировании фазового поля». Журнал вычислительной физики . 223 (1): 1–9. Bibcode :2007JCoPh.223....1Y. CiteSeerX 10.1.1.583.2109 . doi :10.1016/j.jcp.2006.11.020. 
18. Дональдсон, А.А.; Кирпалани, Д.М.; Макчи, А. (2011). «Отслеживание диффузного интерфейса несмешивающихся жидкостей: улучшение непрерывности фаз посредством выбора плотности свободной энергии». Международный журнал многофазного потока . 37 (7): 777. Bibcode : 2011IJMF...37..777D. doi : 10.1016/j.ijmultiphaseflow.2011.02.002.
19. Макфадден, ГБ; Уилер, АА; Андерсон, ДМ (2000). «Асимптотика тонкого интерфейса для подхода энергии/энтропии к моделям фазового поля с неравной проводимостью». Physica D: Nonlinear Phenomena . 144 (1–2): 154–168. Bibcode :2000PhyD..144..154M. doi :10.1016/S0167-2789(00)00064-6. hdl : 2060/20000014455 . S2CID  119641692.
20. Жакмин, Дэвид (1999). «Расчет двухфазных течений Навье–Стокса с использованием моделирования фазового поля». Журнал вычислительной физики . 155 (1): 96–127. Bibcode : 1999JCoPh.155...96J. doi : 10.1006/jcph.1999.6332.
21. Бенитес, Р.; Рамирес-Писцина, Л. (2005). "Проекция резкого интерфейса модели флуктуирующего фазового поля". Physical Review E. 71 ( 6): 061603. arXiv : cond-mat/0409707 . Bibcode : 2005PhRvE..71f1603B. doi : 10.1103/PhysRevE.71.061603. PMID  16089744. S2CID  28956874.
22. Schmitz, GJ; Böttger, B.; Eiken, J.; Apel, M.; Viardin, A.; Carré, A.; Laschet, G. (2011). "Моделирование эволюции микроструктуры в технических сплавах на основе фазового поля". International Journal of Advances in Engineering Sciences and Applied Mathematics . 2 (4): 126. doi :10.1007/s12572-011-0026-y. S2CID  121915897.
23. Танне, Э.; Ли, Т.; Бурден, Б.; Мариго, Ж.-Ж.; Маурини, К. (2018). «Зарождение трещин в вариационных моделях фазового поля хрупкого разрушения» (PDF) . Журнал механики и физики твердого тела . 110 : 80–99. Bibcode :2018JMPSo.110...80T. doi :10.1016/j.jmps.2017.09.006. S2CID  20139734.
24. Кумар, А.; Бурден, Б.; Франкфорт, ГА; Лопес-Памиес, О. (2020). «Возвращаясь к зародышеобразованию в подходе фазового поля к хрупкому разрушению». Журнал механики и физики твердого тела . 142 : 104027. Bibcode : 2020JMPSo.14204027K. doi : 10.1016/j.jmps.2020.104027 .
25. Наджем, Сара; Грант, Мартин (2016-05-09). "Модель фазового поля для коллективной миграции клеток". Physical Review E. 93 ( 5): 052405. Bibcode : 2016PhRvE..93e2405N. doi : 10.1103/PhysRevE.93.052405. PMID  27300922.
26. "Модель фазового поля для клеточных монослоев: исследование миграции раковых клетокавторы: Бенуа Пальмиери и Мартин Грант | Институт Периметра". www2.perimeterinstitute.ca . Получено 05.11.2021 .
27. DeWitt, S.; Rudraraju, S.; Montiel, D.; Montiel, D.; Andrews, WB; Thornton, K. (2020). "PRISMS-PF: общая структура для моделирования фазового поля с помощью метода конечных элементов без матриц". npj Comput Mater . 6 : 29. Bibcode :2020npjCM...6...29D. doi : 10.1038/s41524-020-0298-5 .

Дальнейшее чтение

• Чэнь, Лонг-Цин (2002). «Модели фазового поля для эволюции микроструктуры». Annual Review of Materials Research . 32 : 113–140. doi :10.1146/annurev.matsci.32.112001.132041.
• Moelans, Nele; Blanpain, Bart; Wollants, Patrick (2008). «Введение в моделирование фазового поля эволюции микроструктуры». Calphad . 32 (2): 268. doi :10.1016/j.calphad.2007.11.003.
• Steinbach, Ingo (2009). "Модели фазового поля в материаловедении". Моделирование и имитация в материаловедении и машиностроении . 17 (7): 073001. Bibcode :2009MSMSE..17g3001S. doi :10.1088/0965-0393/17/7/073001. S2CID  3383625.
• Fries, Suzana G.; Boettger, Bernd; Eiken, Janin; Steinbach, Ingo (2009). «Обновление CALPHAD для моделирования микроструктуры: метод фазового поля». International Journal of Materials Research . 100 (2): 128. Bibcode : 2009IJMR..100..128F. doi : 10.3139/146.110013. S2CID  138203262.
• Qin, RS; Bhadeshia, HK (2010). "Метод фазового поля" (PDF) . Materials Science and Technology . 26 (7): 803. Bibcode :2010MatST..26..803Q. doi :10.1179/174328409X453190. S2CID  136124682.
• Дональдсон, А.А.; Кирпалани, Д.М.; Макчи, А. (2011). «Отслеживание диффузного интерфейса несмешивающихся жидкостей: улучшение непрерывности фаз посредством выбора плотности свободной энергии». Международный журнал многофазного потока . 37 (7): 777. Bibcode : 2011IJMF...37..777D. doi : 10.1016/j.ijmultiphaseflow.2011.02.002.
• Gonzalez-Cinca, R.; Folch, R.; Benitez, R.; Ramirez-Piscina, L.; Casademunt, J.; Hernandez-Machado, A. (2003). "Модели фазового поля в формировании интерфейсных структур вне равновесия". В Advances in Condensed Matter and Statistical Mechanics, под ред. E. Korutcheva и R. Cuerno, Nova Science Publishers (Нью-Йорк, ), стр . 2004 : 203–236. arXiv : cond-mat/0305058 . Bibcode :2003cond.mat..5058G.обзор моделей фазового поля.
• Проватас, Николас; Элдер, Кен (2010). Методы фазового поля в материаловедении и машиностроении. Вайнхайм, Германия: Wiley-VCH Verlag GmbH & Co. KGaA. doi :10.1002/9783527631520. ISBN 9783527631520 
• Штайнбах И.: «Концепция материи в квантово-фазовом поле: возникающая гравитация в динамической Вселенной», Zeitschrift für Naturforschung A 72 1 (2017) doi : 10.1515/zna-2016-0270
• Шмитц, Г. Дж.: «Комбинированный подход энтропии/фазового поля к гравитации», Entropy 2017 , 19 (4) 151; doi :10.3390/e19040151