Состояние энергии

Упрощение предположений о поведении тензора энергии-импульса в общей теории относительности

В релятивистских классических полевых теориях гравитации , в частности, в общей теории относительности , энергетическое условие является обобщением утверждения «плотность энергии области пространства не может быть отрицательной» в релятивистски сформулированной математической формулировке. Существует множество возможных альтернативных способов выражения такого условия, которые могут быть применены к материальному содержанию теории. Тогда есть надежда, что любая разумная теория материи будет удовлетворять этому условию или, по крайней мере, сохранит условие, если оно удовлетворяется начальными условиями.

Энергетические условия не являются физическими ограничениями как таковыми , а скорее математически налагаемыми граничными условиями, которые пытаются уловить убеждение, что «энергия должна быть положительной». ^[1] Известно, что многие энергетические условия не соответствуют физической реальности — например, хорошо известно, что наблюдаемые эффекты темной энергии нарушают сильное энергетическое условие. ^{[2] [3]}

В общей теории относительности энергетические условия часто используются (и требуются) при доказательстве различных важных теорем о черных дырах, таких как теорема об отсутствии волос или законы термодинамики черных дыр .

Мотивация

В общей теории относительности и смежных теориях распределение массы, импульса и напряжения, обусловленных материей и любыми негравитационными полями, описывается тензором энергии-импульса (или тензором материи ) . Однако само по себе уравнение поля Эйнштейна не определяет, какие виды состояний материи или негравитационных полей допустимы в модели пространства-времени. Это одновременно и сильная сторона, поскольку хорошая общая теория гравитации должна быть максимально независимой от любых предположений, касающихся негравитационной физики, и слабость, поскольку без какого-либо дополнительного критерия уравнение поля Эйнштейна допускает предполагаемые решения со свойствами, которые большинство физиков считают нефизическими , т. е. слишком странными, чтобы напоминать что-либо в реальной Вселенной даже приблизительно. ${\displaystyle T^{ab}}$

Энергетические условия представляют собой такие критерии. Грубо говоря, они грубо описывают свойства, общие для всех (или почти всех) состояний материи и всех негравитационных полей, которые хорошо известны в физике, будучи при этом достаточно сильными, чтобы исключить многие нефизические «решения» уравнения поля Эйнштейна.

Математически говоря, наиболее очевидной отличительной чертой энергетических условий является то, что они по сути являются ограничениями на собственные значения и собственные векторы тензора материи. Более тонкая, но не менее важная черта заключается в том, что они налагаются событийно , на уровне касательных пространств . Поэтому у них нет надежды исключить нежелательные глобальные особенности , такие как замкнутые времениподобные кривые .

Некоторые наблюдаемые величины

Чтобы понять утверждения различных энергетических состояний, необходимо быть знакомым с физической интерпретацией некоторых скалярных и векторных величин, построенных из произвольных времениподобных или нулевых векторов и тензора материи.

Во-первых, единичное времяподобное векторное поле можно интерпретировать как определение мировых линий некоторого семейства (возможно, неинерциальных) идеальных наблюдателей. Тогда скалярное поле ${\displaystyle {\vec {X}}}$

${\displaystyle \rho =T_{ab}X^{a}X^{b}}$

можно интерпретировать как полную плотность массы-энергии (материя плюс энергия поля любых негравитационных полей), измеренную наблюдателем из нашей семьи (при каждом событии на его мировой линии). Аналогично, векторное поле с компонентами представляет (после проекции) импульс, измеренный нашими наблюдателями. ${\displaystyle -{T^{a}}_{b}X^{b}}$

Во-вторых, если задано произвольное нулевое векторное поле, то скалярное поле ${\displaystyle {\vec {k}},}$

${\displaystyle \nu =T_{ab}k^{a}k^{b}}$

можно считать своего рода предельным случаем плотности массы-энергии.

В-третьих, в случае общей теории относительности, если задано произвольное времениподобное векторное поле , снова интерпретируемое как описание движения семейства идеальных наблюдателей, скаляр Райчаудхури представляет собой скалярное поле, полученное путем взятия следа приливного тензора, соответствующего этим наблюдателям в каждом событии: ${\displaystyle {\vec {X}}}$

${\displaystyle {E[{\vec {X}}]^{m}}_{m}=R_{ab}X^{a}X^{b}}$

Эта величина играет решающую роль в уравнении Райчаудхури . Тогда из уравнения поля Эйнштейна мы немедленно получаем

${\displaystyle {\frac {1}{8\pi }}{E[{\vec {X}}]^{m}}_{m}={\frac {1}{8\pi }}R_{ab}X^{a}X^{b}=\left(T_{ab}-{\frac {1}{2}}Tg_{ab}\right)X^{a}X^{b},}$

где - след тензора материи. ${\displaystyle T={T^{m}}_{m}}$

Математическое утверждение

Существует несколько наиболее распространенных альтернативных источников энергии:

Состояние нулевой энергии

Условие нулевой энергии предполагает, что для каждого нулевого векторного поля , указывающего на будущее , ${\displaystyle {\vec {k}}}$

${\displaystyle \nu =T_{ab}k^{a}k^{b}\geq 0.}$

Каждый из них имеет усредненную версию, в которой свойства, отмеченные выше, должны сохраняться только в среднем вдоль линий потока соответствующих векторных полей. В противном случае эффект Казимира приводит к исключениям. Например, усредненное условие нулевой энергии гласит, что для каждой линии потока (интегральной кривой) нулевого векторного поля мы должны иметь ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle {\vec {k}},}$

${\displaystyle \int _{C}T_{ab}k^{a}k^{b}d\lambda \geq 0.}$

Слабое энергетическое состояние

Слабое энергетическое условие предполагает, что для каждого времениподобного векторного поля плотность материи, наблюдаемая соответствующими наблюдателями, всегда неотрицательна: ${\displaystyle {\vec {X}},}$

${\displaystyle \rho =T_{ab}X^{a}X^{b}\geq 0.}$

Доминирующее энергетическое состояние

Доминирующее энергетическое условие предусматривает, что в дополнение к слабому энергетическому условию, которое остается верным, для каждого каузального векторного поля, указывающего на будущее (как времениподобного, так и нулевого), векторное поле должно быть каузальным вектором, указывающим на будущее. То есть, масса-энергия никогда не может наблюдаться текущей быстрее света. ${\displaystyle {\vec {Y}},}$ ${\displaystyle -{T^{a}}_{b}Y^{b}}$

Сильное энергетическое состояние

Сильное энергетическое условие предполагает, что для каждого времениподобного векторного поля след приливного тензора, измеренный соответствующими наблюдателями, всегда неотрицателен: ${\displaystyle {\vec {X}}}$

${\displaystyle \left(T_{ab}-{\frac {1}{2}}Tg_{ab}\right)X^{a}X^{b}\geq 0}$

Существует множество классических конфигураций материи, которые нарушают сильное энергетическое условие, по крайней мере, с математической точки зрения. Например, скалярное поле с положительным потенциалом может нарушить это условие. Более того, наблюдения темной энергии / космологической постоянной показывают, что сильное энергетическое условие не описывает нашу вселенную, даже если усреднено по космологическим масштабам. Более того, оно сильно нарушается в любом космологическом инфляционном процессе (даже не управляемом скалярным полем). ^[3]

Идеальные жидкости

Последствия некоторых энергетических условий в случае идеальной жидкости

Идеальные жидкости обладают тензором формы материи

${\displaystyle T^{ab}=\rho u^{a}u^{b}+ph^{ab},}$

где — 4-скорость частиц материи, а где — тензор проекции на элементы пространственной гиперплоскости, ортогональные 4-скорости, в каждом событии. (Обратите внимание, что эти элементы гиперплоскости не будут образовывать пространственный гиперсрез, если только скорость не будет безвихревой , то есть безвихревой .) Относительно системы отсчета , совмещенной с движением частиц материи, компоненты тензора материи принимают диагональную форму ${\displaystyle {\vec {u}}}$ ${\displaystyle h^{ab}\equiv g^{ab}+u^{a}u^{b}}$

${\displaystyle T^{{\hat {a}}{\hat {b}}}={\begin{bmatrix}\rho &0&0&0\\0&p&0&0\\0&0&p&0\\0&0&0&p\end{bmatrix}}.}$

Здесь — плотность энергии , — давление . ${\displaystyle \rho }$ ${\displaystyle p}$

Затем энергетические условия можно переформулировать в терминах этих собственных значений:

• Условие нулевой энергии предусматривает, что ${\displaystyle \rho +p\geq 0.}$
• Слабое энергетическое условие гласит, что ${\displaystyle \rho \geq 0,\;\;\rho +p\geq 0.}$
• Условие доминирующей энергии предусматривает, что ${\displaystyle \rho \geq |p|.}$
• Сильное энергетическое условие предусматривает, что ${\displaystyle \rho +p\geq 0,\;\;\rho +3p\geq 0.}$

Последствия этих условий показаны на рисунке справа. Обратите внимание, что некоторые из этих условий допускают отрицательное давление. Также обратите внимание, что, несмотря на названия, сильное энергетическое условие не подразумевает слабое энергетическое условие даже в контексте идеальных жидкостей .

Неидеальные жидкости

Наконец, существуют предложения по расширению энергетических условий на пространства-времена, содержащие неидеальные жидкости, где второй закон термодинамики обеспечивает естественную функцию Ляпунова для исследования как устойчивости, так и причинности, где физическое происхождение связи между устойчивостью и причинностью лежит в соотношении между энтропией и информацией . ^[4] Эти попытки обобщают теорему Хокинга-Эллиса о сохранении вакуума (согласно которой, если энергия может войти в пустую область быстрее скорости света, то доминирующее энергетическое условие нарушается, и плотность энергии может стать отрицательной в некоторой системе отсчета ^[5] ) на пространства-времена, содержащие неравновесную материю при конечной температуре и химическом потенциале.

Действительно, идея о том, что существует связь между нарушением причинности и нестабильностью жидкости, имеет долгую историю. Например, по словам У. Израиля : «Если источник эффекта может быть отсрочен, то система должна иметь возможность заимствовать энергию из своего основного состояния, а это подразумевает нестабильность». ^[6] Можно показать, что это переформулировка теоремы Хокинга-Эллиса о сохранении вакуума при конечной температуре и химическом потенциале. ^{[4] [5]}

Попытки фальсификации энергетических условий

В то время как цель энергетических условий состоит в том, чтобы предоставить простые критерии, которые исключают многие нефизические ситуации, допуская любую физически разумную ситуацию, на самом деле, по крайней мере, когда вводится эффективное полевое моделирование некоторых квантово-механических эффектов, некоторые возможные тензоры материи, которые известны как физически разумные и даже реалистичные, поскольку они были экспериментально проверены , на самом деле не соответствуют различным энергетическим условиям. В частности, в эффекте Казимира , в области между двумя проводящими пластинами, удерживаемыми параллельно на очень малом расстоянии d , существует отрицательная плотность энергии

${\displaystyle \varepsilon ={\frac {-\pi ^{2}}{720}}{\frac {\hbar }{d^{4}}}}$

между пластинами. (Однако следует помнить, что эффект Казимира является топологическим, в том смысле, что знак энергии вакуума зависит как от геометрии, так и от топологии конфигурации. Будучи отрицательным для параллельных пластин, энергия вакуума положительна для проводящей сферы.) Однако различные квантовые неравенства предполагают, что в таких случаях может быть выполнено подходящее условие усредненной энергии. В частности, усредненное условие нулевой энергии выполняется в эффекте Казимира. Действительно, для тензоров энергии-импульса, возникающих из эффективных теорий поля на пространстве-времени Минковского, усредненное условие нулевой энергии выполняется для повседневных квантовых полей. Расширение этих результатов является открытой проблемой.

Сильное энергетическое условие соблюдается всей нормальной/ньютоновской материей, но ложный вакуум может его нарушить. Рассмотрим линейное баротропное уравнение состояния

${\displaystyle p=w\rho ,}$

где — плотность энергии материи, — давление материи, — константа. Тогда сильное энергетическое условие требует ; но для состояния, известного как ложный вакуум, мы имеем . ^[7] ${\displaystyle \rho }$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle w}$ ${\displaystyle w\geq -1/3}$ ${\displaystyle w=-1}$

Смотрите также

• Конгруэнтность (общая теория относительности)
• Точные решения в общей теории относительности
• Поля фреймов в общей теории относительности
• Теорема о положительной энергии
• Квантовые неравенства

Примечания

1. Curiel, E. (2014). «Учебник по энергетическим условиям». arXiv : 1405.0403 .
2. Farnes, JS (2018). «Объединяющая теория темной энергии и темной материи: отрицательные массы и создание материи в рамках модифицированной модели ΛCDM». Астрономия и астрофизика . 620 : A92. arXiv : 1712.07962 . Bibcode : 2018A&A...620A..92F. doi : 10.1051/0004-6361/201832898. S2CID  53600834.
3. Visser, Matt; Barceló, Carlos (2000). «Энергетические условия и их космологические последствия». Cosmo-99 . стр. 98–112. arXiv : gr-qc/0001099 . doi :10.1142/9789812792129_0014. ISBN 978-981-02-4456-9. S2CID  119446302.
4. Гавассино, Лоренцо; Антонелли, Марко; Хаскелл, Бринмор (2022-01-06). «Термодинамическая устойчивость подразумевает причинность». Physical Review Letters . 128 (1): 010606. arXiv : 2105.14621 . doi :10.1103/PhysRevLett.128.010606. ISSN  0031-9007.
5. Gavassino, Lorenzo (2022-10-03). «Можем ли мы понять диссипацию без причинности?». Physical Review X. 12 ( 4): 041001. arXiv : 2111.05254 . doi : 10.1103/PhysRevX.12.041001. ISSN  2160-3308.
6. Израиль, Вернер (2009), Лаки, Ян; Рюгг, Анри; Вандерс, Жерар (ред.), «Релятивистская термодинамика», ECG Штюкельберг, Нетрадиционная фигура физики двадцатого века: избранные научные труды с комментариями , Базель: Birkhäuser, стр. 101–113, doi :10.1007/978-3-7643-8878-2_8, ISBN 978-3-7643-8878-2, получено 2024-05-17
7. GFR Ellis; R. Maartens; MAH MacCallum (2012). "Раздел 6.1". Релятивистская космология . Cambridge University Press.

Ссылки

• Хокинг, Стивен; Эллис, GFR (1973). Крупномасштабная структура пространства-времени . Кембридж: Cambridge University Press . ISBN 0-521-09906-4.Энергетические условия обсуждаются в §4.3.
• Пуассон, Эрик (2004). Инструментарий релятивиста: Математика механики черных дыр . Кембридж: Издательство Кембриджского университета. Bibcode :2004rtmb.book.....P. ISBN 0-521-83091-5.Различные энергетические условия (включая все упомянутые выше) обсуждаются в разделе 2.1 .
• Кэрролл, Шон М. (2004). Пространство-время и геометрия: Введение в общую теорию относительности . Сан-Франциско: Addison-Wesley . ISBN 0-8053-8732-3.Различные энергетические условия обсуждаются в разделе 4.6 .
• Уолд, Роберт М. (1984). Общая теория относительности . Чикаго: Издательство Чикагского университета . ISBN 0-226-87033-2.Общие энергетические условия обсуждаются в разделе 9.2 .
• Эллис, GFR; Маартенс, Р.; Маккаллум, MAH (2012). Релятивистская космология . Кембридж: Издательство Кембриджского университета. ISBN 978-0-521-38115-4.Нарушения сильного энергетического условия обсуждаются в разделе 6.1 .