Базовый гипергеометрический ряд

Q-аналог гипергеометрического ряда

В математике базисные гипергеометрические ряды или q -гипергеометрические ряды являются q -аналоговыми обобщениями обобщенных гипергеометрических рядов и , в свою очередь , обобщаются эллиптическими гипергеометрическими рядами . Ряд x _n называется гипергеометрическим, если отношение последовательных членов x _{n +1} / x _n является рациональной функцией n . Если отношение последовательных членов является рациональной функцией q ⁿ , то ряд называется базисным гипергеометрическим рядом. Число q называется основанием.

Базовый гипергеометрический ряд был впервые рассмотрен Эдуардом Гейне  (1846). Он становится гипергеометрическим рядом в пределе, когда основание . ${\displaystyle {}_{2}\phi _{1}(q^{\alpha },q^{\beta };q^{\gamma };q,x)}$ ${\displaystyle F(\alpha ,\beta ;\gamma ;x)}$ ${\displaystyle q=1}$

Определение

Существуют две формы основных гипергеометрических рядов: односторонний основной гипергеометрический ряд φ и более общий двусторонний основной гипергеометрический ряд ψ. Односторонний основной гипергеометрический ряд определяется как

${\displaystyle \;_{j}\phi _{k}\left[{\begin{matrix}a_{1}&a_{2}&\ldots &a_{j}\\b_{1}&b_{2}&\ldots &b_{k}\end{matrix}};q,z\right]=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(a_{1},a_{2},\ldots ,a_{j};q)_{n}}{(b_{1},b_{2},\ldots ,b_{k},q;q)_{n}}}\left((-1)^{n}q^{n \choose 2}\right)^{1+k-j}z^{n}}$

где

${\displaystyle (a_{1},a_{2},\ldots ,a_{m};q)_{n}=(a_{1};q)_{n}(a_{2};q)_{n}\ldots (a_{m};q)_{n}}$

и

${\displaystyle (a;q)_{n}=\prod _{k=0}^{n-1}(1-aq^{k})=(1-a)(1-aq)(1-aq^{2})\cdots (1-aq^{n-1})}$

является q -сдвинутым факториалом . Наиболее важным особым случаем является случай, когда j = k + 1, когда он становится

${\displaystyle \;_{k+1}\phi _{k}\left[{\begin{matrix}a_{1}&a_{2}&\ldots &a_{k}&a_{k+1}\\b_{1}&b_{2}&\ldots &b_{k}\end{matrix}};q,z\right]=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(a_{1},a_{2},\ldots ,a_{k+1};q)_{n}}{(b_{1},b_{2},\ldots ,b_{k},q;q)_{n}}}z^{n}.}$

Этот ряд называется сбалансированным, если a ₁ ... a _{k + 1} = b ₁ ... b _k q . Этот ряд называется хорошо сбалансированным , если a ₁ q = a ₂ b ₁ = ... = a _{k + 1} b _k , и очень хорошо сбалансированным , если дополнительно a ₂ = − a ₃ = qa ₁ ^1/2 . Односторонний базисный гипергеометрический ряд является q-аналогом гипергеометрического ряда, поскольку

${\displaystyle \lim _{q\to 1}\;_{j}\phi _{k}\left[{\begin{matrix}q^{a_{1}}&q^{a_{2}}&\ldots &q^{a_{j}}\\q^{b_{1}}&q^{b_{2}}&\ldots &q^{b_{k}}\end{matrix}};q,(q-1)^{1+k-j}z\right]=\;_{j}F_{k}\left[{\begin{matrix}a_{1}&a_{2}&\ldots &a_{j}\\b_{1}&b_{2}&\ldots &b_{k}\end{matrix}};z\right]}$

имеет место (Koekoek & Swarttouw (1996)).
Двусторонний базовый гипергеометрический ряд , соответствующий двустороннему гипергеометрическому ряду , определяется как

${\displaystyle \;_{j}\psi _{k}\left[{\begin{matrix}a_{1}&a_{2}&\ldots &a_{j}\\b_{1}&b_{2}&\ldots &b_{k}\end{matrix}};q,z\right]=\sum _{n=-\infty }^{\infty }{\frac {(a_{1},a_{2},\ldots ,a_{j};q)_{n}}{(b_{1},b_{2},\ldots ,b_{k};q)_{n}}}\left((-1)^{n}q^{n \choose 2}\right)^{k-j}z^{n}.}$

Наиболее важным особым случаем является случай j = k , когда он становится

${\displaystyle \;_{k}\psi _{k}\left[{\begin{matrix}a_{1}&a_{2}&\ldots &a_{k}\\b_{1}&b_{2}&\ldots &b_{k}\end{matrix}};q,z\right]=\sum _{n=-\infty }^{\infty }{\frac {(a_{1},a_{2},\ldots ,a_{k};q)_{n}}{(b_{1},b_{2},\ldots ,b_{k};q)_{n}}}z^{n}.}$

Односторонний ряд можно получить как частный случай двустороннего, установив одну из переменных b равной q , по крайней мере, когда ни одна из переменных a не является степенью q , так как тогда все члены с n < 0 исчезают.

Простая серия

Некоторые простые выражения серии включают в себя

${\displaystyle {\frac {z}{1-q}}\;_{2}\phi _{1}\left[{\begin{matrix}q\;q\\q^{2}\end{matrix}}\;;q,z\right]={\frac {z}{1-q}}+{\frac {z^{2}}{1-q^{2}}}+{\frac {z^{3}}{1-q^{3}}}+\ldots }$

и

${\displaystyle {\frac {z}{1-q^{1/2}}}\;_{2}\phi _{1}\left[{\begin{matrix}q\;q^{1/2}\\q^{3/2}\end{matrix}}\;;q,z\right]={\frac {z}{1-q^{1/2}}}+{\frac {z^{2}}{1-q^{3/2}}}+{\frac {z^{3}}{1-q^{5/2}}}+\ldots }$

и

${\displaystyle \;_{2}\phi _{1}\left[{\begin{matrix}q\;-1\\-q\end{matrix}}\;;q,z\right]=1+{\frac {2z}{1+q}}+{\frac {2z^{2}}{1+q^{2}}}+{\frac {2z^{3}}{1+q^{3}}}+\ldots .}$

Theд-биномиальная теорема

Теорема о q -биноме (впервые опубликованная в 1811 году Генрихом Августом Роте ) ^{[1] [2]} утверждает, что

${\displaystyle \;_{1}\phi _{0}(a;q,z)={\frac {(az;q)_{\infty }}{(z;q)_{\infty }}}=\prod _{n=0}^{\infty }{\frac {1-aq^{n}z}{1-q^{n}z}}}$

что следует за повторным применением тождества

${\displaystyle \;_{1}\phi _{0}(a;q,z)={\frac {1-az}{1-z}}\;_{1}\phi _{0}(a;q,qz).}$

Частный случай a  = 0 тесно связан с q-экспонентой .

Биномиальная теорема Коши

Биномиальная теорема Коши является частным случаем q-биномиальной теоремы. ^[3]

${\displaystyle \sum _{n=0}^{N}y^{n}q^{n(n+1)/2}{\begin{bmatrix}N\\n\end{bmatrix}}_{q}=\prod _{k=1}^{N}\left(1+yq^{k}\right)\qquad (|q|<1)}$

Личность Рамануджана

Шриниваса Рамануджан дал идентичность

${\displaystyle \;_{1}\psi _{1}\left[{\begin{matrix}a\\b\end{matrix}};q,z\right]=\sum _{n=-\infty }^{\infty }{\frac {(a;q)_{n}}{(b;q)_{n}}}z^{n}={\frac {(b/a,q,q/az,az;q)_{\infty }}{(b,b/az,q/a,z;q)_{\infty }}}}$

справедливо для | q | < 1 и | b / a | < | z | < 1. Аналогичные тождества для были даны Бейли. Такие тождества можно понимать как обобщения теоремы Якоби о тройном произведении , которую можно записать с использованием q-ряда как ${\displaystyle \;_{6}\psi _{6}}$

${\displaystyle \sum _{n=-\infty }^{\infty }q^{n(n+1)/2}z^{n}=(q;q)_{\infty }\;(-1/z;q)_{\infty }\;(-zq;q)_{\infty }.}$

Кен Оно приводит соответствующий формальный степенной ряд ^[4]

${\displaystyle A(z;q){\stackrel {\rm {def}}{=}}{\frac {1}{1+z}}\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(z;q)_{n}}{(-zq;q)_{n}}}z^{n}=\sum _{n=0}^{\infty }(-1)^{n}z^{2n}q^{n^{2}}.}$

Контурный интеграл Ватсона

В качестве аналога интеграла Барнса для гипергеометрического ряда Уотсон показал, что

${\displaystyle {}_{2}\phi _{1}(a,b;c;q,z)={\frac {-1}{2\pi i}}{\frac {(a,b;q)_{\infty }}{(q,c;q)_{\infty }}}\int _{-i\infty }^{i\infty }{\frac {(qq^{s},cq^{s};q)_{\infty }}{(aq^{s},bq^{s};q)_{\infty }}}{\frac {\pi (-z)^{s}}{\sin \pi s}}ds}$

где полюса лежат слева от контура, а остальные полюса лежат справа. Существует аналогичный контурный интеграл для _{r +1} φ _r . Этот контурный интеграл дает аналитическое продолжение основной гипергеометрической функции по z . ${\displaystyle (aq^{s},bq^{s};q)_{\infty }}$

Матричная версия

Базовую гипергеометрическую матричную функцию можно определить следующим образом:

${\displaystyle {}_{2}\phi _{1}(A,B;C;q,z):=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(A;q)_{n}(B;q)_{n}}{(C;q)_{n}(q;q)_{n}}}z^{n},\quad (A;q)_{0}:=1,\quad (A;q)_{n}:=\prod _{k=0}^{n-1}(1-Aq^{k}).}$

Тест отношения показывает, что эта матричная функция абсолютно сходится. ^[5]

Смотрите также

• личность Диксона
• Тождества Роджерса–Рамануджана

Примечания

1. Bressoud, DM (1981), "Некоторые тождества для завершения q -рядов", Математические труды Кембриджского философского общества , 89 (2): 211–223, Bibcode : 1981MPCPS..89..211B, doi : 10.1017/S0305004100058114, MR  0600238.
2. Бенаум, Х. Б. (1998), « h -аналог формулы бинома Ньютона», Журнал физики A: Mathematical and General , 31 (46): L751–L754, arXiv : math-ph/9812011 , Bibcode : 1998JPhA...31L.751B, doi : 10.1088/0305-4470/31/46/001, S2CID  119697596.
3. Wolfram Mathworld: Теорема бинома Коши
4. Гвиннет Х. Куган и Кен Оно , Тождество ряда q и арифметика дзета-функций Гурвица , (2003) Труды Американского математического общества 131 , стр. 719–724
5. Ахмед Салем (2014) Основная гипергеометрическая матричная функция Гаусса и ее матричное уравнение q-разности, Линейная и полилинейная алгебра, 62:3, 347-361, DOI: 10.1080/03081087.2013.777437

Ссылки

• Эндрюс, GE (2010), «q-гипергеометрические и родственные функции», в Olver, Frank WJ ; Lozier, Daniel M.; Boisvert, Ronald F.; Clark, Charles W. (ред.), NIST Handbook of Mathematical Functions , Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-19225-5, г-н  2723248.
• В. Н. Бейли, Обобщенные гипергеометрические ряды , (1935) Кембриджские трактаты по математике и математической физике, № 32, Издательство Кембриджского университета, Кембридж.
• Уильям YC Чен и Эми Фу, Полуконечные формы двусторонних базисных гипергеометрических рядов (2004)
• Экстон , Х. (1983), q-гипергеометрические функции и их применение , Нью-Йорк: Halstead Press, Чичестер: Ellis Horwood, ISBN 0853124914 , ISBN 0470274530 , ISBN 978-0470274538   
• Сильви Кортиль и Джереми Лавджой, Разбиения Фробениуса и комбинаторика суммирования Рамануджана 1 ψ 1 {\displaystyle \,_{1}\psi _{1}}
• Файн, Натан Дж. (1988), Основные гипергеометрические ряды и приложения, Математические обзоры и монографии, т. 27, Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество , ISBN 978-0-8218-1524-3, МР  0956465
• Гаспер, Джордж; Рахман, Мизан (2004), Основные гипергеометрические ряды , Энциклопедия математики и ее приложений, т. 96 (2-е изд.), Cambridge University Press , ISBN 978-0-521-83357-8, МР  2128719
• Гейне, Эдуард (1846), «Über die Reihe 1 + ( q α - 1 ) ( q β - 1 ) ( q - 1 ) ( q γ - 1 ) x + ( q α - 1 ) ( q α + 1 - 1 ) ( q β - 1 ) ( q β + 1 - 1 ) ( q - 1 ) ( q 2 - 1 ) ( q γ - 1 ) ( q γ + 1 - 1 ) Икс 2 + ⋯ {\displaystyle 1+{\frac {(q^{\alpha}-1)(q^{\beta }-1)}{(q-1)(q^{\gamma }-1)}}x+{\frac {(q^{\alpha }-1)(q^{\alpha +1}-1) (q^{\beta }-1)(q^{\beta +1}-1)}{(q-1)(q^{2}-1)(q^{\gamma }-1)(q ^{\гамма +1}-1)}}x^{2}+\cdots } ", Journal für die reine und angewandte Mathematik , 32 : 210–212
• Виктор Кац , Покман Чунг, Квантовое исчисление , Universitext, Springer-Verlag, 2002. ISBN 0-387-95341-8 
• Koekoek, Roelof; Swarttouw, Rene F. (1996). Схема Аски ортогональных многочленов и ее q-аналоги (Отчет). Технический университет Дельфта. № 98-17.. Раздел 0.2
• Эндрюс, GE, Аски, Р. и Рой, Р. (1999). Специальные функции, Энциклопедия математики и ее приложений, том 71, Cambridge University Press .
• Эдуард Гейне , Theorie der Kugelfunctionen , (1878) 1 , стр. 97–125.
• Эдуард Гейне, Handbuch die Kugelfunctionen. Theorie und Anwendung (1898) Springer, Берлин.

Внешние ссылки

• Вайсштейн, Эрик В. "q-Гипергеометрическая функция". MathWorld .