В топологии и смежных разделах математики топологическое пространство X называется пространством T 0 или пространством Колмогорова (названным в честь Андрея Колмогорова ), если для каждой пары различных точек X хотя бы одна из них имеет окрестность , не содержащую другую. [1] В пространстве T 0 все точки топологически различимы .
Это условие, называемое условием T 0 , является самой слабой из аксиом разделения . Почти все топологические пространства, обычно изучаемые в математике, являются пространствами T 0 . В частности, все пространства T 1 , т. е. все пространства, в которых для каждой пары различных точек каждая имеет окрестность, не содержащую другую, являются пространствами T 0 . Это включает в себя все пространства T 2 (или Хаусдорфа) , т. е. все топологические пространства, в которых различные точки имеют непересекающиеся окрестности. В другом направлении, каждое трезвомыслящее пространство (которое может не быть T 1 ) является T 0 ; это включает в себя базовое топологическое пространство любой схемы . Для любого топологического пространства можно построить пространство T 0 , определив топологически неразличимые точки.
Пространства T 0 , которые не являются пространствами T 1 , являются именно теми пространствами , для которых предпорядок специализации является нетривиальным частичным порядком . Такие пространства естественным образом возникают в информатике , в частности в денотационном семантике .
Пространство T 0 — это топологическое пространство, в котором каждая пара различных точек топологически различима . То есть для любых двух различных точек x и y существует открытое множество , которое содержит одну из этих точек и не содержит другую. Точнее, топологическое пространство X является колмогоровским или тогда и только тогда, когда: [1]
Обратите внимание, что топологически различимые точки автоматически различимы. С другой стороны, если одноэлементные множества { x } и { y } разделены , то точки x и y должны быть топологически различимы. То есть,
Свойство топологически различимого в общем случае сильнее, чем свойство быть отдельным, но слабее, чем свойство быть разделенным. В пространстве T 0 вторая стрелка выше также меняет направление; точки различимы тогда и только тогда, когда они различимы. Вот как аксиома T 0 вписывается в остальные аксиомы разделения .
Почти все топологические пространства, обычно изучаемые в математике, являются T 0 . В частности, все пространства Хаусдорфа (T 2 ) , пространства T 1 и пространства Sober являются T 0 .
Обычно изучаемые топологические пространства — это все T 0 . Действительно, когда математики во многих областях, особенно в анализе , естественным образом сталкиваются с не-T 0 пространствами, они обычно заменяют их на T 0 пространства, как будет описано ниже. Чтобы мотивировать задействованные идеи, рассмотрим хорошо известный пример. Пространство L 2 ( R ) должно быть пространством всех измеримых функций f от действительной прямой R до комплексной плоскости C таких, что интеграл Лебега от | f ( x )| 2 по всей действительной прямой конечен . Это пространство должно стать нормированным векторным пространством , определив норму || f || как квадратный корень этого интеграла. Проблема в том, что это на самом деле не норма, а только полунорма , потому что существуют функции, отличные от нулевой функции, (полу)нормы которых равны нулю . Стандартное решение — определить L 2 ( R ) как набор классов эквивалентности функций вместо набора функций напрямую. Это создает фактор-пространство исходного полунормированного векторного пространства, и это фактор-пространство является нормированным векторным пространством. Оно наследует несколько удобных свойств полунормированного пространства; см. ниже.
В общем случае, когда имеешь дело с фиксированной топологией T на множестве X , полезно, если эта топология — T 0 . С другой стороны, когда X фиксировано, но T может изменяться в определенных границах, принудительное приведение T к T 0 может быть неудобным, поскольку топологии, отличные от T 0 , часто являются важными особыми случаями. Таким образом, может быть важно понимать как версии T 0 , так и версии, отличные от T 0 , различных условий, которые могут быть наложены на топологическое пространство.
Топологическая неразличимость точек является отношением эквивалентности . Независимо от того, каким топологическим пространством X может быть изначально, фактор-пространство по этому отношению эквивалентности всегда есть T 0 . Это фактор-пространство называется фактором Колмогорова X , который мы будем обозначать KQ( X ). Конечно, если X изначально было T 0 , то KQ( X ) и X естественно гомеоморфны . Категорически пространства Колмогорова являются рефлективной подкатегорией топологических пространств , а фактор Колмогорова является рефлектором.
Топологические пространства X и Y эквивалентны по Колмогорову , когда их колмогоровские факторы гомеоморфны. Многие свойства топологических пространств сохраняются этой эквивалентностью; то есть, если X и Y эквивалентны по Колмогорову, то X обладает таким свойством тогда и только тогда, когда Y им обладает. С другой стороны, большинство других свойств топологических пространств подразумевают T 0 -ность; то есть, если X обладает таким свойством, то X должен быть T 0 . Только несколько свойств, таких как быть недискретным пространством , являются исключениями из этого правила. Еще лучше, многие структуры, определенные на топологических пространствах, могут быть переданы между X и KQ( X ). Результатом является то, что если у вас есть топологическое пространство, не являющееся T 0 , с определенной структурой или свойством, то вы обычно можете образовать пространство T 0 с теми же структурами и свойствами, взяв колмогоровский фактор.
Пример L 2 ( R ) демонстрирует эти особенности. С точки зрения топологии полунормированное векторное пространство, с которого мы начали, имеет много дополнительной структуры; например, это векторное пространство , и оно имеет полунорму, и они определяют псевдометрику и равномерную структуру , которые совместимы с топологией. Кроме того, есть несколько свойств этих структур; например, полунорма удовлетворяет тождеству параллелограмма , а равномерная структура является полной . Пространство не является T 0 , поскольку любые две функции в L 2 ( R ), которые равны почти всюду, неразличимы с этой топологией. Когда мы формируем частное Колмогорова, фактическое L 2 ( R ), эти структуры и свойства сохраняются. Таким образом, L 2 ( R ) также является полным полунормированным векторным пространством, удовлетворяющим тождеству параллелограмма. Но на самом деле мы получаем немного больше, поскольку пространство теперь является T 0 . Полунорма является нормой тогда и только тогда, когда базовая топология — T 0 , поэтому L 2 ( R ) на самом деле является полным нормированным векторным пространством, удовлетворяющим тождеству параллелограмма — иначе известным как гильбертово пространство . И именно гильбертово пространство математики (и физики в квантовой механике ) обычно хотят изучать. Обратите внимание, что обозначение L 2 ( R ) обычно обозначает частное Колмогорова, множество классов эквивалентности квадратично интегрируемых функций, которые различаются на множествах меры нуль, а не просто векторное пространство квадратично интегрируемых функций, которое предполагает обозначение.
Хотя исторически нормы были определены первыми, люди также придумали определение полунормы, которая является своего рода не-T 0 версией нормы. В общем случае можно определить не-T 0 версии как свойств, так и структур топологических пространств. Сначала рассмотрим свойство топологических пространств, например, быть Хаусдорфовым . Затем можно определить другое свойство топологических пространств, определив пространство X так, чтобы оно удовлетворяло свойству тогда и только тогда, когда частное Колмогорова KQ( X ) является Хаусдорфовым. Это разумное, хотя и менее известное свойство; в этом случае такое пространство X называется предрегулярным . (Оказывается, существует даже более прямое определение предрегулярности). Теперь рассмотрим структуру, которая может быть размещена на топологических пространствах, например, метрику . Мы можем определить новую структуру на топологических пространствах, позволив примеру структуры на X быть просто метрикой на KQ( X ). Это разумная структура на X ; это псевдометрика . (Опять же, существует более прямое определение псевдометрики.)
Таким образом, существует естественный способ удалить T 0 -ность из требований к свойству или структуре. Обычно проще изучать пространства, которые являются T 0 , но также может быть проще разрешить структуры, которые не являются T 0 , чтобы получить более полную картину. Требование T 0 может быть добавлено или удалено произвольно с использованием концепции частного Колмогорова.
