Квантовый Монте-Карло охватывает большое семейство вычислительных методов, общей целью которых является изучение сложных квантовых систем . Одной из основных целей этих подходов является предоставление надежного решения (или точного приближения) квантовой задачи многих тел . Все разнообразные разновидности квантовых подходов Монте-Карло разделяют общее использование метода Монте-Карло для обработки многомерных интегралов, которые возникают в различных формулировках задачи многих тел.
Квантовые методы Монте-Карло позволяют напрямую обрабатывать и описывать сложные многочастичные эффекты, закодированные в волновой функции , выходя за рамки теории среднего поля . В частности, существуют численно точные и полиномиально масштабирующие алгоритмы для точного изучения статических свойств бозонных систем без геометрической фрустрации . Для фермионов существуют очень хорошие приближения к их статическим свойствам и численно точные экспоненциально масштабирующие квантовые алгоритмы Монте-Карло, но ни один из них не является обоими.
В принципе, любая физическая система может быть описана многочастичным уравнением Шредингера , пока составляющие ее частицы не движутся «слишком» быстро; то есть они не движутся со скоростью, сравнимой со скоростью света, и релятивистскими эффектами можно пренебречь. Это справедливо для широкого круга электронных проблем в физике конденсированных сред , в конденсатах Бозе-Эйнштейна и сверхтекучих жидкостях , таких как жидкий гелий . Возможность решения уравнения Шредингера для заданной системы позволяет предсказывать ее поведение, с важными приложениями, начиная от материаловедения и заканчивая сложными биологическими системами .
Однако сложность заключается в том, что решение уравнения Шредингера требует знания многочастичной волновой функции в многочастичном гильбертовом пространстве , которое обычно имеет экспоненциально большой размер по числу частиц. Поэтому его решение для достаточно большого числа частиц обычно невозможно даже для современных параллельных вычислительных технологий за разумное время. Традиционно использовались приближения для многочастичной волновой функции как антисимметричной функции одночастичных орбиталей [1] , чтобы иметь управляемую трактовку уравнения Шредингера. Однако этот вид формулировки имеет несколько недостатков, либо ограничивая эффект квантовых многочастичных корреляций, как в случае приближения Хартри-Фока (HF), либо сходясь очень медленно, как в приложениях взаимодействия конфигураций в квантовой химии.
Квантовый Монте-Карло — это способ непосредственного изучения проблемы многих тел и волновой функции многих тел за пределами этих приближений. Наиболее продвинутые подходы квантового Монте-Карло обеспечивают точное решение проблемы многих тел для нефрустрированных взаимодействующих систем бозонов , обеспечивая при этом приблизительное описание взаимодействующих систем фермионов . Большинство методов направлены на вычисление волновой функции основного состояния системы, за исключением Монте-Карло с интегралом по траектории и Монте-Карло с вспомогательным полем при конечной температуре , которые вычисляют матрицу плотности . В дополнение к статическим свойствам, зависящее от времени уравнение Шредингера также может быть решено, хотя и только приближенно, ограничивая функциональную форму эволюционировавшей во времени волновой функции , как это делается в зависящем от времени вариационном Монте-Карло .
С вероятностной точки зрения вычисление верхних собственных значений и соответствующих собственных функций основного состояния, связанных с уравнением Шредингера, основано на численном решении задач интегрирования траекторий Фейнмана–Каца. [2] [3]
Существует несколько квантовых методов Монте-Карло, каждый из которых использует Монте-Карло по-разному для решения задачи многих тел.