В математике представление — это очень общее отношение, которое выражает сходства (или эквивалентности) между математическими объектами или структурами . Грубо говоря, можно сказать, что коллекция Y математических объектов представляет другую коллекцию X объектов, при условии, что свойства и отношения, существующие среди представляющих объектов y i , соответствуют, некоторым непротиворечивым образом, свойствам и отношениям, существующим среди соответствующих представленных объектов x i . Более конкретно, если задано множество Π свойств и отношений , Π -представление некоторой структуры X — это структура Y , которая является образом X при гомоморфизме , сохраняющем Π . Метка представления иногда также применяется к самому гомоморфизму (например, гомоморфизм групп в теории групп ). [1] [2]
Возможно, наиболее хорошо разработанным примером этого общего понятия является подраздел абстрактной алгебры, называемый теорией представлений , который изучает представление элементов алгебраических структур с помощью линейных преобразований векторных пространств . [2]
Хотя термин «теория представлений» хорошо известен в алгебраическом смысле, обсуждавшемся выше, в математике существует множество других применений термина «представление» .
Активной областью теории графов является исследование изоморфизмов между графами и другими структурами. Ключевой класс таких проблем вытекает из того факта, что, подобно смежности в неориентированных графах , пересечение множеств (или, точнее, неразъединение ) является симметричным отношением . Это приводит к изучению графов пересечений для бесчисленных семейств множеств. [3] Один из основополагающих результатов здесь, полученный Полом Эрдёшем и его коллегами, заключается в том, что каждый граф с n вершинами может быть представлен в терминах пересечения между подмножествами множества размером не более n 2 /4. [4]
Представление графа такими алгебраическими структурами, как его матрица смежности и матрица Лапласа, дает начало области спектральной теории графов . [5]
Двойственным к наблюдению выше, что каждый граф является графом пересечений, является тот факт, что каждое частично упорядоченное множество (также известное как частично упорядоченное множество) изоморфно набору множеств, упорядоченных отношением включения (или содержания) ⊆. Некоторые частично упорядоченные множества, которые возникают как порядки включения для естественных классов объектов, включают булевы решетки и порядки размерности n . [6]
Многие частичные порядки возникают из (и, таким образом, могут быть представлены) наборов геометрических объектов. Среди них есть порядки n -шаров . Порядки 1-шара являются порядками интервального включения, а порядки 2-шара являются так называемыми порядками окружности — частично упорядоченными множествами, представимыми в терминах включения среди дисков на плоскости. Особенно хорошим результатом в этой области является характеристика планарных графов , как тех графов, чьи отношения инцидентности вершины-ребра являются порядками окружности. [7]
Существуют также геометрические представления, которые не основаны на включении. Действительно, одним из наиболее изученных классов среди них являются интервальные порядки , [8], которые представляют частичный порядок в терминах того, что можно было бы назвать непересекающимся предшествованием интервалов на действительной прямой : каждый элемент x частично упорядоченного множества представлен интервалом [ x 1 , x 2 ], таким образом, что для любых y и z в частично упорядоченном множестве y находится ниже z тогда и только тогда, когда y 2 < z 1 .
В логике представимость алгебр как реляционных структур часто используется для доказательства эквивалентности алгебраической и реляционной семантики . Примерами этого являются представление Стоуном булевых алгебр как полей множеств , [9] представление Эсакией алгебр Гейтинга как алгебр Гейтинга множеств, [10] и изучение представимых алгебр отношений и представимых цилиндрических алгебр . [11]
При определенных обстоятельствах одна функция f : X → Y одновременно является изоморфизмом нескольких математических структур на X . Поскольку каждая из этих структур может быть интуитивно понята как значение образа Y (одна из вещей, которую Y пытается нам сказать), это явление называется полисемией — термином, заимствованным из лингвистики . Вот некоторые примеры полисемии: