В абстрактной алгебре ненулевое кольцо R является первичным кольцом , если для любых двух элементов a и b из R , arb = 0 для всех r из R влечет, что либо a = 0, либо b = 0. Это определение можно рассматривать как одновременное обобщение как областей целостности , так и простых колец .
Хотя в этой статье обсуждается приведенное выше определение, первичное кольцо может также относиться к минимальному ненулевому подкольцу поля , которое порождается его единичным элементом 1 и определяется его характеристикой . Для поля характеристики 0 первичное кольцо — это целые числа , а для поля характеристики p (где p — простое число ) первичное кольцо — это конечное поле порядка p (ср. Простое поле ). [1]
Кольцо R является первичным тогда и только тогда, когда нулевой идеал {0} является первичным идеалом в некоммутативном смысле .
В таком случае эквивалентные условия для простых идеалов приводят к следующим эквивалентным условиям для того, чтобы R было простым кольцом:
Используя эти условия, можно проверить, что следующие условия эквивалентны тому, что R является первичным кольцом: