Проконечная группа

Топологическая группа, в определенном смысле собранная из системы конечных групп.

В математике проконечная группа — топологическая группа , в известном смысле собранная из системы конечных групп .

Идея использования проконечной группы состоит в том, чтобы обеспечить «единообразное» или «синоптическое» представление всей системы конечных групп. Свойства проконечной группы — это, вообще говоря, однородные свойства системы. Например, проконечная группа конечно порождена (как топологическая группа) тогда и только тогда, когда существует такое, что каждая группа в системе может быть порождена элементами. ^[1] Многие теоремы о конечных группах можно легко обобщить на проконечные группы; примерами являются теорема Лагранжа и теоремы Силова . ^[2] ${\displaystyle d\in \mathbb {N} }$ ${\displaystyle d}$

Для построения проконечной группы необходима система конечных групп и групповые гомоморфизмы между ними. Без ограничения общности эти гомоморфизмы можно считать сюръективными , и в этом случае конечные группы появятся как факторгруппы полученной проконечной группы; в некотором смысле эти факторы аппроксимируют проконечную группу.

Важными примерами проконечных групп являются аддитивные группы -адических целых чисел и группы Галуа расширений полей бесконечной степени . ${\displaystyle p}$

Всякая проконечная группа компактна и вполне несвязна . Некомпактным обобщением этой концепции являются локально проконечные группы . Еще более общими являются полностью несвязные группы .

Определение

Проконечные группы могут быть определены любым из двух эквивалентных способов.

Первое определение (конструктивное)

Проконечная группа — это топологическая группа, изоморфная обратному пределу обратной системы дискретных конечных групп. ^[3] В этом контексте обратная система состоит из направленного множества, индексированного семейства конечных групп, каждая из которых имеет дискретную топологию , и семейства гомоморфизмов , таких, что является тождественным отображением , и коллекция удовлетворяет свойству композиции всякий раз, когда Обратный предел это набор: ${\displaystyle (I,\leq ),}$ ${\displaystyle \{G_{i}:i\in I\},}$ ${\displaystyle \{f_{i}^{j}:G_{j}\to G_{i}\mid i,j\in I,i\leq j\}}$ ${\displaystyle f_{i}^{i}}$ ${\displaystyle G_{i}}$ ${\displaystyle f_{i}^{j}\circ f_{j}^{k}=f_{i}^{k}}$ ${\displaystyle i\leq j\leq k.}$

$${\displaystyle \varprojlim G_{i}=\left\{(g_{i})_{i\in I}\in {\textstyle \prod \limits _{i\in I}}G_{i}:f_{i}^{j}(g_{j})=g_{i}{\text{ for all }}i\leq j\right\}}$$

соответствующей топологией продукта

Можно также определить обратный предел в терминах универсального свойства . В категориальных терминах это частный случай кофильтрованной предельной конструкции.

Второе определение (аксиоматическое)

Проконечная группа — это компактная и полностью несвязная топологическая группа: ^[4] то есть топологическая группа, которая также является пространством Стоуна .

Окончательное завершение

Для произвольной группы существует связанная с ней проконечная группа ${\displaystyle G,}$ ${\displaystyle {\widehat {G}},}$проконечное пополнение из^[4]Оно определяется как обратный предел группгдепробегаетнормальные подгруппывконечногоиндекса(эти нормальные подгруппычастично упорядоченывключением, что преобразуется в обратную систему естественных гомоморфизмов между факторами). ${\displaystyle G.}$ ${\displaystyle G/N,}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle G}$

Существует естественный гомоморфизм , и образ при этом гомоморфизме плотен в. Гомоморфизм инъективен тогда и только тогда, когда группа аппроксимируемо конечна (т. е. когда пересечение проходит через все нормальные подгруппы конечного индекса). ${\displaystyle \eta :G\to {\widehat {G}},}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle {\widehat {G}}.}$ ${\displaystyle \eta }$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle \cap N=1,}$

Гомоморфизм характеризуется следующим универсальным свойством : для любой проконечной группы и любого гомоморфизма непрерывной группы , где задана наименьшая топология, совместимая с групповыми операциями, в которой ее нормальные подгруппы конечного индекса открыты, существует единственный гомоморфизм непрерывной группы с ${\displaystyle \eta }$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle f:G\rightarrow H}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle g:{\widehat {G}}\rightarrow H}$ ${\displaystyle f=g\eta .}$

Эквивалентность

Любая группа, построенная по первому определению, удовлетворяет аксиомам второго определения.

И наоборот, любая группа, удовлетворяющая аксиомам второго определения, может быть построена как обратный предел в соответствии с первым определением, используя обратный предел, где проходит через открытые нормальные подгруппы упорядоченного (обратного) включения. Если топологически конечно порождено, то оно, кроме того, равно своему собственному проконечному пополнению. ^[5] ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle \varprojlim G/N}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle G}$

Сюръективные системы

На практике обратная система конечных групп почти всегдасюръективен , что означает, что все его карты сюръективны. Без ограничения общности достаточно рассматривать только сюръективные системы, поскольку по любой инверсной системе можно сначала построить ее проконечную группу, а затемреконструироватьее как собственное проконечное пополнение. ${\displaystyle G,}$

Примеры

• Конечные группы являются проконечными, если задана дискретная топология .
• Группа сложенных -адических целых чисел является проконечной (фактически проциклической). Это обратный предел конечных групп , где пробегают все натуральные числа , и естественные отображения для. Топология этой проконечной группы такая же, как топология, возникающая из -адического нормирования на ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} _{p}}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} /p^{n}\mathbb {Z} }$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} /p^{n}\mathbb {Z} \to \mathbb {Z} /p^{m}\mathbb {Z} }$ ${\displaystyle n\geq m.}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} _{p}.}$
• Группа бесконечных целых чисел представляет собой бесконечное пополнение группы. Подробно это обратный предел конечных групп, где с отображением по модулю для Эта группа является продуктом всех групп и является абсолютной группой Галуа любого конечного поля . ${\displaystyle {\widehat {\mathbb {Z} }}}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} .}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} /n\mathbb {Z} }$ ${\displaystyle n=1,2,3,\dots }$ ${\displaystyle \mathbb {Z} /n\mathbb {Z} \to \mathbb {Z} /m\mathbb {Z} }$ ${\displaystyle m\,|\,n.}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} _{p},}$
• Теория Галуа расширений полей бесконечной степени естественным образом порождает бесконечные группы Галуа. В частности, если расширение Галуа , рассмотрим группу, состоящую из всех полевых автоморфизмов , которые сохраняют все элементы фиксированными. Эта группа является обратным пределом конечных групп, где пробегает все промежуточные поля и является конечным расширением Галуа. Для предельного процесса используются гомоморфизмы ограничения, где Полученная топология известна как топология Крулля в честь Вольфганга Крулля . Уотерхаус (1974) показал, что каждая проконечная группа изоморфна группе, возникающей из теории Галуа некоторого поля , но невозможно (пока) контролировать, какое поле будет в этом случае. Фактически, для многих полей вообще неизвестно, какие именно конечные группы встречаются как группы Галуа над полем . Это обратная задача Галуа для поля  (для некоторых полей решается обратная задача Галуа, например, для поля рациональных функций в одном переменная по комплексным числам.) Не каждая проконечная группа встречается как абсолютная группа Галуа поля. ^[6] ${\displaystyle L/K}$ ${\displaystyle G=\operatorname {Gal} (L/K)}$ ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle \operatorname {Gal} (F/K),}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle F/K}$ ${\displaystyle \operatorname {Gal} (F_{1}/K)\to \operatorname {Gal} (F_{2}/K)}$ ${\displaystyle F_{2}\subseteq F_{1}.}$ ${\displaystyle \operatorname {Gal} (L/K)}$ ${\displaystyle K,}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle K.}$ ${\displaystyle K.}$ ${\displaystyle K}$
• Этальные фундаментальные группы, рассматриваемые в алгебраической геометрии, также являются проконечными группами, грубо говоря, потому что алгебра может «видеть» только конечные накрытия алгебраического многообразия . Однако фундаментальные группы алгебраической топологии , как правило, не бесконечны: для любой предписанной группы существует двумерный комплекс CW , фундаментальная группа которого равна ей.
• Группа автоморфизмов локально конечного корневого дерева бесконечна.

Свойства и факты

• Каждое произведение (произвольного числа) проконечных групп является проконечным; топология, возникающая из-за бесконечности, согласуется с топологией произведения . Обратный предел обратной системы проконечных групп с непрерывными отображениями переходов проконечен, а функтор обратного предела точен на категории проконечных групп. Кроме того, быть бесконечным — это свойство расширения.
• Каждая замкнутая подгруппа проконечной группы сама по себе проконечна; топология, возникающая из-за бесконечности, согласуется с топологией подпространства . Если – замкнутая нормальная подгруппа проконечной группы, то факторгруппа проконечная; топология, возникающая из-за бесконечности, согласуется с фактортопологией . ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle G,}$ ${\displaystyle G/N}$
• Поскольку каждая проконечная группа компактна по Хаусдорфу, существует мера Хаара , которая позволяет нам измерять «размер» подмножеств вычисления определенных вероятностей и интегрировать функции на ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle G,}$ ${\displaystyle G,}$ ${\displaystyle G.}$
• Подгруппа проконечной группы открыта тогда и только тогда, когда она замкнута и имеет конечный индекс .
• Согласно теореме Николая Николова и Дэна Сигала , в любой топологически конечно порожденной проконечной группе (т. е. в проконечной группе, имеющей плотную конечно порожденную подгруппу ) подгруппы конечного индекса открыты. Это обобщает более ранний аналогичный результат Жана-Пьера Серра для топологически конечно порожденных прогрупп . ${\displaystyle p}$ Доказательство использует классификацию конечных простых групп .
• Как простое следствие приведенного выше результата Николова – Сигала, любой сюръективный дискретный групповой гомоморфизм между проконечными группами и непрерывен, пока топологически конечно порожден. Действительно, любая открытая подгруппа имеет конечный индекс, поэтому ее прообраз в также имеет конечный индекс и, следовательно, она должна быть открытой. ${\displaystyle \varphi :G\to H}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle G}$
• Предположим, что и являются топологически конечно порожденными проконечными группами, которые изоморфны как дискретные группы в силу изоморфизма. Тогда в силу приведенного выше результата она биективна и непрерывна. Более того, он также непрерывен, как и гомеоморфизм. Поэтому топология топологически конечно порожденной проконечной группы однозначно определяется ее алгебраической структурой. ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle \iota .}$ ${\displaystyle \iota }$ ${\displaystyle \iota ^{-1}}$ ${\displaystyle \iota }$

Инди-конечные группы

Существует понятие инд-конечной группы , которое является концептуальным двойственным к проконечным группам; т. е. группа является инд-конечной, если она является прямым пределом индуктивной системы конечных групп. (В частности, это инд-группа.) Обычная терминология другая: группа называется локально конечной, если каждая конечно порожденная подгруппа конечна. Фактически это эквивалентно тому, чтобы быть «бесконечным». ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle G}$

Применяя двойственность Понтрягина , можно увидеть, что абелевы проконечные группы находятся в двойственности с локально конечными дискретными абелевыми группами. Последние представляют собой не что иное, как абелевы периодические группы .

Проективные проконечные группы

Проконечная группа – этопроективным , если он обладаетсвойством подъемадля каждого расширения. Это эквивалентно утверждению, чтооно проективно, если для каждого сюръективного морфизма из проконечногосуществуетсечение^[7][8] ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle H\to G}$ ${\displaystyle G\to H.}$

Проективность для проконечной группы эквивалентна любому из двух свойств: ^[7] ${\displaystyle G}$

• когомологическое измерение ${\displaystyle \operatorname {cd} (G)\leq 1;}$
• для любого простого числа силовские -подгруппы являются свободными про -группами. ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle p}$

Любая проективная проконечная группа может быть реализована как абсолютная группа Галуа псевдоалгебраически замкнутого поля . Этот результат принадлежит Александру Любоцки и Лу ван ден Дрису . ^[9]

Проциклическая группа

Проконечная группа – это ${\displaystyle G}$проциклична , если она топологически порождается одним элементом, т. е. еслизамыкание подгруппы^[10] ${\displaystyle \sigma ;}$ ${\displaystyle G={\overline {\langle \sigma \rangle }},}$ ${\displaystyle \langle \sigma \rangle =\left\{\sigma ^{n}:n\in \mathbb {Z} \right\}.}$

Топологическая группа является проциклической тогда и только тогда, когда где пробегает некоторый набор простых чисел и изоморфна либо или ^[11] ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle G\cong {\textstyle \prod \limits _{p\in S}}G_{p}}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle G_{p}}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} _{p}}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} /p^{n}\mathbb {Z} ,n\in \mathbb {N} .}$

Смотрите также

• завершение Хаусдорфа
• Локально циклическая группа
• Про- п группа
• Проконечное целое число
• Остаточная собственность (математика)  - понятие в теории групп.Pages displaying wikidata descriptions as a fallback
• Ассоциируемо конечная группа  – специфическое остаточное свойствоPages displaying wikidata descriptions as a fallback

Рекомендации

1. Сигал, Дэн (29 марта 2007 г.). «Некоторые аспекты теории проконечных групп». arXiv : math/0703885 .
2. Уилсон, Джон Стюарт (1998). Проконечные группы . Оксфорд: Кларендон Пресс. ISBN 9780198500827. ОСЛК  40658188.
3. Ленстра, Хендрик. «Проконечные группы» (PDF) . Лейденский университет .
4. Оссерман, Брайан. «Обратные пределы и проконечные группы» (PDF) . Калифорнийский университет в Дэвисе . Архивировано из оригинала (PDF) 26 декабря 2018 г.
5. Николов, Николай; Сигал, Дэн (2007). «О конечно порожденных проконечных группах. I: Сильная полнота и равномерные границы. II: Произведения в квазипростых группах». Анна. Математика. (2) . 165 (1): 171–238, 239–273. arXiv : math/0604399 . дои : 10.4007/анналы.2007.165.171. S2CID  15670650. Збл  1126.20018.
6. Фрид и Джарден (2008), с. 497
7. Серр (1997) с. 58
8. Фрид и Джарден (2008), с. 207
9. Фрид и Джарден (2008), стр. 208,545.
10. Нойкирх, Юрген (1999). Алгебраическая теория чисел. Grundlehren der mathematischen Wissenschaften. Том. 322. Берлин, Гейдельберг: Springer Berlin Heidelberg. дои : 10.1007/978-3-662-03983-0. ISBN 978-3-642-08473-7.
11. «МО. Разложение проциклических групп». MathOverflow .

• Фрид, Майкл Д.; Джарден, Моше (2008). Полевая арифметика . Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete. 3. Фольге. Том. 11 (3-е исправленное изд.). Спрингер-Верлаг . ISBN 978-3-540-77269-9. Збл  1145.12001.
• Николов, Николай; Сигал, Дэн (2007), «О конечно порожденных проконечных группах I: сильная полнота и равномерные границы», Annals of Mathematics , 2-я серия, 165 (1): 171–238, arXiv : math.GR/0604399 , doi : 10.4007 /анналы.2007.165.171.
• Николов, Николай; Сигал, Дэн (2007), «О конечно порожденных проконечных группах, II: произведения в квазипростых группах», Annals of Mathematics , 2-я серия, 165 (1): 239–273, arXiv : math.GR/0604400 , doi : 10.4007/ анналы.2007.165.239.
• Ленстра, Хендрик (2003), Profinite Groups (PDF) , доклад в Обервольфахе.
• Любоцкий, Александр (2001), «Рецензия на книгу», Бюллетень Американского математического общества , 38 (4): 475–479, doi : 10.1090/S0273-0979-01-00914-4. Рецензия на несколько книг о проконечных группах.
• Серр, Жан-Пьер (1994), Галуазские когомологии , Конспекты лекций по математике (на французском языке), том. 5 (5-е изд.), Springer-Verlag , ISBN 978-3-540-58002-7, МР  1324577, Збл  0812.12002. Серр, Жан-Пьер (1997), когомологии Галуа , перевод Патрика Иона, Springer-Verlag , ISBN 3-540-61990-9, Збл  0902.12004
• Уотерхаус, Уильям К. (1974), «Проконечные группы - это группы Галуа», Proceedings of the American Mathematical Society , 42 (2), American Mathematical Society: 639–640, doi : 10.1090/S0002-9939-1974-0325587-3 , JSTOR  2039560, Збл  0281.20031.