Топологическая группа, в определенном смысле собранная из системы конечных групп.
В математике проконечная группа — топологическая группа , в известном смысле собранная из системы конечных групп .
Идея использования проконечной группы состоит в том, чтобы обеспечить «единообразное» или «синоптическое» представление всей системы конечных групп. Свойства проконечной группы — это, вообще говоря, однородные свойства системы. Например, проконечная группа конечно порождена (как топологическая группа) тогда и только тогда, когда существует такое, что каждая группа в системе может быть порождена элементами. [1] Многие теоремы о конечных группах можно легко обобщить на проконечные группы; примерами являются теорема Лагранжа и теоремы Силова . [2]
Для построения проконечной группы необходима система конечных групп и групповые гомоморфизмы между ними. Без ограничения общности эти гомоморфизмы можно считать сюръективными , и в этом случае конечные группы появятся как факторгруппы полученной проконечной группы; в некотором смысле эти факторы аппроксимируют проконечную группу.
Важными примерами проконечных групп являются аддитивные группы -адических целых чисел и группы Галуа расширений полей бесконечной степени .
Всякая проконечная группа компактна и вполне несвязна . Некомпактным обобщением этой концепции являются локально проконечные группы . Еще более общими являются полностью несвязные группы .
Определение
Проконечные группы могут быть определены любым из двух эквивалентных способов.
Первое определение (конструктивное)
Проконечная группа — это топологическая группа, изоморфная обратному пределу обратной системы дискретных конечных групп. [3] В этом контексте обратная система состоит из направленного множества, индексированного семейства конечных групп, каждая из которых имеет дискретную топологию , и семейства гомоморфизмов , таких, что является тождественным отображением , и коллекция удовлетворяет свойству композиции всякий раз, когда Обратный предел это набор:
соответствующей топологией продуктаМожно также определить обратный предел в терминах универсального свойства . В категориальных терминах это частный случай кофильтрованной предельной конструкции.
Второе определение (аксиоматическое)
Проконечная группа — это компактная и полностью несвязная топологическая группа: [4] то есть топологическая группа, которая также является пространством Стоуна .
Окончательное завершение
Для произвольной группы существует связанная с ней проконечная группапроконечное пополнение из[4]Оно определяется как обратный предел группгдепробегаетнормальные подгруппывконечногоиндекса(эти нормальные подгруппычастично упорядоченывключением, что преобразуется в обратную систему естественных гомоморфизмов между факторами).
Существует естественный гомоморфизм , и образ при этом гомоморфизме плотен в. Гомоморфизм инъективен тогда и только тогда, когда группа аппроксимируемо конечна (т. е. когда пересечение проходит через все нормальные подгруппы конечного индекса).
Гомоморфизм характеризуется следующим универсальным свойством : для любой проконечной группы и любого гомоморфизма непрерывной группы , где задана наименьшая топология, совместимая с групповыми операциями, в которой ее нормальные подгруппы конечного индекса открыты, существует единственный гомоморфизм непрерывной группы с
Эквивалентность
Любая группа, построенная по первому определению, удовлетворяет аксиомам второго определения.
И наоборот, любая группа, удовлетворяющая аксиомам второго определения, может быть построена как обратный предел в соответствии с первым определением, используя обратный предел, где проходит через открытые нормальные подгруппы упорядоченного (обратного) включения. Если топологически конечно порождено, то оно, кроме того, равно своему собственному проконечному пополнению. [5]
Сюръективные системы
На практике обратная система конечных групп почти всегдасюръективен , что означает, что все его карты сюръективны. Без ограничения общности достаточно рассматривать только сюръективные системы, поскольку по любой инверсной системе можно сначала построить ее проконечную группу, а затемреконструироватьее как собственное проконечное пополнение.
Примеры
- Конечные группы являются проконечными, если задана дискретная топология .
- Группа сложенных -адических целых чисел является проконечной (фактически проциклической). Это обратный предел конечных групп , где пробегают все натуральные числа , и естественные отображения для. Топология этой проконечной группы такая же, как топология, возникающая из -адического нормирования на
- Группа бесконечных целых чисел представляет собой бесконечное пополнение группы. Подробно это обратный предел конечных групп, где с отображением по модулю для Эта группа является продуктом всех групп и является абсолютной группой Галуа любого конечного поля .
- Теория Галуа расширений полей бесконечной степени естественным образом порождает бесконечные группы Галуа. В частности, если расширение Галуа , рассмотрим группу, состоящую из всех полевых автоморфизмов , которые сохраняют все элементы фиксированными. Эта группа является обратным пределом конечных групп, где пробегает все промежуточные поля и является конечным расширением Галуа. Для предельного процесса используются гомоморфизмы ограничения, где Полученная топология известна как топология Крулля в честь Вольфганга Крулля . Уотерхаус (1974) показал, что каждая проконечная группа изоморфна группе, возникающей из теории Галуа некоторого поля , но невозможно (пока) контролировать, какое поле будет в этом случае. Фактически, для многих полей вообще неизвестно, какие именно конечные группы встречаются как группы Галуа над полем . Это обратная задача Галуа для поля (для некоторых полей решается обратная задача Галуа, например, для поля рациональных функций в одном переменная по комплексным числам.) Не каждая проконечная группа встречается как абсолютная группа Галуа поля. [6]
- Этальные фундаментальные группы, рассматриваемые в алгебраической геометрии, также являются проконечными группами, грубо говоря, потому что алгебра может «видеть» только конечные накрытия алгебраического многообразия . Однако фундаментальные группы алгебраической топологии , как правило, не бесконечны: для любой предписанной группы существует двумерный комплекс CW , фундаментальная группа которого равна ей.
- Группа автоморфизмов локально конечного корневого дерева бесконечна.
Свойства и факты
- Каждое произведение (произвольного числа) проконечных групп является проконечным; топология, возникающая из-за бесконечности, согласуется с топологией произведения . Обратный предел обратной системы проконечных групп с непрерывными отображениями переходов проконечен, а функтор обратного предела точен на категории проконечных групп. Кроме того, быть бесконечным — это свойство расширения.
- Каждая замкнутая подгруппа проконечной группы сама по себе проконечна; топология, возникающая из-за бесконечности, согласуется с топологией подпространства . Если – замкнутая нормальная подгруппа проконечной группы, то факторгруппа проконечная; топология, возникающая из-за бесконечности, согласуется с фактортопологией .
- Поскольку каждая проконечная группа компактна по Хаусдорфу, существует мера Хаара , которая позволяет нам измерять «размер» подмножеств вычисления определенных вероятностей и интегрировать функции на
- Подгруппа проконечной группы открыта тогда и только тогда, когда она замкнута и имеет конечный индекс .
- Согласно теореме Николая Николова и Дэна Сигала , в любой топологически конечно порожденной проконечной группе (т. е. в проконечной группе, имеющей плотную конечно порожденную подгруппу ) подгруппы конечного индекса открыты. Это обобщает более ранний аналогичный результат Жана-Пьера Серра для топологически конечно порожденных прогрупп . Доказательство использует классификацию конечных простых групп .
- Как простое следствие приведенного выше результата Николова – Сигала, любой сюръективный дискретный групповой гомоморфизм между проконечными группами и непрерывен, пока топологически конечно порожден. Действительно, любая открытая подгруппа имеет конечный индекс, поэтому ее прообраз в также имеет конечный индекс и, следовательно, она должна быть открытой.
- Предположим, что и являются топологически конечно порожденными проконечными группами, которые изоморфны как дискретные группы в силу изоморфизма. Тогда в силу приведенного выше результата она биективна и непрерывна. Более того, он также непрерывен, как и гомеоморфизм. Поэтому топология топологически конечно порожденной проконечной группы однозначно определяется ее алгебраической структурой.
Инди-конечные группы
Существует понятие инд-конечной группы , которое является концептуальным двойственным к проконечным группам; т. е. группа является инд-конечной, если она является прямым пределом индуктивной системы конечных групп. (В частности, это инд-группа.) Обычная терминология другая: группа называется локально конечной, если каждая конечно порожденная подгруппа конечна. Фактически это эквивалентно тому, чтобы быть «бесконечным».
Применяя двойственность Понтрягина , можно увидеть, что абелевы проконечные группы находятся в двойственности с локально конечными дискретными абелевыми группами. Последние представляют собой не что иное, как абелевы периодические группы .
Проективные проконечные группы
Проконечная группа – этопроективным , если он обладаетсвойством подъемадля каждого расширения. Это эквивалентно утверждению, чтооно проективно, если для каждого сюръективного морфизма из проконечногосуществуетсечение[7][8]
Проективность для проконечной группы эквивалентна любому из двух свойств: [7]
- когомологическое измерение
- для любого простого числа силовские -подгруппы являются свободными про -группами.
Любая проективная проконечная группа может быть реализована как абсолютная группа Галуа псевдоалгебраически замкнутого поля . Этот результат принадлежит Александру Любоцки и Лу ван ден Дрису . [9]
Проциклическая группа
Проконечная группа – этопроциклична , если она топологически порождается одним элементом, т. е. еслизамыкание подгруппы[10]
Топологическая группа является проциклической тогда и только тогда, когда где пробегает некоторый набор простых чисел и изоморфна либо или [11]
Смотрите также
Рекомендации
- ^ Сигал, Дэн (29 марта 2007 г.). «Некоторые аспекты теории проконечных групп». arXiv : math/0703885 .
- ^ Уилсон, Джон Стюарт (1998). Проконечные группы . Оксфорд: Кларендон Пресс. ISBN 9780198500827. ОСЛК 40658188.
- ^ Ленстра, Хендрик. «Проконечные группы» (PDF) . Лейденский университет .
- ^ аб Оссерман, Брайан. «Обратные пределы и проконечные группы» (PDF) . Калифорнийский университет в Дэвисе . Архивировано из оригинала (PDF) 26 декабря 2018 г.
- ^ Николов, Николай; Сигал, Дэн (2007). «О конечно порожденных проконечных группах. I: Сильная полнота и равномерные границы. II: Произведения в квазипростых группах». Анна. Математика. (2) . 165 (1): 171–238, 239–273. arXiv : math/0604399 . дои : 10.4007/анналы.2007.165.171. S2CID 15670650. Збл 1126.20018.
- ^ Фрид и Джарден (2008), с. 497
- ^ Аб Серр (1997) с. 58
- ^ Фрид и Джарден (2008), с. 207
- ^ Фрид и Джарден (2008), стр. 208,545.
- ^ Нойкирх, Юрген (1999). Алгебраическая теория чисел. Grundlehren der mathematischen Wissenschaften. Том. 322. Берлин, Гейдельберг: Springer Berlin Heidelberg. дои : 10.1007/978-3-662-03983-0. ISBN 978-3-642-08473-7.
- ^ «МО. Разложение проциклических групп». MathOverflow .
- Фрид, Майкл Д.; Джарден, Моше (2008). Полевая арифметика . Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete. 3. Фольге. Том. 11 (3-е исправленное изд.). Спрингер-Верлаг . ISBN 978-3-540-77269-9. Збл 1145.12001.
- Николов, Николай; Сигал, Дэн (2007), «О конечно порожденных проконечных группах I: сильная полнота и равномерные границы», Annals of Mathematics , 2-я серия, 165 (1): 171–238, arXiv : math.GR/0604399 , doi : 10.4007 /анналы.2007.165.171.
- Николов, Николай; Сигал, Дэн (2007), «О конечно порожденных проконечных группах, II: произведения в квазипростых группах», Annals of Mathematics , 2-я серия, 165 (1): 239–273, arXiv : math.GR/0604400 , doi : 10.4007/ анналы.2007.165.239.
- Ленстра, Хендрик (2003), Profinite Groups (PDF) , доклад в Обервольфахе.
- Любоцкий, Александр (2001), «Рецензия на книгу», Бюллетень Американского математического общества , 38 (4): 475–479, doi : 10.1090/S0273-0979-01-00914-4. Рецензия на несколько книг о проконечных группах.
- Серр, Жан-Пьер (1994), Галуазские когомологии , Конспекты лекций по математике (на французском языке), том. 5 (5-е изд.), Springer-Verlag , ISBN 978-3-540-58002-7, МР 1324577, Збл 0812.12002. Серр, Жан-Пьер (1997), когомологии Галуа , перевод Патрика Иона, Springer-Verlag , ISBN 3-540-61990-9, Збл 0902.12004
- Уотерхаус, Уильям К. (1974), «Проконечные группы - это группы Галуа», Proceedings of the American Mathematical Society , 42 (2), American Mathematical Society: 639–640, doi : 10.1090/S0002-9939-1974-0325587-3 , JSTOR 2039560, Збл 0281.20031.