Правильный многогранник — это многогранник , группа симметрии которого действует транзитивно на его флагах . Правильный многогранник очень симметричен: он транзитивен по ребрам , вершинам и граням . В классическом контексте используется множество различных эквивалентных определений; Распространенным является то, что грани представляют собой конгруэнтные правильные многоугольники , которые собираются одинаковым образом вокруг каждой вершины .
Правильный многогранник идентифицируется по его символу Шлефли вида { n , m }, где n — количество сторон каждой грани, а m — количество граней, встречающихся в каждой вершине. Существует 5 конечных выпуклых правильных многогранников ( Платоновы тела ) и четыре правильных звездчатых многогранника ( многогранники Кеплера – Пуансо ), всего девять правильных многогранников. Кроме того, существует пять правильных соединений правильных многогранников.
Есть пять выпуклых правильных многогранников, известных как Платоновы тела ; четыре правильных звездчатых многогранника , многогранники Кеплера – Пуансо ; и пять правильных соединений правильных многогранников:
Свойство иметь одинаковое расположение граней вокруг каждой вершины можно заменить любым из следующих эквивалентных условий в определении:
Выпуклый правильный многогранник имеет все три связанные сферы (у других многогранников отсутствует хотя бы один вид), которые имеют общий центр:
Правильные многогранники являются наиболее симметричными из всех многогранников. Они лежат всего в трёх группах симметрии , названных в честь Платоновых тел:
Любые формы с икосаэдрической или октаэдрической симметрией будут также содержать тетраэдрическую симметрию.
Пять Платоновых тел имеют эйлерову характеристику 2. Это просто отражает то, что поверхность представляет собой топологическую 2-сферу, и это также верно, например, для любого многогранника, который имеет звездообразную форму относительно некоторой внутренней точки.
Сумма расстояний от любой точки внутри правильного многогранника до сторон не зависит от положения точки (это расширение теоремы Вивиани ). Однако обратное неверно даже для тетраэдров . [2]
В двойственной паре многогранников вершины одного многогранника соответствуют граням другого, и наоборот.
Правильные многогранники демонстрируют эту двойственность следующим образом:
Символ Шлефли двойственного числа — это просто оригинал, написанный задом наперед, например, двойственный символ {5, 3} — это {3, 5}.
Камни, имеющие форму, напоминающую группы сфер или выступов, были найдены в Шотландии , и их возраст может достигать 4000 лет. Некоторые из этих камней демонстрируют не только симметрию пяти Платоновых тел, но и некоторые отношения двойственности между ними (то есть центры граней куба образуют вершины октаэдра). Примеры этих камней выставлены в комнате Джона Эванса Музея Эшмола в Оксфордском университете . Почему были созданы эти предметы и как их создатели черпали для них вдохновение, остается загадкой. Существуют сомнения относительно математической интерпретации этих объектов, поскольку многие из них имеют неплатонические формы, и, возможно, только один из них оказался настоящим икосаэдром, в отличие от новой интерпретации двойственного икосаэдра - додекаэдра. [3]
Возможно также, что этруски опередили греков в понимании хотя бы некоторых правильных многогранников, о чем свидетельствует открытие близ Падуи (в Северной Италии ) в конце 19 века додекаэдра, сделанного из мыльного камня , и датируемого более более 2500 лет (Линдеманн, 1987).
Самые ранние известные письменные упоминания о правильных выпуклых телах возникли в классической Греции. Когда все эти твердые тела были открыты и кем неизвестно, но Теэтет ( афинянин ) был первым, кто дал математическое описание всех пяти (Ван дер Варден, 1954), (Евклид, книга XIII). HSM Coxeter (Coxeter, 1948, Раздел 1.9) приписывает Платону (400 г. до н.э.) создание их моделей и упоминает, что один из ранних пифагорейцев , Тимей из Локров , использовал все пять в соответствии между многогранниками и природой многогранников. Вселенная, как ее тогда воспринимали, — это соответствие зафиксировано в диалоге Платона «Тимей» . Ссылка Евклида на Платона привела к их общему описанию как Платоновых тел .
Греческое определение можно охарактеризовать следующим образом:
Это определение исключает, например, квадратную пирамиду (поскольку, хотя все грани правильные, квадратное основание не соответствует треугольным сторонам) или форму, образованную соединением двух тетраэдров (поскольку, хотя все грани этой треугольной бипирамиды были бы равносторонние треугольники, то есть равные и правильные, в одних вершинах 3 треугольника, в других - 4).
Эта концепция правильного многогранника оставалась неоспоримой почти 2000 лет.
Правильные звездчатые многоугольники, такие как пентаграмма (звездный пятиугольник), были известны и древним грекам – пентаграмма использовалась пифагорейцами как свой тайный знак, но они не использовали ее для построения многогранников. Лишь в начале 17 века Иоганн Кеплер понял, что пентаграммы можно использовать в качестве граней правильных звездчатых многогранников . Некоторые из этих звездчатых многогранников, возможно, были открыты другими до времен Кеплера, но Кеплер был первым, кто осознал, что их можно считать «правильными», если снять ограничение, согласно которому правильные многогранники должны быть выпуклыми. Двести лет спустя Луи Пуансо также создал фигуры из вершин звезд (обходы вокруг каждого угла), что позволило ему открыть два новых правильных звездных многогранника, а также заново открыть кеплеровский многогранник. Эти четыре являются единственными правильными звездчатыми многогранниками и стали известны как многогранники Кеплера – Пуансо . Лишь в середине XIX века, через несколько десятилетий после публикации Пуансо, Кэли дал им современные английские названия: малый звездчатый додекаэдр (Кеплера) и большой звездчатый додекаэдр , а также большой икосаэдр (Пуансо) и большой додекаэдр .
Многогранники Кеплера-Пуансо могут быть построены из платоновых тел с помощью процесса, называемого звездчатостью . Обратный процесс звездчатости называется огранкой (или огранкой). Каждая звездчатость одного многогранника двойственна или обратна некоторой грани двойственного многогранника. Правильные звездчатые многогранники также можно получить путем огранки Платоновых тел. Впервые это сделал Бертран примерно в то же время, когда Кейли дал им название.
Таким образом, к концу XIX века правильных многогранников было девять: пять выпуклых и четыре звездчатых.
Каждое из Платоновых тел встречается в природе в той или иной форме.
Тетраэдр, куб и октаэдр встречаются в виде кристаллов . Этим ни в коем случае не исчерпывается число возможных форм кристаллов (Смит, 1982, с. 212), которых насчитывается 48. Среди них нет ни правильного икосаэдра , ни правильного додекаэдра , но кристаллы могут иметь форму пиритоэдра , то есть визуально почти неотличим от правильного додекаэдра. Истинно икосаэдрические кристаллы могут быть образованы квазикристаллическими материалами , которые очень редки в природе, но могут быть получены в лаборатории.
Более недавнее открытие связано с рядом новых типов молекул углерода , известных как фуллерены (см. Curl, 1991). Хотя C 60 , наиболее легко производимый фуллерен, выглядит более или менее сферическим, некоторые из более крупных разновидностей (таких как C 240 , C 480 и C 960 ), предположительно, принимают форму слегка закругленных икосаэдров диаметром несколько нанометров.
Правильные многогранники встречаются и в биологии. Кокколитофор Braarudosphaera bigelowii имеет правильную додекаэдрическую структуру диаметром около 10 микрометров . [4] В начале 20 века Эрнст Геккель описал ряд видов радиолярий , раковины некоторых из которых имеют форму различных правильных многогранников. [5] Примеры включают Circoporus октаэдр , Circogonia икосаэдры , Lithocubus геометрический и Circorregma dodecahedra ; формы этих существ обозначены их названиями. [5] Внешние белковые оболочки многих вирусов образуют правильные многогранники. Например, ВИЧ заключен в правильный икосаэдр, как и голова типичного миовируса . [6] [7]
В древности пифагорейцы считали, что существует гармония между правильными многогранниками и орбитами планет . В 17 веке Иоганн Кеплер изучал данные о движении планет, собранные Тихо Браге , и в течение десятилетия пытался установить пифагорейский идеал, находя соответствие между размерами многогранников и размерами орбит планет. Его поиски не достигли своей первоначальной цели, но в результате этого исследования Кеплер открыл твердые тела Кеплера как правильные многогранники, осознал, что орбиты планет не являются кругами, и законы движения планет , которыми он теперь известен. Во времена Кеплера было известно только пять планет (исключая Землю), что вполне соответствует числу Платоновых тел. Работа Кеплера и открытие с тех пор Урана и Нептуна опровергли идею Пифагора.
Примерно в то же время, что и пифагорейцы, Платон описал теорию материи, в которой каждый из пяти элементов (земля, воздух, огонь, вода и дух) представляет собой крошечные копии одного из пяти обычных твердых тел. Материя была создана из смеси этих многогранников, причем каждое вещество имело в смеси разные пропорции. Две тысячи лет спустя атомная теория Дальтона показала, что эта идея верна, хотя и не связана напрямую с обычными твердыми телами.
В XX веке произошла череда обобщений идеи правильного многогранника, приведшая к появлению нескольких новых классов.
В первые десятилетия Коксетер и Петри допускали «седловидные» вершины с чередующимися гребнями и впадинами, что позволяло им строить три бесконечные складчатые поверхности, которые они называли правильными перекошенными многогранниками . [8] Коксетер предложил модифицированный символ Шлефли {l,m|n} для этих фигур, где {l,m} подразумевает вершинную фигуру с m правильными l -угольниками вокруг вершины. n определяет n - угольных отверстий . Их вершинные фигуры представляют собой правильные косые многоугольники , вершины которых располагаются зигзагами между двумя плоскостями.
Конечные правильные косые многогранники существуют в 4-мерном пространстве. Эти конечные правильные косые многогранники в 4-пространстве можно рассматривать как подмножество граней однородных 4-многогранников . У них есть плоские грани правильных многоугольников , но фигуры вершин правильных косых многоугольников .
Два двойственных решения связаны с 5-ячейкой , два двойственных решения связаны с 24-ячейкой , а бесконечное множество самодвойственных дуопризм порождает правильные косые многогранники как {4, 4 | н}. В бесконечном пределе они приближаются к дуоцилиндру и выглядят как тор в своей стереографической проекции в трехмерное пространство.
Исследования неевклидовых ( гиперболических и эллиптических ) и других пространств, таких как комплексные пространства , открытые за предшествующее столетие, привели к открытию новых многогранников, таких как комплексные многогранники , которые могли принимать правильную геометрическую форму только в этих пространствах.
В гиперболическом пространстве H 3 паракомпактные правильные соты имеют евклидовы фасеты мозаики и вершинные фигуры , которые действуют как конечные многогранники. Такие плитки имеют угловой дефект , который можно закрыть, согнув в ту или иную сторону. Если мозаика правильно масштабирована, она закроется как асимптотический предел в единственной идеальной точке . Эти евклидовы мозаики вписаны в орисферу так же, как многогранники вписаны в сферу (которая не содержит идеальных точек). Последовательность расширяется, когда гиперболические мозаики сами используются в качестве граней некомпактных гиперболических мозаик, как в семиугольных сотах мозаики {7,3,3}; они вписаны в эквидистантную поверхность (2- гиперцикл ), имеющую две идеальные точки.
Другая группа правильных многогранников представляет собой мозаику вещественной проективной плоскости . К ним относятся полукуб , полуоктаэдр , полудодекаэдр и полуикосаэдр . Они (глобально) являются проективными многогранниками и являются проективными аналогами Платоновых тел . У тетраэдра нет проективного аналога, поскольку у него нет пар параллельных граней, которые можно идентифицировать, как у других четырех Платоновых тел.
Они возникают как двойственные пары, так же, как и исходные Платоновы тела. Все их эйлеровы характеристики равны 1.
К настоящему времени многогранники были твердо поняты как трехмерные примеры более общих многогранников в любом количестве измерений. Во второй половине века наблюдалось развитие абстрактных алгебраических идей, таких как многогранная комбинаторика , кульминацией которых стала идея абстрактного многогранника как частично упорядоченного набора (ЧУМ) элементов. Элементами абстрактного многогранника являются его тело (максимальный элемент), его грани, ребра, вершины и нулевой многогранник или пустое множество. Эти абстрактные элементы можно отобразить в обычном пространстве или реализовать в виде геометрических фигур. Некоторые абстрактные многогранники имеют правильно сформированную или точную реализацию, другие — нет. Флаг — это связный набор элементов каждого измерения — для многогранника это тело, грань, ребро грани, вершина ребра и нулевой многогранник . Абстрактный многогранник называется правильным , если его комбинаторные симметрии транзитивны относительно его флагов, то есть любой флаг может быть отображен на любой другой при условии симметрии многогранника. Абстрактные правильные многогранники остаются активной областью исследований.
Пять таких правильных абстрактных многогранников, которые невозможно реализовать достоверно, были идентифицированы Х. С. М. Кокстером в его книге «Правильные многогранники» (1977) и снова Дж. М. Уиллсом в его статье «Комбинаторно правильные многогранники индекса 2» (1987). Все пять имеют симметрию C 2 ×S 5 , но могут быть реализованы только с половинной симметрией, то есть симметрией C 2 ×A 5 или икосаэдрической симметрией. [9] [10] [11] Все они топологически эквивалентны тороидам . Их построение путем расположения n граней вокруг каждой вершины можно повторять бесконечно как мозаику гиперболической плоскости . На диаграммах ниже изображения гиперболических мозаик имеют цвета, соответствующие цветам изображений многогранников.
Двойственное Петри правильному многограннику — это правильное отображение , вершины и ребра которого соответствуют вершинам и ребрам исходного многогранника, а грани — набор косых многоугольников Петри . [12]
Обычные пять правильных многогранников также можно представить в виде сферических замощений (замощений сферы ) :
Для правильного многогранника, символ Шлефли которого равен { m , n }, количество многоугольных граней можно найти по формуле:
Платоновые тела , известные в древности, являются единственными целочисленными решениями для m ≥ 3 и n ≥ 3. Ограничение m ≥ 3 требует, чтобы многоугольные грани имели как минимум три стороны.
При рассмотрении многогранников как сферической мозаики это ограничение можно ослабить, поскольку дигоны (2-угольники) можно представить как сферические лунки, имеющие ненулевую площадь . Разрешение m = 2 допускает новый бесконечный класс правильных многогранников, которые являются осоэдрами . На сферической поверхности правильный многогранник {2, n } изображается как n примыкающих друг к другу лунок с внутренними углами 2 π / n . Все эти луны имеют две общие вершины. [13]
Правильный диэдр , { n , 2} [13] (2-эдр) в трехмерном евклидовом пространстве можно рассматривать как вырожденную призму , состоящую из двух (плоских) n -сторонних многоугольников , соединенных «спина к спине», так что результирующий объект не имеет глубины, аналогично тому, как можно построить двуугольник из двух отрезков . Однако, как сферическая мозаика , диэдр может существовать в виде невырожденной формы с двумя n -сторонними гранями, покрывающими сферу, причем каждая грань представляет собой полусферу , а вершины вокруг большого круга . Оно правильное , если вершины расположены на одинаковом расстоянии друг от друга.
Осоэдр {2, n } двойствен диэдру { n ,2}. Обратите внимание, что при n = 2 мы получаем многогранник {2,2}, который является одновременно осоэдром и диэдром. Все они имеют эйлерову характеристику 2.
