Ветвление (математика)

Разветвление математической структуры

Схематическое изображение ветвления: волокна почти всех точек в Y ниже состоят из трех точек, за исключением двух точек в Y, отмеченных точками, где волокна состоят из одной и двух точек (отмеченных черным) соответственно. Говорят, что отображение f разветвлено в этих точках Y .

В геометрии ветвление — это «разветвление», в том смысле, в котором функция квадратного корня для комплексных чисел может иметь две ветви, отличающиеся по знаку. Этот термин также используется с противоположной точки зрения (ветви сходятся вместе), например, когда покрывающее отображение вырождается в точке пространства с некоторым схлопыванием волокон отображения.

В комплексном анализе

Используя риманову поверхность квадратного корня

В комплексном анализе базовая модель может быть взята как отображение z  →  z ⁿ в комплексной плоскости вблизи  z  = 0. Это стандартная локальная картина в теории римановой поверхности , ветвления порядка  n . Это происходит, например, в формуле Римана–Гурвица для влияния отображений на род .

В алгебраической топологии

В покрывающей карте характеристика Эйлера–Пуанкаре должна умножаться на количество листов; поэтому ветвление можно обнаружить, отбрасывая некоторые из них. Отображение z →  z ⁿ показывает это как локальный шаблон: если мы исключим 0, рассматривая, скажем, 0 < | z | < 1, мы имеем (с точки зрения гомотопии ) окружность , отображенную на себя отображением n -й степени (характеристика Эйлера–Пуанкаре 0), но для всего диска характеристика Эйлера–Пуанкаре равна 1, n  – 1 — это «потерянные» точки, поскольку n листов сходятся вместе в точке  z  = 0.

В геометрических терминах ветвление — это то, что происходит в коразмерности два (как в теории узлов и монодромии ); поскольку действительная коразмерность два является комплексной коразмерностью один, локальный комплексный пример задает шаблон для многообразий комплексных многообразий более высокой размерности . В комплексном анализе листы не могут просто сгибаться вдоль линии (одна переменная) или подпространства коразмерности один в общем случае. Множество ветвления (локус ветвления на базе, двойной набор точек выше) будет на два действительных измерения ниже окружающего многообразия , и поэтому не будет разделять его на две «стороны» локально — будут пути, которые описывают локус ветвления, как в примере. В алгебраической геометрии над любым полем , по аналогии, это также происходит в алгебраической коразмерности один.

В алгебраической теории чисел

В алгебраических расширениях рациональных чисел

Ветвление в алгебраической теории чисел означает факторизацию простого идеала в расширении таким образом, чтобы получить несколько повторяющихся факторов простого идеала. А именно, пусть будет кольцом целых чисел поля алгебраических чисел , и простой идеал . Для расширения поля мы можем рассмотреть кольцо целых чисел (которое является целым замыканием в ), и идеал . Этот идеал может быть или не быть простым, но для конечного он имеет факторизацию в простые идеалы: ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{K}}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{K}}$ ${\displaystyle L/K}$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{L}}$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{K}}$ ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle {\mathfrak {p}}{\mathcal {O}}_{L}}$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{L}}$ ${\displaystyle [L:K]}$

${\displaystyle {\mathfrak {p}}\cdot {\mathcal {O}}_{L}={\mathfrak {p}}_{1}^{e_{1}}\cdots {\mathfrak {p}}_{k}^{e_{k}}}$

где являются различными простыми идеалами . Тогда говорят, что разветвляется в , если для некоторого ; в противном случае это ${\displaystyle {\mathfrak {p}}_{i}}$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{L}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$ ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle e_{i}>1}$ ${\displaystyle i}$неразветвленный . Другими словами,разветвляется в ,еслииндекс разветвлениябольше единицы для некоторого. Эквивалентным условием является то, чтоимеет ненулевойнильпотентныйэлемент: он не является произведениемконечных полей. Аналогия со случаем римановой поверхности была уже указанаРичардом ДедекиндомиГенрихом М. Веберомв девятнадцатом веке. ${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$ ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle e_{i}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {p}}_{i}}$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{L}/{\mathfrak {p}}{\mathcal {O}}_{L}}$

Ветвление кодируется в относительной дискриминантой и в относительной разницей . Первое является идеалом и делится на тогда и только тогда, когда некоторый идеал деления разветвлен . Последнее является идеалом и делится на простой идеал именно тогда, когда разветвлено. ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{K}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {p}}_{i}}$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{L}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{L}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {p}}_{i}}$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{L}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {p}}_{i}}$

Ветвление является ручным , когда индексы ветвления все взаимно просты с характеристикой остатка p для , в противном случае дикие . Это условие важно в теории модулей Галуа . Конечное генерически этальное расширение областей Дедекинда является ручным тогда и только тогда, когда след сюръективен. ${\displaystyle e_{i}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$ ${\displaystyle B/A}$ ${\displaystyle \operatorname {Tr} :B\to A}$

На местных полях

Более подробный анализ ветвления в числовых полях может быть выполнен с использованием расширений p-адических чисел , поскольку это локальный вопрос. В этом случае количественная мера ветвления определяется для расширений Галуа , в основном спрашивая, насколько далеко группа Галуа перемещает элементы поля относительно метрики. Определяется последовательность групп ветвления , овеществляющая (помимо прочего) дикое (неручное) ветвление. Это выходит за рамки геометрического аналога.

В алгебре

В теории оценок теория ветвления оценок изучает множество расширений оценки поля K до поля расширения K. Это обобщает понятия алгебраической теории чисел, локальных полей и дедекиндовых областей .

В алгебраической геометрии

В алгебраической геометрии также существует соответствующее понятие неразветвленного морфизма . Оно служит для определения этальных морфизмов .

Пусть будет морфизмом схем. Носитель квазикогерентного пучка называется локусом ветвления , а образ локуса ветвления , называется локусом ветвления . Если мы говорим, что формально неразветвлено и если также имеет локально конечное представление, мы говорим, что неразветвлено ( см. Vakil 2017). ${\displaystyle f:X\to Y}$ ${\displaystyle \Omega _{X/Y}}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f\left(\operatorname {Supp} \Omega _{X/Y}\right)}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle \Omega _{X/Y}=0}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f}$

Смотрите также

• Полином Эйзенштейна
• многоугольник Ньютона
• расширение Пюизё
• Разветвленное покрытие

Ссылки

• Нойкирх, Юрген (1999). Алгебраическая теория теории . Grundlehren der mathematischen Wissenschaften . Том. 322. Берлин: Springer-Verlag . ISBN 978-3-540-65399-8. MR  1697859. Zbl  0956.11021.
• Вакил, Рави (18 ноября 2017 г.). Восходящее море: основы алгебраической геометрии (PDF) . Получено 5 июня 2019 г. .

Внешние ссылки

• «Разделение и ветвление в числовых полях и расширения Галуа». PlanetMath .