В топологии и смежных областях математики топологическое пространство X называется регулярным пространством , если каждое замкнутое подмножество C из X и точка p, не содержащаяся в C, имеют неперекрывающиеся открытые окрестности . [1] Таким образом, p и C могут быть разделены окрестностями. Это условие известно как аксиома T 3. Термин « пространство T 3 » обычно означает «регулярное хаусдорфово пространство ». Эти условия являются примерами аксиом разделения .
Топологическое пространство X является регулярным пространством , если для любого замкнутого множества F и любой точки x , которая не принадлежит F , существуют окрестность U точки x и окрестность V точки F , которые не пересекаются . Коротко говоря, должно быть возможно разделить x и F с помощью непересекающихся окрестностей.
АT 3 пробел илирегулярное хаусдорфово пространство — это топологическое пространство, которое является как регулярным, так ихаусдорфовым пространством. (Хаусдорфово пространство или пространство T2— это топологическое пространство, в котором любые две различные точки разделены окрестностями.) Оказывается, что пространство является T3тогда и только тогда, когда оно является как регулярным, так и T0. (AT0илипространство Колмогорова— это топологическое пространство, в котором любые две различные точкитопологически различимы, т. е. для каждой пары различных точек по крайней мере одна из них имеетоткрытую окрестность,не содержащую другую.) Действительно, если пространство хаусдорфово, то оно является T0, и каждое регулярное пространство T0является хаусдорфовым: если даны две различные точки, по крайней мере одна из них не попадает в замыкание другой, поэтому (в силу регулярности) существуют непересекающиеся окрестности, отделяющие одну точку от (замыкания) другой.
Хотя определения, представленные здесь для "регулярного" и "T 3 ", не являются редкостью, в литературе существуют значительные различия: некоторые авторы меняют определения "регулярного" и "T 3 ", как они используются здесь, или используют оба термина взаимозаменяемо. В этой статье термин "регулярный" используется свободно, но обычно будет говориться "регулярный Хаусдорф", что недвусмысленно, вместо менее точного "T 3 ". Для получения дополнительной информации по этому вопросу см. История аксиом разделения .
Алокально регулярное пространство — это топологическое пространство, где каждая точка имеет открытую окрестность, которая является регулярной. Каждое регулярное пространство является локально регулярным, но обратное неверно. Классическим примером локально регулярного пространства, которое не является регулярным, являетсялиния с глазами-пуговицами.
Регулярное пространство обязательно является также предрегулярным , т. е. любые две топологически различимые точки могут быть разделены окрестностями. Поскольку хаусдорфово пространство совпадает с предрегулярным пространством T 0 , регулярное пространство, которое также является T 0 , должно быть хаусдорфовым (и, следовательно, T 3 ). Фактически, регулярное хаусдорфово пространство удовлетворяет немного более сильному условию T 2½ . (Однако, такое пространство не обязательно должно быть полностью хаусдорфовым .) Таким образом, определение T 3 может ссылаться на T 0 , T 1 или T 2½ вместо T 2 (хаусдорфовость); все они эквивалентны в контексте регулярных пространств.
Говоря более теоретически, условия регулярности и T 3 -ности связаны с помощью отношений Колмогорова . Пространство является регулярным тогда и только тогда, когда его отношение Колмогорова равно T 3 ; и, как уже упоминалось, пространство является T 3 тогда и только тогда, когда оно является как регулярным, так и T 0 . Таким образом, регулярное пространство, встречающееся на практике, обычно можно считать T 3 , заменив пространство его отношением Колмогорова.
Существует много результатов для топологических пространств, которые справедливы как для регулярных, так и для хаусдорфовых пространств. В большинстве случаев эти результаты справедливы для всех предрегулярных пространств; они были перечислены для регулярных и хаусдорфовых пространств отдельно, поскольку идея предрегулярных пространств появилась позже. С другой стороны, те результаты, которые действительно касаются регулярности, как правило, не применимы к нерегулярным хаусдорфовым пространствам.
Существует много ситуаций, когда другое условие топологических пространств (например, нормальность , псевдонормальность , паракомпактность или локальная компактность ) будет подразумевать регулярность, если выполняется некоторая более слабая аксиома разделения, например, предрегулярность. [2] Такие условия часто бывают в двух версиях: регулярная версия и версия Хаусдорфа. Хотя Хаусдорфовы пространства, как правило, не являются регулярными, Хаусдорфово пространство, которое также (скажем) локально компактно, будет регулярным, потому что любое Хаусдорфово пространство является предрегулярным. Таким образом, с определенной точки зрения, регулярность на самом деле не является здесь проблемой, и мы могли бы наложить более слабое условие вместо этого, чтобы получить тот же результат. Однако определения обычно все еще формулируются в терминах регулярности, поскольку это условие более известно, чем любое более слабое.
Большинство топологических пространств, изучаемых в математическом анализе, являются регулярными; на самом деле, они обычно полностью регулярны , что является более сильным условием. Регулярные пространства также следует противопоставлять нормальным пространствам .
Нульмерное пространство относительно малой индуктивной размерности имеет базу, состоящую из открыто-замкнутых множеств . Каждое такое пространство является регулярным.
Как описано выше, любое полностью регулярное пространство является регулярным, и любое пространство T 0 , которое не является хаусдорфовым (и, следовательно, не является предрегулярным), не может быть регулярным. Большинство примеров регулярных и нерегулярных пространств, изучаемых в математике, можно найти в этих двух статьях. С другой стороны, пространства, которые являются регулярными, но не полностью регулярными, или предрегулярными, но не регулярными, обычно строятся только для того, чтобы предоставить контрпримеры к гипотезам, показывая границы возможных теорем . Конечно, можно легко найти регулярные пространства, которые не являются T 0 , и, следовательно, не являются хаусдорфовыми, такие как индискретное пространство , но эти примеры дают больше информации об аксиоме T 0 , чем о регулярности. Примером регулярного пространства, которое не является полностью регулярным, является штопор Тихонова.
Большинство интересных пространств в математике, которые являются регулярными, также удовлетворяют некоторому более сильному условию. Таким образом, регулярные пространства обычно изучаются для нахождения свойств и теорем, таких как приведенные ниже, которые фактически применяются к полностью регулярным пространствам, как правило, в анализе.
Существуют хаусдорфовы пространства, которые не являются регулярными. Примером является K-топология на множестве действительных чисел. В более общем смысле, если — фиксированное незамкнутое подмножество с пустой внутренностью относительно обычной евклидовой топологии, можно построить более тонкую топологию на , взяв за основу совокупность всех множеств и для открытого в обычной топологии. Эта топология будет хаусдорфовой, но не регулярной.
Предположим, что X — регулярное пространство. Тогда для любой точки x и ее окрестности G существует замкнутая окрестность E точки x, которая является подмножеством G. В более сложных терминах замкнутые окрестности x образуют локальную базу в x . Фактически , это свойство характеризует регулярные пространства ; если замкнутые окрестности каждой точки топологического пространства образуют локальную базу в этой точке, то пространство должно быть регулярным.
Рассматривая внутренности этих замкнутых окрестностей, мы видим, что регулярные открытые множества образуют базу для открытых множеств регулярного пространства X. Это свойство на самом деле слабее регулярности; топологическое пространство, регулярные открытые множества которого образуют базу, является полурегулярным .
