Точечно

Применение операций к функциям в терминах значений для каждой входной «точки»

В математике квалификатор pointwise используется для указания того, что некоторое свойство определяется путем рассмотрения каждого значения некоторой функции. Важным классом точечных понятий являются точечные операции , то есть операции, определенные над функциями путем применения операций к значениям функций отдельно для каждой точки в области определения. Важные отношения также могут быть определены pointwise. ${\displaystyle f(x)}$ ${\displaystyle f.}$

Точечные операции

Поточечная сумма (верхний график, фиолетовый) и произведение (зеленый) функций sin (нижний график, синий) и ln (красный). Выделенный вертикальный срез показывает вычисление в точке x = 2π.

Формальное определение

Бинарную операцию o : Y × Y → Y на множестве Y можно поточечно поднять до операции O : ( X → Y ) × ( X → Y ) → ( X → Y ) на множестве X → Y всех функций из X в Y следующим образом: даны две функции f ₁ : X → Y и f ₂ : X → Y , определим функцию O ( f ₁ , f ₂ ): X → Y следующим образом:

( O ( f ₁ , f ₂ ))( x ) = o ( f ₁ ( x ), f ₂ ( x )) для всех x ∈ X .

Обычно o и O обозначаются одним и тем же символом. Аналогичное определение используется для унарных операций o и для операций другой арности . ^{[ необходима цитата ]}

Примеры

Поточечное сложение двух функций с одинаковым доменом и кодоменом определяется следующим образом: ${\displaystyle f+g}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle g}$

${\displaystyle (f+g)(x)=f(x)+g(x).}$

Точечное произведение или точечное умножение имеет вид:

${\displaystyle (f\cdot g)(x)=f(x)\cdot g(x).}$

Точечное произведение со скаляром обычно записывается со скалярным членом первым. Таким образом, когда является скаляром : ${\displaystyle \lambda }$

${\displaystyle (\lambda \cdot f)(x)=\lambda \cdot f(x).}$

Примером операции над функциями, которая не является поточечной, является свертка .

Характеристики

Поточечные операции наследуют такие свойства, как ассоциативность , коммутативность и дистрибутивность от соответствующих операций на области значений . Если — некоторая алгебраическая структура , то множество всех функций к несущему множеству можно превратить в алгебраическую структуру того же типа аналогичным образом. ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle A}$

Компонентные операции

Покомпонентные операции обычно определяются на векторах, где векторы являются элементами множества для некоторого натурального числа и некоторого поля . Если мы обозначим -й компонент любого вектора как , то покомпонентное сложение будет . ${\displaystyle K^{n}}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle v}$ ${\displaystyle v_{i}}$ ${\displaystyle (u+v)_{i}=u_{i}+v_{i}}$

Покомпонентные операции могут быть определены на матрицах. Сложение матриц, где является покомпонентной операцией, а умножение матриц — нет. ${\displaystyle (A+B)_{ij}=A_{ij}+B_{ij}}$

Кортеж можно рассматривать как функцию, а вектор — как кортеж. Следовательно, любой вектор соответствует функции такой, что , а любая покомпонентная операция над векторами является поточечной операцией над функциями, соответствующими этим векторам. ${\displaystyle v}$ ${\displaystyle f:n\to K}$ ${\displaystyle f(i)=v_{i}}$

Точечные отношения

В теории порядка принято определять точечный частичный порядок функций. С помощью A , B частично упорядоченных множеств множество функций A → B можно упорядочить, определив f ≤ g, если (∀ x ∈ A) f ( x ) ≤ g ( x ) . Поточечные порядки также наследуют некоторые свойства базовых частично упорядоченных множеств. Например, если A и B являются непрерывными решетками , то таковым является и множество функций A → B с точечным порядком. ^[1] Используя точечный порядок функций, можно кратко определить другие важные понятия, например: ^[2]

• Оператор замыкания c на частично упорядоченном множестве P является монотонным и идемпотентным отображением себя на P (т.е. оператором проекции ) с дополнительным свойством, что id _A ≤ c , где id — тождественная функция .
• Аналогично, оператор проекции k называется оператором ядра тогда и только тогда, когда k ≤ id _A.

Примером бесконечного поточечного отношения является поточечная сходимость функций — последовательность функций, сходящихся поточечно к функции f , если для каждого x из X $${\displaystyle (f_{n})_{n=1}^{\infty }}$$ $${\displaystyle f_{n}:X\longrightarrow Y}$$ $${\displaystyle \lim _{n\to \infty }f_{n}(x)=f(x).}$$

Примечания

1. Гирц и др., стр. xxxiii
2. Гирц и др., стр. 26

Ссылки

Примеры теории порядка:

• Т. С. Блит, Решетки и упорядоченные алгебраические структуры , Springer, 2005, ISBN  1-85233-905-5 .
• G. Gierz, KH Hofmann, K. Keimel, JD Lawson, M. Mislove, DS Scott : Непрерывные решетки и домены , Cambridge University Press, 2003.

В данной статье использованы материалы Pointwise on PlanetMath , лицензированные по лицензии Creative Commons Attribution/Share-Alike License .