Амплитуда вероятности

Комплексное число, квадрат абсолютной величины которого является вероятностью

Волновая функция для одного электрона на 5d атомной орбитали атома водорода . Твердое тело показывает места, где плотность вероятности электрона выше определенного значения (здесь 0,02 нм ⁻³ ): это вычисляется из амплитуды вероятности. Оттенок на цветной поверхности показывает комплексную фазу волновой функции.

В квантовой механике амплитуда вероятности — это комплексное число, используемое для описания поведения систем. Квадрат модуля этой величины представляет собой плотность вероятности .

Амплитуды вероятности обеспечивают связь между квантовым вектором состояния системы и результатами наблюдений этой системы, связь была впервые предложена Максом Борном в 1926 году. Интерпретация значений волновой функции как амплитуды вероятности является столпом Копенгагенской интерпретации квантовой механики. Фактически, свойства пространства волновых функций использовались для создания физических предсказаний (например, испускания атомами определенных дискретных энергий) до того, как была предложена какая-либо физическая интерпретация конкретной функции. Борн был награжден половиной Нобелевской премии по физике 1954 года за это понимание, и вероятность, вычисленная таким образом, иногда называется «вероятностью Борна». Эти вероятностные концепции, а именно плотность вероятности и квантовые измерения , в то время яростно оспаривались первоначальными физиками, работавшими над теорией, такими как Шредингер и Эйнштейн . Это является источником загадочных последствий и философских трудностей в интерпретациях квантовой механики — тем, которые продолжают обсуждаться даже сегодня.

Физический обзор

Если отбросить некоторые технические сложности, то проблема квантового измерения представляет собой поведение квантового состояния, для которого значение измеряемой наблюдаемой Q является неопределенным . Считается, что такое состояние является когерентной суперпозицией собственных состояний наблюдаемой , состояний, в которых значение наблюдаемой однозначно определено, для различных возможных значений наблюдаемой.

Когда производится измерение Q , система (согласно Копенгагенской интерпретации ) переходит в одно из собственных состояний , возвращая собственное значение, принадлежащее этому собственному состоянию. Система всегда может быть описана линейной комбинацией или суперпозицией этих собственных состояний с неравными «весами» . Интуитивно ясно, что собственные состояния с более тяжелыми «весами» имеют большую «вероятность» возникновения. Действительно, в какое из вышеуказанных собственных состояний переходит система, задается вероятностным законом: вероятность перехода системы в состояние пропорциональна абсолютному значению квадрата соответствующего числового веса. Эти числовые веса называются амплитудами вероятности, и это соотношение, используемое для вычисления вероятностей из заданных чистых квантовых состояний (таких как волновые функции), называется правилом Борна .

Очевидно, что сумма вероятностей, равная сумме абсолютных квадратов амплитуд вероятностей, должна быть равна 1. Это требование нормировки.

Если известно, что система находится в некотором собственном состоянии Q (например, после наблюдения соответствующего собственного значения Q ), вероятность наблюдения этого собственного значения становится равной 1 (определенной) для всех последующих измерений Q (при условии, что между измерениями не действуют другие важные силы). Другими словами, амплитуды вероятности равны нулю для всех других собственных состояний и остаются нулевыми для будущих измерений. Если набор собственных состояний, в которые система может перейти при измерении Q, совпадает с набором собственных состояний для измерения R , то последующие измерения Q или R всегда дают те же значения с вероятностью 1, независимо от порядка, в котором они применяются. Амплитуды вероятности не зависят ни от одного из измерений, и говорят, что наблюдаемые коммутируют .

Напротив, если собственные состояния Q и R различны, то измерение R производит скачок в состояние, которое не является собственным состоянием Q. Следовательно, если известно, что система находится в некотором собственном состоянии Q (все амплитуды вероятности равны нулю, за исключением одного собственного состояния), то при наблюдении R амплитуды вероятности изменяются. Второе, последующее наблюдение Q больше не обязательно производит собственное значение, соответствующее начальному состоянию. Другими словами, амплитуды вероятности для второго измерения Q зависят от того, происходит ли оно до или после измерения R , и эти две наблюдаемые не коммутируют .

Математическая формулировка

В формальной установке состояние изолированной физической системы в квантовой механике представлено в фиксированный момент времени вектором состояния |Ψ⟩, принадлежащим сепарабельному комплексному гильбертову пространству . Используя обозначение скобок, соотношение между вектором состояния и « базисом положения » гильбертова пространства можно записать как ^[1] ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle \{|x\rangle \}}$

${\displaystyle \psi (x)=\langle x|\Psi \rangle }$.

Его связь с наблюдаемой может быть выяснена путем обобщения квантового состояния до измеримой функции и ее области определения до заданного σ -конечного мерного пространства . Это позволяет уточнить теорему Лебега о разложении , разложив μ на три взаимно сингулярные части ${\displaystyle \psi }$ ${\displaystyle (X,{\mathcal {A}},\mu )}$

${\displaystyle \mu =\mu _{\mathrm {ac} }+\mu _{\mathrm {sc} }+\mu _{\mathrm {pp} }}$

где μ _ac абсолютно непрерывна относительно меры Лебега, μ _sc сингулярна относительно меры Лебега и безатомна, а μ _pp является чисто точечной мерой. ^{[2] [3]}

Непрерывные амплитуды

Обычно амплитуда вероятности представляется как волновая функция, принадлежащая пространству L ² ( классов эквивалентности ) квадратично интегрируемых функций , т.е. принадлежит L ² ( X ) тогда и только тогда, когда ${\displaystyle \psi }$ ${\displaystyle \psi }$

${\displaystyle \|\psi \|^{2}=\int _{X}|\psi (x)|^{2}\,dx<\infty }$.

Если норма равна 1 и такова, что ${\displaystyle |\psi (x)|^{2}\in \mathbb {R} _{\geq 0}}$

${\displaystyle \int _{X}|\psi (x)|^{2}\,dx\equiv \int _{X}\,d\mu _{ac}(x)=1}$,

тогда — это функция плотности вероятности для измерения положения частицы в заданный момент времени, определяемая как производная Радона–Никодима относительно меры Лебега (например, на множестве R всех действительных чисел ). Поскольку вероятность — безразмерная величина, | ψ ( x ) | ² должна иметь обратную размерность переменной интегрирования x . Например, указанная выше амплитуда имеет размерность [L ^−1/2 ], где L представляет собой длину . ${\displaystyle |\psi (x)|^{2}}$

В то время как гильбертово пространство сепарабельно тогда и только тогда, когда оно допускает счетный ортонормированный базис, диапазон непрерывной случайной величины является несчетным множеством (т.е. вероятность того, что система находится «в положении », всегда будет равна нулю ). Таким образом, собственные состояния наблюдаемой не обязательно должны быть измеримыми функциями, принадлежащими L ² ( X ) (см. условие нормализации ниже). Типичным примером является оператор положения, определенный как ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle {\hat {\mathrm {x} }}}$

${\displaystyle \langle x|{\hat {\mathrm {x} }}|\Psi \rangle ={\hat {\mathrm {x} }}\langle x|\Psi \rangle =x_{0}\psi (x),\quad x\in \mathbb {R} ,}$

чьи собственные функции являются дельта-функциями Дирака

${\displaystyle \psi (x)=\delta (x-x_{0})}$

которые явно не принадлежат L ² ( X ) . Однако, заменяя пространство состояний подходящим оснащенным гильбертовым пространством , строгое понятие собственных состояний из спектральной теоремы, а также спектральное разложение сохраняются. ^[4]

Дискретные амплитуды

Пусть будет атомарным (т.е. множество в является атомом ); определяя меру любой дискретной переменной x ∈ A, равную 1. Амплитуды состоят из вектора состояния |Ψ⟩, индексированного A ; его компоненты обозначены как ψ ( x ) для единообразия с предыдущим случаем. Если ℓ 2 -норма |Ψ⟩ равна 1, то | ψ ( x ) | ² является функцией массы вероятности . ${\displaystyle \mu _{pp}}$ ${\displaystyle A\subset X}$ ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$

Удобное конфигурационное пространство X таково, что каждая точка x производит некоторое уникальное значение наблюдаемой Q. Для дискретного X это означает, что все элементы стандартного базиса являются собственными векторами Q. Тогда — амплитуда вероятности для собственного состояния | x ⟩ . Если оно соответствует невырожденному собственному значению Q , то дает вероятность соответствующего значения Q для начального состояния |Ψ⟩ . ${\displaystyle \psi (x)}$ ${\displaystyle |\psi (x)|^{2}}$

| ψ ( x ) | = 1 тогда и только тогда, когда | x ⟩ является тем же квантовым состоянием , что и |Ψ⟩ . ψ ( x ) = 0 тогда и только тогда, когда | x ⟩ и |Ψ⟩ ортогональны . В противном случае модуль ψ ( x ) находится между 0 и 1 .

Дискретная амплитуда вероятности может рассматриваться как основная частота в области частот вероятности ( сферические гармоники ) для упрощения вычислений преобразований М-теории . ^{[ требуется цитирование ]} Дискретные динамические переменные используются в таких задачах, как частица в идеализированном отражающем ящике и квантовый гармонический осциллятор . ^{[ требуется разъяснение ]}

Примеры

Примером дискретного случая является квантовая система, которая может находиться в двух возможных состояниях , например, поляризация фотона . Когда поляризация измеряется, это может быть горизонтальное состояние или вертикальное состояние . Пока его поляризация не измерена, фотон может находиться в суперпозиции обоих этих состояний, поэтому его состояние можно записать как ${\displaystyle |H\rangle }$ ${\displaystyle |V\rangle }$ ${\displaystyle |\psi \rangle }$

${\displaystyle |\psi \rangle =\alpha |H\rangle +\beta |V\rangle }$,

с и амплитудами вероятности для состояний и соответственно. Когда измеряется поляризация фотона, результирующее состояние либо горизонтальное, либо вертикальное. Но в случайном эксперименте вероятность быть горизонтально поляризованным составляет , а вероятность быть вертикально поляризованным составляет . ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle \beta }$ ${\displaystyle |H\rangle }$ ${\displaystyle |V\rangle }$ ${\displaystyle |\alpha |^{2}}$ ${\displaystyle |\beta |^{2}}$

Следовательно, фотон в состоянии будет иметь вероятность выйти горизонтально поляризованным и вероятность выйти вертикально поляризованным, когда будет сделан ансамбль измерений. Порядок таких результатов, однако, совершенно случаен. ${\textstyle |\psi \rangle ={\sqrt {\frac {1}{3}}}|H\rangle -i{\sqrt {\frac {2}{3}}}|V\rangle }$ ${\textstyle {\frac {1}{3}}}$ ${\textstyle {\frac {2}{3}}}$

Другим примером является квантовый спин. Если прибор для измерения спина направлен вдоль оси z и, следовательно, способен измерять z-компоненту спина ( ), то для измерения спина «вверх» и «вниз» должно быть справедливо следующее: ${\textstyle \sigma _{z}}$

${\displaystyle \sigma _{z}|u\rangle =(+1)|u\rangle }$

${\displaystyle \sigma _{z}|d\rangle =(-1)|d\rangle }$

Если предположить, что система подготовлена, так что +1 регистрируется , а затем прибор вращается для измерения , то справедливо следующее: ${\textstyle \sigma _{x}}$ ${\textstyle \sigma _{z}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\langle r|u\rangle &=\left({\frac {1}{\sqrt {2}}}\langle u|+{\frac {1}{\sqrt {2}}}\langle d|\right)\cdot |u\rangle \\&=\left({\frac {1}{\sqrt {2}}}{\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}}+{\frac {1}{\sqrt {2}}}{\begin{pmatrix}0\\1\end{pmatrix}}\right)\cdot {\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}}\\&={\frac {1}{\sqrt {2}}}\end{aligned}}}$

Вероятностная амплитуда измерения спина вверх определяется как , поскольку система имела начальное состояние . Вероятность измерения определяется как ${\textstyle \langle r|u\rangle }$ ${\textstyle |r\rangle }$ ${\textstyle |u\rangle }$

${\displaystyle P(|u\rangle )=\langle r|u\rangle \langle u|r\rangle =\left({\frac {1}{\sqrt {2}}}\right)^{2}={\frac {1}{2}}}$

Что согласуется с экспериментом.

Нормализация

В приведенном выше примере измерение должно дать либо |  H  ⟩ , либо |  V  ⟩ , поэтому общая вероятность измерения |  H  ⟩ или |  V  ⟩ должна быть равна 1. Это приводит к ограничению, что α ² + β ² = 1 ; в более общем случае сумма квадратов модулей амплитуд вероятностей всех возможных состояний равна единице . Если понимать «все возможные состояния» как ортонормированный базис , что имеет смысл в дискретном случае, то это условие совпадает с условием нормы-1, объясненным выше.

Всегда можно разделить любой ненулевой элемент гильбертова пространства на его норму и получить нормализованный вектор состояния. Однако не каждая волновая функция принадлежит гильбертову пространству L ² ( X ) . Волновые функции, удовлетворяющие этому ограничению, называются нормализуемыми .

Уравнение Шредингера , описывающее состояния квантовых частиц, имеет решения, которые описывают систему и точно определяют, как состояние изменяется со временем . Предположим, что волновая функция ψ ( x ,  t ) дает описание частицы (положение x в заданное время t ). Волновая функция квадратично интегрируема, если

${\displaystyle \int |\psi (\mathbf {x} ,t)|^{2}\,\mathrm {d\mathbf {x} } =a^{2}<\infty .}$

После нормализации волновая функция по-прежнему представляет то же самое состояние и поэтому по определению равна ^{[5] [6]}

${\displaystyle \psi (\mathbf {x} ,t):={\frac {\psi (\mathbf {x} ,t)}{a}}.}$

В стандартной копенгагенской интерпретации нормализованная волновая функция дает амплитуды вероятности для положения частицы. Следовательно, ρ ( x ) = | ψ ( x ,  t ) | ² является функцией плотности вероятности , а вероятность того, что частица находится в объеме V в фиксированное время t , определяется как

${\displaystyle P_{\mathbf {x} \in V}(t)=\int _{V}|\psi (\mathbf {x} ,t)|^{2}\,\mathrm {d\mathbf {x} } =\int _{V}\rho (\mathbf {x} )\,\mathrm {d\mathbf {x} } .}$

Функция плотности вероятности не меняется со временем, поскольку эволюция волновой функции диктуется уравнением Шредингера и, следовательно, является полностью детерминированной. ^[7] Это ключ к пониманию важности этой интерпретации: для заданной постоянной массы частицы , начального ψ ( x ,  t ₀ ) и потенциала уравнение Шредингера полностью определяет последующие волновые функции. Вышеизложенное затем дает вероятности местоположений частицы во все последующие моменты времени.

В контексте эксперимента с двумя щелями

Амплитуды вероятности имеют особое значение, поскольку они действуют в квантовой механике как эквивалент обычных вероятностей, со многими аналогичными законами, как описано выше. Например, в классическом эксперименте с двумя щелями электроны выстреливаются случайным образом в две щели, и распределение вероятности обнаружения электронов во всех частях на большом экране, расположенном за щелями, подвергается сомнению. Интуитивный ответ заключается в том, что P (через любую щель) = P (через первую щель) + P (через вторую щель) , где P (событие) — вероятность этого события. Это очевидно, если предположить, что электрон проходит через любую щель. Когда не установлено измерительного прибора, который определяет, через какую щель проходят электроны, наблюдаемое распределение вероятности на экране отражает интерференционную картину , которая является общей для световых волн. Если предположить, что приведенный выше закон верен, то эту картину невозможно объяснить. Нельзя сказать, что частицы проходят через любую щель, и простое объяснение не работает. Однако правильное объяснение заключается в ассоциации амплитуд вероятности с каждым событием. Комплексные амплитуды, которые представляют электрон, проходящий через каждую щель ( ψ _first и ψ _second ), следуют закону точно такой же формы, как и ожидалось: ψ _total = ψ _first + ψ _second . Это принцип квантовой суперпозиции . Вероятность, которая является квадратом модуля амплитуды вероятности, затем следует интерференционной картине при требовании, чтобы амплитуды были комплексными: Здесь и являются аргументами ψ _first и ψ _second соответственно. Чисто действительная формулировка имеет слишком мало измерений, чтобы описать состояние системы, когда учитывается суперпозиция. То есть без аргументов амплитуд мы не можем описать интерференцию, зависящую от фазы. Решающий термин называется «интерференционным термином», и он был бы упущен, если бы мы добавили вероятности. $${\displaystyle P=\left|\psi _{\text{first}}+\psi _{\text{second}}\right|^{2}=\left|\psi _{\text{first}}\right|^{2}+\left|\psi _{\text{second}}\right|^{2}+2\left|\psi _{\text{first}}\right|\left|\psi _{\text{second}}\right|\cos(\varphi _{1}-\varphi _{2}).}$$ ${\displaystyle \varphi _{1}}$ ${\displaystyle \varphi _{2}}$ ${\textstyle 2\left|\psi _{\text{first}}\right|\left|\psi _{\text{second}}\right|\cos(\varphi _{1}-\varphi _{2})}$

Однако можно придумать эксперимент, в котором экспериментатор наблюдает, через какую щель проходит каждый электрон. Тогда из-за коллапса волновой функции интерференционная картина на экране не наблюдается.

Можно пойти дальше, разработав эксперимент, в котором экспериментатор избавляется от этой «информации о пути» с помощью «квантового ластика» . Затем, согласно копенгагенской интерпретации , случай A применяется снова, и интерференционная картина восстанавливается. ^[8]

Сохранение вероятностей и уравнение непрерывности

Интуитивно понятно, что поскольку нормализованная волновая функция остается нормализованной, эволюционируя согласно волновому уравнению, будет существовать связь между изменением плотности вероятности положения частицы и изменением амплитуды в этих положениях.

Определим ток вероятности (или поток) j как

${\displaystyle \mathbf {j} ={\hbar \over m}{1 \over {2i}}\left(\psi ^{*}\nabla \psi -\psi \nabla \psi ^{*}\right)={\hbar \over m}\operatorname {Im} \left(\psi ^{*}\nabla \psi \right),}$

измеряется в единицах (вероятность)/(площадь × время).

Тогда ток удовлетворяет уравнению

${\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {j} +{\partial \over \partial t}|\psi |^{2}=0.}$

Плотность вероятности равна , это уравнение является в точности уравнением непрерывности , появляющимся во многих ситуациях в физике, где нам нужно описать локальное сохранение величин. Лучший пример — классическая электродинамика, где j соответствует плотности тока, соответствующей электрическому заряду, а плотность — плотности заряда. Соответствующее уравнение непрерывности описывает локальное сохранение зарядов . ${\displaystyle \rho =|\psi |^{2}}$

Композитные системы

Для двух квантовых систем с пространствами L ² ( X ₁ ) и L ² ( X ₂ ) и заданными состояниями |Ψ ₁ ⟩ и |Ψ ₂ ⟩ соответственно их объединенное состояние |Ψ ₁ ⟩  ⊗  |Ψ ₂ ⟩ может быть выражено как ψ ₁ ( x ₁ )  ψ ₂ ( x ₂ ) функция на X ₁  ×  X ₂ , которая дает произведение соответствующих вероятностных мер . Другими словами, амплитуды незапутанного составного состояния являются произведениями исходных амплитуд, а соответствующие наблюдаемые в системах 1 и 2 ведут себя в этих состояниях как независимые случайные величины . Это усиливает вероятностную интерпретацию, изложенную выше.

Амплитуды в операторах

Концепция амплитуд также используется в контексте теории рассеяния , в частности, в форме S-матриц . В то время как модули векторных компонент в квадрате для данного вектора дают фиксированное распределение вероятностей, модули матричных элементов в квадрате интерпретируются как вероятности перехода , как в случайном процессе. Подобно тому, как конечномерный единичный вектор задает конечное распределение вероятностей, конечномерная унитарная матрица задает вероятности перехода между конечным числом состояний.

«Переходная» интерпретация может быть применена и к L ² на недискретных пространствах. ^{[ необходимо разъяснение ]}

Смотрите также

• Ожидаемое значение (квантовая механика)
• Свободная частица
• Конечный потенциальный барьер
• Волна материи
• Формулировка фазового пространства
• Принцип неопределенности
• Амплитуда вероятности Уорда
• Волновой пакет

Примечания

1. Охватывающего множества гильбертова пространства недостаточно для определения координат, поскольку волновые функции образуют лучи в проективном гильбертовом пространстве (а не в обычном гильбертовом пространстве). См.: Проективная рамка
2. Саймон 2005, стр. 43.
3. Тешль 2014, стр. 114-119.
4. де ла Мадрид Модино 2001, с. 97.
5. Бойерле и де Керф 1990, с. 330.
6. См. также теорему Вигнера .
7. Цвибах 2022, стр. 78.
8. Недавний эксперимент 2013 года дает представление о правильной физической интерпретации таких явлений. Информацию действительно можно получить, но тогда электрон, по-видимому, прошел все возможные пути одновременно. (Определенные реалистичные интерпретации волновой функции, подобные ансамблевым, могут предполагать такое сосуществование во всех точках орбитали.) Cf. Schmidt, L. Ph. H.; et al. (2013). "Momentum Transfer to a Free Floating Double Slit: Realization of a Thought Experiment from the Einstein-Bohr Debates" (PDF) . Physical Review Letters . 111 (10): 103201. Bibcode :2013PhRvL.111j3201S. doi :10.1103/PhysRevLett.111.103201. PMID  25166663. S2CID  2725093. Архивировано из оригинала (PDF) 07.03.2019.

Ссылки

• Бойерле, Жерар ГА; де Керф, Эдди А. (1990). Алгебры Ли, часть 1: Конечномерные и бесконечномерные алгебры Ли и их применение в физике . Исследования по математической физике. Амстердам: Северная Голландия. ISBN 0-444-88776-8.
• de la Madrid Modino, R. (2001). Квантовая механика на языке оснастки гильбертова пространства (диссертация на соискание степени доктора философии). Universidad de Valladolid.
• Фейнман, РП; Лейтон, РБ; Сэндс, М. (1989). «Амплитуды вероятности». Лекции Фейнмана по физике . Том 3. Редвуд-Сити: Addison-Wesley. ISBN 0-201-51005-7.
• Гаддер, Стэнли П. (1988). Квантовая вероятность . Сан-Диего: Академическая пресса. ISBN 0-12-305340-4.
• Саймон, Барри (2005). Ортогональные многочлены на единичной окружности. Часть 1. Классическая теория . Публикации коллоквиума Американского математического общества. Том 54. Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество . ISBN 978-0-8218-3446-6. МР  2105088.
• Тешль, Г. (2014). Математические методы в квантовой механике . Провиденс (Род-Айленд): Американское математическое общество. ISBN 978-1-4704-1704-8.
• Цвибах, Бартон (2022). Освоение квантовой механики . Кембридж, Массачусетс: MIT Press. ISBN 978-0-262-04613-8.