В математике произведение — это результат умножения или выражение , определяющее объекты ( числа или переменные ), подлежащие умножению, называемые факторами . Например, 21 — это произведение 3 и 7 (результат умножения), а также произведение и (что указывает на то, что эти два множителя следует умножить вместе). Когда один множитель является целым числом , произведение называется кратным .
Порядок умножения действительных или комплексных чисел не влияет на результат; это известно как коммутативный закон умножения. Когда умножаются матрицы или члены различных других ассоциативных алгебр , произведение обычно зависит от порядка множителей. Например, умножение матриц некоммутативно, как и умножение в других алгебрах в целом.
В математике существует множество различных видов произведений: помимо возможности умножать только числа, полиномы или матрицы, можно также определять произведения для множества различных алгебраических структур .
Оператор произведения для произведения последовательности обозначается заглавной греческой буквой пи Π (по аналогии с использованием заглавной сигмы Σ в качестве символа суммирования ). [1] Например, выражение — это еще один способ записи . [2]
Произведение последовательности, состоящей только из одного числа, и есть само это число; произведение вообще без множителей называется пустым произведением и равно 1.
Коммутативные кольца имеют операцию произведения.
Классы остатков в кольцах могут быть добавлены:
и умножается:
Две функции из вещественного числа в себя можно перемножить другим способом, называемым сверткой .
Если
тогда интеграл
корректно определен и называется сверткой.
При преобразовании Фурье свертка превращается в поточечное умножение функций.
Произведение двух полиномов определяется следующим образом:
с
В линейной алгебре существует много разных видов произведений. Некоторые из них имеют схожие до степени смешения названия ( внешний продукт , внешний продукт ) с совершенно разными значениями, в то время как другие имеют совершенно разные названия (внешний продукт, тензорный продукт, продукт Кронекера), но, тем не менее, передают по существу одну и ту же идею. Их краткий обзор представлен в следующих разделах.
По самому определению векторного пространства можно образовать произведение любого скаляра на любой вектор, давая карту .
Скалярное произведение представляет собой билинейное отображение:
со следующими условиями, что для всех .
Из скалярного произведения можно определить норму , полагая .
Скалярное произведение также позволяет определить угол между двумя векторами:
В -мерном евклидовом пространстве стандартное скалярное произведение (называемое скалярным произведением ) определяется выражением:
Векторное произведение двух векторов в трех измерениях представляет собой вектор, перпендикулярный двум факторам, длина которого равна площади параллелограмма, натянутого на эти два фактора.
Перекрестное произведение также можно выразить как формальный определитель [a] :
Линейное отображение можно определить как функцию f между двумя векторными пространствами V и W с базовым полем F , удовлетворяющую [3]
Если рассматривать только конечномерные векторные пространства, то
в котором b V и b W обозначают основания V и W , а vi обозначает компонент v на b Vi , и применяется соглашение Эйнштейна о суммировании .
Теперь рассмотрим композицию двух линейных отображений конечномерных векторных пространств. Пусть линейное отображение f отображает V в W , а линейное отображение g отображает W в U. Тогда можно получить
Или в матричной форме:
в котором элемент i -строки и j -столбца F , обозначенный F ij , представляет собой f j i , а G ij =g j i .
Композиция более чем двух линейных отображений аналогичным образом может быть представлена цепочкой умножения матриц.
Даны две матрицы
их продукт определяется
Существует связь между составом линейных функций и произведением двух матриц. Чтобы убедиться в этом, пусть r = dim(U), s = dim(V) и t = dim(W) — (конечные) размерности векторных пространств U, V и W. Пусть — базис U, — базис из V и быть базисом W. В терминах этого базиса пусть будет матрицей, представляющей f : U → V, и будет матрицей, представляющей g : V → W. Тогда
представляет собой матрицу .
Другими словами: матричное произведение – это описание в координатах композиции линейных функций.
Учитывая два конечномерных векторных пространства V и W , их тензорное произведение можно определить как (2,0)-тензор, удовлетворяющий:
где V * и W * обозначают двойственные пространства к V и W. [4]
Для бесконечномерных векторных пространств также есть:
Тензорное произведение, внешнее произведение и произведение Кронекера выражают одну и ту же общую идею. Различия между ними заключаются в том, что произведение Кронекера представляет собой просто тензорное произведение матриц относительно заранее фиксированного базиса, тогда как тензорное произведение обычно дается в его внутреннем определении . Внешний продукт — это просто произведение Кронекера, ограниченное векторами (а не матрицами).
В общем, всякий раз, когда у вас есть два математических объекта , которые можно объединить таким образом, чтобы вести себя как тензорное произведение линейной алгебры, то в наиболее общем виде это можно понимать как внутренний продукт моноидальной категории . То есть моноидальная категория точно отражает смысл тензорного произведения; он точно отражает представление о том, почему тензорные произведения ведут себя именно так. Точнее, моноидальная категория — это класс всех вещей (данного типа ), имеющих тензорное произведение.
Другие виды продуктов линейной алгебры включают:
В теории множеств декартово произведение — это математическая операция , которая возвращает набор (или набор продуктов ) из нескольких наборов. То есть для множеств A и B декартово произведение A × B — это множество всех упорядоченных пар (a, b) , где a ∈ A и b ∈ B. [5]
Класс всех вещей (данного типа ), имеющих декартово произведение, называется декартовой категорией . Многие из них являются декартовыми закрытыми категориями . Наборы являются примером таких объектов.
Пустое произведение чисел и большинства алгебраических структур имеет значение 1 (единичный элемент умножения), точно так же, как пустая сумма имеет значение 0 (единичный элемент сложения). Однако концепция пустого произведения является более общей и требует специального рассмотрения в логике , теории множеств , компьютерном программировании и теории категорий .
Продукты по сравнению с другими видами алгебраических структур включают:
Некоторые из вышеперечисленных продуктов являются примерами общего понятия внутреннего продукта в моноидальной категории ; остальные описываются общим понятием продукта в теории категорий .
Все предыдущие примеры являются частными случаями или примерами общего понятия продукта. Для общего рассмотрения понятия продукта см. Продукт (теория категорий) , где описывается, как объединить два объекта какого-либо типа для создания объекта, возможно, другого типа. Но также в теории категорий есть: