Приливной тензор

В теории гравитации Ньютона и в различных релятивистских классических теориях гравитации , таких как общая теория относительности , приливный тензор представляет собой

1. приливные ускорения облака (электрически нейтральных, невращающихся) тестовых частиц ,
2. приливные напряжения в малом объекте, погруженном в окружающее гравитационное поле.

Приливной тензор представляет собой относительное ускорение под действием силы тяжести двух пробных масс, разделенных бесконечно малым расстоянием. Компонент представляет собой относительное ускорение в направлении, произведенное смещением в направлении. ${\displaystyle \Phi _{{a}{b}}}$ ${\displaystyle {\hat {a}}}$ ${\displaystyle {\hat {b}}}$

Приливной тензор для сферического тела

Наиболее распространенным примером приливов является приливная сила вокруг сферического тела ( например , планеты или луны). Здесь мы вычисляем приливной тензор для гравитационного поля снаружи изолированного сферически симметричного массивного объекта. Согласно закону тяготения Ньютона, ускорение a на расстоянии r от центральной массы m равно

${\displaystyle a=-Gm/r^{2}}$

(Чтобы упростить математику, в следующих выводах мы используем соглашение о том, что гравитационная постоянная G равна единице. Для вычисления дифференциальных ускорений результаты следует умножить на G.)

Примем систему отсчета в полярных координатах для нашего трехмерного евклидова пространства и рассмотрим бесконечно малые смещения в радиальном и азимутальном направлениях, и , которым присвоены индексы 1, 2 и 3 соответственно. ${\displaystyle \partial _{r},\partial _{\theta },}$ ${\displaystyle \partial _{\phi }}$

${\displaystyle {\vec {\epsilon }}_{1}=\partial _{r},\;{\vec {\epsilon }}_{2}={\frac {1}{r}}\,\partial _{\theta },\;{\vec {\epsilon }}_{3}={\frac {1}{r\sin \theta }}\,\partial _{\phi }}$

Мы будем напрямую вычислять каждую компоненту приливного тензора, выраженную в этой системе отсчета. Сначала сравним гравитационные силы на двух близлежащих объектах, лежащих на одной радиальной линии на расстояниях от центрального тела, отличающихся на расстояние h :

${\displaystyle m/(r+h)^{2}-m/r^{2}=-2mh/r^{3}+3mh^{2}/r^{4}+O(h^{3})}$

Поскольку при обсуждении тензоров мы имеем дело с полилинейной алгеброй , мы сохраняем только члены первого порядка, поэтому . Поскольку ускорения в направлении или из-за смещения в радиальном направлении нет , другие радиальные члены равны нулю: . ${\displaystyle \Phi _{11}=-2m/r^{3}}$ ${\displaystyle \theta }$ ${\displaystyle \phi }$ ${\displaystyle \Phi _{12}=\Phi _{13}=0}$

Аналогично, мы можем сравнить гравитационную силу на двух наблюдателей, находящихся рядом, лежащих на одном и том же радиусе, но смещенных на (бесконечно малое) расстояние h в направлении или . Используя элементарную тригонометрию и приближение малых углов, мы находим, что векторы силы отличаются на вектор, касательный к сфере, который имеет величину ${\displaystyle r=r_{0}}$ ${\displaystyle \theta }$ ${\displaystyle \phi }$

${\displaystyle {\frac {m}{r_{0}^{2}}}\,\sin(\theta )\approx {\frac {m}{r_{0}^{2}}}\,{\frac {h}{r_{0}}}={\frac {m}{r_{0}^{3}}}\,h}$

Используя приближение малого угла, мы проигнорировали все члены порядка , поэтому тангенциальные компоненты равны . Опять же, поскольку нет ускорения в радиальном направлении из-за смещений в любом из азимутальных направлений, другие азимутальные члены равны нулю: . ${\displaystyle O(h^{2})}$ ${\displaystyle \Phi _{22}=\Phi _{33}=m/r^{3}}$ ${\displaystyle \Phi _{21}=\Phi _{31}=0}$

Объединяя эту информацию, мы обнаруживаем, что приливный тензор является диагональным с компонентами каркаса. Это кулоновская форма, характерная для сферически симметричных центральных силовых полей в ньютоновской физике. ${\displaystyle \Phi _{{\hat {a}}{\hat {b}}}={\frac {m}{r^{3}}}\operatorname {diag} (-2,1,1)}$

Гессенская формула

В более общем случае, когда масса не является единым сферически симметричным центральным объектом, приливной тензор может быть выведен из гравитационного потенциала , который подчиняется уравнению Пуассона : ${\displaystyle U}$

${\displaystyle \Delta U=4\pi \,\mu }$

где — плотность массы любого присутствующего вещества, а где — оператор Лапласа . Обратите внимание, что это уравнение подразумевает, что в вакуумном решении потенциал — это просто гармоническая функция . ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle \Delta }$

Приливный тензор определяется бесследовой частью ^[1]

${\displaystyle \Phi _{ab}=J_{ab}-{\frac {1}{3}}\,{J^{m}}_{m}\,\eta _{ab}}$

гессенский​

${\displaystyle J_{ab}={\frac {\partial ^{2}U}{\partial x^{a}\,\partial x^{b}}}}$

где мы используем стандартную декартову карту для E ³ с евклидовым метрическим тензором

${\displaystyle ds^{2}=dx^{2}+dy^{2}+dz^{2},\;-\infty <x,y,z<\infty }$

Используя стандартные результаты векторного исчисления, это легко преобразуется в выражения, действительные в других координатных картах, таких как полярная сферическая карта.

${\displaystyle ds^{2}=d\rho ^{2}+\rho ^{2}\,\left(d\theta ^{2}+\sin(\theta )^{2}\,d\phi ^{2}\right)}$

${\displaystyle 0<\rho <\infty ,\;0<\theta <\pi ,\;-\pi <\phi <\pi }$

Сферически симметричное поле

В качестве примера, мы можем вычислить приливной тензор для сферического тела, используя гессиан. Далее, давайте подставим гравитационный потенциал в гессиан. Мы можем преобразовать приведенное выше выражение в выражение, действительное в полярных сферических координатах, или мы можем преобразовать потенциал в декартовы координаты перед подстановкой. Приняв второй курс, мы имеем , что дает ${\displaystyle U=-m/\rho }$ ${\displaystyle U=-m/{\sqrt {x^{2}+y^{2}+z^{2}}}}$

${\displaystyle \Phi _{ab}={\frac {m}{(x^{2}+y^{2}+z^{2})^{5/2}}}\,\left[{\begin{matrix}y^{2}+z^{2}-2x^{2}&-3xy&-3xz\\-3xy&x^{2}+z^{2}-2y^{2}&-3yz\\-3xz&-3yz&x^{2}+y^{2}-2z^{2}\end{matrix}}\right]}$

После поворота нашей системы отсчета, адаптированной к полярным сферическим координатам, это выражение согласуется с нашим предыдущим результатом. Самый простой способ увидеть это — установить в ноль, чтобы недиагональные члены исчезли, и , а затем вызвать сферическую симметрию. ${\displaystyle y,z}$ ${\displaystyle \rho =x}$

В общей теории относительности

В общей теории относительности приливной тензор обобщается тензором кривизны Римана . В пределе слабого поля приливной тензор задается компонентами тензора кривизны. ${\displaystyle \Phi _{ij}={R}_{i0j0}}$

Смотрите также

• Приливная сила
• Тензор напряжений

Ссылки

1. Балдауф, Тобиас; Сельяк, Урош; Дежак, Винсент; Макдональд, Патрик (13 января 2018 г.). «Доказательства квадратичного смещения приливного тензора из биспектра гало». Physical Review D. 86 ( 8): 083540. arXiv : 1201.4827 . Bibcode : 2012PhRvD..86h3540B. doi : 10.1103/PhysRevD.86.083540. S2CID  21681130.

Внешние ссылки

• Sperhake, Ulrich. "Часть II Общая теория относительности. Заметки к лекциям" (PDF) : 19. Получено 13 января 2018 г. {{cite journal}}: Цитировать журнал требует |journal=( помощь )
• Renaud, F.; Boily, CM; Naab, T.; Theis, Ch. (20 ноября 2009 г.). "Полностью компрессионные приливы при слияниях галактик". The Astrophysical Journal . 706 (1): 68. arXiv : 0910.0196 . Bibcode :2009ApJ...706...67R. doi :10.1088/0004-637X/706/1/67. S2CID  15831572.
• Дюк, Пьер-Ален; Рено, Флоран. "Гравитационный потенциал и приливной тензор". ned.ipac.caltech.edu . Caltech . Получено 13 января 2018 г. .