Поле множеств

Алгебраическая концепция в теории меры, также называемая алгеброй множеств

В математике поле множеств — это математическая структура, состоящая из пары, состоящей из множества и семейства подмножеств , называемая алгеброй над , которая содержит пустое множество в качестве элемента и замкнута относительно операций взятия дополнений в конечных объединениях и конечных пересечениях . ${\displaystyle (X,{\mathcal {F}})}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X,}$

Поля множеств не следует путать с полями в теории колец или с полями в физике . Аналогично термин «алгебра над » используется в смысле булевой алгебры и не следует путать с алгебрами над полями или кольцами в теории колец. ${\displaystyle X}$

Поля множеств играют существенную роль в теории представлений булевых алгебр. Каждая булева алгебра может быть представлена ​​как поле множеств.

Определения

Поле множеств — это пара, состоящая из множества и семейства подмножеств , называемая алгеброй над , которая обладает следующими свойствами: ${\displaystyle (X,{\mathcal {F}})}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle X,}$

1. Закрыто в рамках дополнения в ${\displaystyle X}$ : $${\displaystyle X\setminus F\in {\mathcal {F}}{\text{ for all }}F\in {\mathcal {F}}.}$$
2. Содержит пустой набор (или содержит ) ${\displaystyle X}$ как элемент: ${\displaystyle \varnothing \in {\mathcal {F}}.}$
   • Если предположить, что (1) выполняется, то это условие (2) эквивалентно: ${\displaystyle X\in {\mathcal {F}}.}$
3. Имеют место любые/все из следующих эквивалентных ^{[примечание 1]} условий:
   1. Закрыто в рамках бинарных союзов : $${\displaystyle F\cup G\in {\mathcal {F}}{\text{ for all }}F,G\in {\mathcal {F}}.}$$
   2. Закрыто относительно бинарных пересечений : $${\displaystyle F\cap G\in {\mathcal {F}}{\text{ for all }}F,G\in {\mathcal {F}}.}$$
   3. Замкнуто относительно конечных объединений : $${\displaystyle F_{1}\cup \cdots \cup F_{n}\in {\mathcal {F}}{\text{ for all integers }}n\geq 1{\text{ and all }}F_{1},\ldots ,F_{n}\in {\mathcal {F}}.}$$
   4. Замкнуто относительно конечных пересечений : $${\displaystyle F_{1}\cap \cdots \cap F_{n}\in {\mathcal {F}}{\text{ for all integers }}n\geq 1{\text{ and all }}F_{1},\ldots ,F_{n}\in {\mathcal {F}}.}$$

Другими словами, образует подалгебру множества мощности Булевой алгебры ( с тем же элементом тождества ). Многие авторы называют себя полем множеств. Элементы из называются точками , а элементы из называются комплексами и считаются допустимыми множествами ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X\in {\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle X.}$

Поле множеств называется σ-полем множеств , а алгебра называется σ-алгеброй, если выполняется следующее дополнительное условие (4): ${\displaystyle (X,{\mathcal {F}})}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$

4. Выполняются любые/оба из следующих эквивалентных условий:
   1. Закрыто под счетными союзами : для всех $${\displaystyle \bigcup _{i=1}^{\infty }F_{i}:=F_{1}\cup F_{2}\cup \cdots \in {\mathcal {F}}}$$ ${\displaystyle F_{1},F_{2},\ldots \in {\mathcal {F}}.}$
   2. Замкнуто относительно счетных пересечений : для всех $${\displaystyle \bigcap _{i=1}^{\infty }F_{i}:=F_{1}\cap F_{2}\cap \cdots \in {\mathcal {F}}}$$ ${\displaystyle F_{1},F_{2},\ldots \in {\mathcal {F}}.}$

Поля множеств в теории представлений булевых алгебр

Каменное изображение

Для произвольного множества его множество мощности (или, несколько педантично, пара этого множества и его множества мощности) является полем множеств. Если является конечным (а именно, -элементом), то является конечным (а именно, -элементом). Похоже, что каждое конечное поле множеств (то есть с конечным, в то время как может быть бесконечным) допускает представление вида с конечным ; это означает функцию , которая устанавливает взаимно-однозначное соответствие между и через обратный образ : где и (то есть, ). Одно примечательное следствие: число комплексов, если конечно, всегда имеет вид ${\displaystyle Y,}$ ${\displaystyle 2^{Y}}$ ${\displaystyle (Y,2^{Y})}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle 2^{Y}}$ ${\displaystyle 2^{n}}$ ${\displaystyle (X,{\mathcal {F}})}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle (Y,2^{Y})}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle f:X\to Y}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle 2^{Y}}$ ${\displaystyle S=f^{-1}[B]=\{x\in X\mid f(x)\in B\}}$ ${\displaystyle S\in {\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle B\in 2^{Y}}$ ${\displaystyle B\subset Y}$ ${\displaystyle 2^{n}.}$

Для этого выбирается множество всех атомов данного поля множеств, и определяется с помощью всякий раз, когда для точки и комплекса , являющегося атомом; последнее означает, что непустое подмножество, отличное от , не может быть комплексом. ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f(x)=A}$ ${\displaystyle x\in A}$ ${\displaystyle x\in X}$ ${\displaystyle A\in {\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle A}$

Другими словами: атомы являются разбиением ; — соответствующее фактор-множество ; и — соответствующая каноническая сюръекция. ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle f}$

Аналогично, каждая конечная булева алгебра может быть представлена ​​как множество степеней — множество степеней ее множества атомов ; каждый элемент булевой алгебры соответствует множеству атомов под ним (соединение которых является элементом). Это представление множества степеней может быть построено более общо для любой полной атомной булевой алгебры.

В случае булевых алгебр, которые не являются полными и атомарными, мы все еще можем обобщить представление множества мощности, рассматривая поля множеств вместо целых множеств мощности. Для этого мы сначала замечаем, что атомы конечной булевой алгебры соответствуют ее ультрафильтрам и что атом находится ниже элемента конечной булевой алгебры тогда и только тогда, когда этот элемент содержится в ультрафильтре, соответствующем атому. Это приводит нас к построению представления булевой алгебры, взяв ее набор ультрафильтров и образовав комплексы путем связывания с каждым элементом булевой алгебры набора ультрафильтров, содержащих этот элемент. Эта конструкция действительно создает представление булевой алгебры как поля множеств и известна как представление Стоуна . Она является основой теоремы Стоуна о представлении для булевых алгебр и примером процедуры завершения в теории порядка, основанной на идеалах или фильтрах , подобной сечениям Дедекинда .

В качестве альтернативы можно рассмотреть множество гомоморфизмов на двухэлементной булевой алгебре и образовать комплексы, связывая каждый элемент булевой алгебры с множеством таких гомоморфизмов, которые отображают его на верхний элемент. (Этот подход эквивалентен, поскольку ультрафильтры булевой алгебры являются в точности прообразами верхних элементов при этих гомоморфизмах.) При таком подходе можно увидеть, что представление Стоуна также можно рассматривать как обобщение представления конечных булевых алгебр с помощью таблиц истинности .

Сепаративные и компактные поля множеств: к двойственности Стоуна

• Поле множеств называется разделительным (или дифференцированным ) тогда и только тогда, когда для каждой пары различных точек существует комплекс, содержащий одну из них и не содержащий другую.
• Поле множеств называется компактным тогда и только тогда, когда для каждого собственного фильтра пересечение всех комплексов, содержащихся в фильтре, непусто. ${\displaystyle X}$

Эти определения возникают из рассмотрения топологии, порожденной комплексами поля множеств. (Это всего лишь одна из примечательных топологий на данном множестве точек; часто бывает, что задана другая топология с совершенно другими свойствами, в частности, не нульмерная). При заданном поле множеств комплексы образуют базу для топологии. Обозначим через соответствующее топологическое пространство, где — топология, образованная путем взятия произвольных объединений комплексов. Тогда ${\displaystyle \mathbf {X} =(X,{\mathcal {F}})}$ ${\displaystyle T(\mathbf {X} )}$ ${\displaystyle (X,{\mathcal {T}})}$ ${\displaystyle {\mathcal {T}}}$

• ${\displaystyle T(\mathbf {X} )}$всегда является нульмерным пространством .
• ${\displaystyle T(\mathbf {X} )}$является хаусдорфовым пространством тогда и только тогда, когда является сепаративным. ${\displaystyle \mathbf {X} }$
• ${\displaystyle T(\mathbf {X} )}$является компактным пространством с компактными открытыми множествами тогда и только тогда, когда является компактным. ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle \mathbf {X} }$
• ${\displaystyle T(\mathbf {X} )}$является булевым пространством с открыто-замкнутыми множествами тогда и только тогда, когда оно является одновременно сепаративным и компактным (в этом случае оно описывается как дескриптивное ) ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle \mathbf {X} }$

Представление Стоуна булевой алгебры всегда является сепаративным и компактным; соответствующее булево пространство известно как пространство Стоуна булевой алгебры. Замкнутые множества пространства Стоуна тогда являются в точности комплексами представления Стоуна. Область математики, известная как двойственность Стоуна , основана на том факте, что представление Стоуна булевой алгебры может быть восстановлено исключительно из соответствующего пространства Стоуна, откуда возникает двойственность между булевыми алгебрами и булевыми пространствами.

Поля множеств с дополнительной структурой

Сигма-алгебры и пространства мер

Если алгебра над множеством замкнута относительно счетных объединений (следовательно, и относительно счетных пересечений ), она называется сигма-алгеброй , а соответствующее поле множеств называется измеримым пространством . Комплексы измеримого пространства называются измеримыми множествами . Теорема Лумиса - Сикорского обеспечивает двойственность типа Стоуна между счетно полными булевыми алгебрами (которые можно назвать абстрактными сигма-алгебрами ) и измеримыми пространствами.

Мерное пространство — это тройка, где — измеримое пространство, а — мера , определенная на нем. Если — это фактически вероятностная мера, мы говорим о вероятностном пространстве и называем его базовое измеримое пространство пространством выборки . Точки пространства выборки называются точками выборки и представляют потенциальные результаты, в то время как измеримые множества (комплексы) называются событиями и представляют свойства результатов, для которых мы хотим назначить вероятности. (Многие используют термин пространство выборки просто для базового набора пространства вероятности, особенно в случае, когда каждое подмножество является событием.) Пространства мер и пространства вероятностей играют основополагающую роль в теории меры и теории вероятностей соответственно. ${\displaystyle (X,{\mathcal {F}},\mu )}$ ${\displaystyle (X,{\mathcal {F}})}$ ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle \mu }$

В приложениях к физике мы часто имеем дело с пространствами мер и вероятностными пространствами, полученными из богатых математических структур, таких как пространства скалярных произведений или топологические группы , которые уже имеют связанную с ними топологию — ее не следует путать с топологией, генерируемой путем взятия произвольных объединений комплексов.

Топологические поля множеств

Топологическое поле множеств — это тройка , где — топологическое пространство , а — поле множеств, замкнутое относительно оператора замыкания или, что эквивалентно, относительно внутреннего оператора, т.е. замыкание и внутреннее пространство каждого комплекса также является комплексом. Другими словами, образует подалгебру внутренней алгебры множества мощности на ${\displaystyle (X,{\mathcal {T}},{\mathcal {F}})}$ ${\displaystyle (X,{\mathcal {T}})}$ ${\displaystyle (X,{\mathcal {F}})}$ ${\displaystyle {\mathcal {T}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle (X,{\mathcal {T}}).}$

Топологические поля множеств играют фундаментальную роль в теории представлений внутренних алгебр и алгебр Гейтинга . Эти два класса алгебраических структур обеспечивают алгебраическую семантику для модальной логики S4 (формальная математическая абстракция эпистемической логики ) и интуиционистской логики соответственно. Топологические поля множеств, представляющие эти алгебраические структуры, обеспечивают связанную топологическую семантику для этих логик.

Каждая внутренняя алгебра может быть представлена ​​как топологическое поле множеств с базовой булевой алгеброй внутренней алгебры, соответствующей комплексам топологического поля множеств, и внутренними и замыкающими операторами внутренней алгебры, соответствующими таковым топологии. Каждая гейтинговская алгебра может быть представлена ​​топологическим полем множеств с базовой решеткой гейтинговской алгебры, соответствующей решетке комплексов топологического поля множеств, которые открыты в топологии. Более того, топологическое поле множеств, представляющее гейтинговскую алгебру, может быть выбрано так, чтобы открытые комплексы порождали все комплексы как булеву алгебру. Эти связанные представления предоставляют хорошо определенный математический аппарат для изучения взаимосвязи между модальностями истинности (возможно истинный против обязательно истинный, изучаемый в модальной логике) и понятиями доказуемости и опровержимости (изучаемыми в интуиционистской логике) и, таким образом, глубоко связаны с теорией модальных компаньонов промежуточных логик .

При наличии топологического пространства открыто-замкнутые множества тривиально образуют топологическое поле множеств, поскольку каждое открыто-замкнутое множество является своей собственной внутренностью и замыканием. Стоуново представление булевой алгебры можно рассматривать как такое топологическое поле множеств, однако в общем случае топология топологического поля множеств может отличаться от топологии, порожденной взятием произвольных объединений комплексов, и в общем случае комплексы топологического поля множеств не обязаны быть открытыми или замкнутыми в топологии.

Алгебраические поля множеств и поля Стоуна

Топологическое поле множеств называется алгебраическим тогда и только тогда, когда существует база его топологии, состоящая из комплексов.

Если топологическое поле множеств является одновременно компактным и алгебраическим, то его топология компактна, а его компактные открытые множества — это в точности открытые комплексы. Более того, открытые комплексы образуют базу для топологии.

Топологические поля множеств, которые являются сепаративными, компактными и алгебраическими, называются полями Стоуна и обеспечивают обобщение представления Стоуна булевых алгебр. Для данной внутренней алгебры мы можем сформировать представление Стоуна ее базовой булевой алгебры, а затем расширить его до топологического поля множеств, взяв топологию, порожденную комплексами, соответствующими открытым элементам внутренней алгебры (которые образуют базу для топологии). Эти комплексы затем являются в точности открытыми комплексами, и конструкция создает поле Стоуна, представляющее внутреннюю алгебру - представление Стоуна . (Топология представления Стоуна также известна как топология Стоуна МакКинзи–Тарского в честь математиков, которые впервые обобщили результат Стоуна для булевых алгебр на внутренние алгебры, и ее не следует путать со топологией Стоуна базовой булевой алгебры внутренней алгебры, которая будет более тонкой топологией).

Поля предварительного заказа

Поле предварительного порядка представляет собой тройку , где — предварительно упорядоченный набор , а — поле наборов. ${\displaystyle (X,\leq ,{\mathcal {F}})}$ ${\displaystyle (X,\leq )}$ ${\displaystyle (X,{\mathcal {F}})}$

Подобно топологическим полям множеств, поля предпорядка играют важную роль в теории представлений внутренних алгебр. Каждая внутренняя алгебра может быть представлена ​​как поле предпорядка с ее внутренними и замыкающими операторами, соответствующими операторам топологии Александрова , индуцированной предпорядком. Другими словами, для всех : и ${\displaystyle S\in {\mathcal {F}}}$ $${\displaystyle \mathrm {Int} (S)=\{x\in X:{\text{ there exists a }}y\in S{\text{ with }}y\leq x\}}$$ $${\displaystyle \mathrm {Cl} (S)=\{x\in X:{\text{ there exists a }}y\in S{\text{ with }}x\leq y\}}$$

Подобно топологическим полям множеств, поля предпорядка естественным образом возникают в модальной логике, где точки представляют возможные миры в семантике Крипке теории в модальной логике S4 , предпорядок представляет отношение доступности на этих возможных мирах в этой семантике, а комплексы представляют множества возможных миров, в которых выполняются отдельные предложения в теории, предоставляя представление алгебры Линденбаума–Тарского теории. Они являются частным случаем общих модальных фреймов , которые являются полями множеств с дополнительным отношением доступности, предоставляющим представления модальных алгебр.

Алгебраические и канонические поля предпорядка

Поле предпорядка называется алгебраическим (или плотным ), если и только если оно имеет набор комплексов , который определяет предпорядок следующим образом: тогда и только тогда, когда для каждого комплекса , следует . Поля предпорядка, полученные из теорий S4 , всегда являются алгебраическими, комплексы, определяющие предпорядок, являются множествами возможных миров, в которых предложения теории, замкнутой по необходимости, верны. ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$ ${\displaystyle x\leq y}$ ${\displaystyle S\in {\mathcal {A}}}$ ${\displaystyle x\in S}$ ${\displaystyle y\in S}$

Сепаративное компактное алгебраическое поле предпорядка называется каноническим . Для данной внутренней алгебры путем замены топологии ее стоуновского представления соответствующим каноническим предпорядком (специализированный предпорядок) мы получаем представление внутренней алгебры как канонического поля предпорядка. Заменяя предпорядок соответствующей ему топологией Александрова, мы получаем альтернативное представление внутренней алгебры как топологического поля множеств. (Топология этого « александровского представления » — это просто александровское бикорефлексия топологии стоуновского представления.) В то время как представление модальных алгебр общими модальными фреймами возможно для любой нормальной модальной алгебры, только в случае внутренних алгебр (соответствующих модальной логике S4 ) общий модальный фрейм соответствует топологическому полю множеств таким образом.

Комплексные алгебры и поля множеств на реляционных структурах

Представление внутренних алгебр полями предпорядка может быть обобщено до теоремы представления для произвольных (нормальных) булевых алгебр с операторами . Для этого мы рассмотрим структуры, где — реляционная структура , т.е. множество с индексированным семейством отношений, определенных на нем, а — поле множеств. Комплексная алгебра (или алгебра комплексов ), определяемая полем множеств на реляционной структуре, — это булева алгебра с операторами, где для всех , если — отношение арности, то — оператор арности и для всех ${\displaystyle (X,(R_{i})_{I},{\mathcal {F}})}$ ${\displaystyle (X,(R_{i})_{I})}$ ${\displaystyle (X,{\mathcal {F}})}$ ${\displaystyle \mathbf {X} =(X,\left(R_{i}\right)_{I},{\mathcal {F}})}$ $${\displaystyle {\mathcal {C}}(\mathbf {X} )=({\mathcal {F}},\cap ,\cup ,\prime ,\emptyset ,X,(f_{i})_{I})}$$ ${\displaystyle i\in I,}$ ${\displaystyle R_{i}}$ ${\displaystyle n+1,}$ ${\displaystyle f_{i}}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle S_{1},\ldots ,S_{n}\in {\mathcal {F}}}$ $${\displaystyle f_{i}(S_{1},\ldots ,S_{n})=\left\{x\in X:{\text{ there exist }}x_{1}\in S_{1},\ldots ,x_{n}\in S_{n}{\text{ such that }}R_{i}(x_{1},\ldots ,x_{n},x)\right\}}$$

Эту конструкцию можно обобщить на поля множеств на произвольных алгебраических структурах, имеющих как операторы , так и отношения, поскольку операторы можно рассматривать как частный случай отношений. Если — это весь набор степеней , то называется полной комплексной алгеброй или степенной алгеброй . ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {\mathcal {C}}(\mathbf {X} )}$

Каждая (нормальная) булева алгебра с операторами может быть представлена ​​как поле множеств на реляционной структуре в том смысле, что она изоморфна комплексной алгебре, соответствующей полю.

(Исторически термин «комплекс» впервые был использован в случае, когда алгебраической структурой была группа , и берет свое начало в теории групп 19 века , где подмножество группы называлось комплексом . )

Смотрите также

• Топология Александрова  – топология, в которой пересечение любого семейства открытых множеств открытоPages displaying wikidata descriptions as a fallback
• Алгебра множеств  – тождества и отношения, включающие множества
• Булево кольцо  – математическая концепцияPages displaying wikidata descriptions as a fallback
• δ- кольцо  – кольцо, замкнутое относительно счетных пересечений
• Общая рамка
• Внутренняя алгебра  – Алгебраическая структура
• 𝜆-система (система Дынкина)  – Семейство, замкнутое относительно дополнений и счетных непересекающихся объединений
• Список тем по булевой алгебре
• Теория меры  – Обобщение массы, длины, площади и объемаPages displaying short descriptions of redirect targets
• Монотонный класс  – теоремаPages displaying wikidata descriptions as a fallbackPages displaying short descriptions with no spaces
• π -система  – Семейство множеств, замкнутых относительно пересечения
• Предварительно упорядоченное поле  – алгебраический объект с упорядоченной структурой.Pages displaying short descriptions of redirect targets
• Теория вероятностей  – Раздел математики, изучающий вероятности.
• Кольцо множеств  – Семья, закрытая относительно союзов и относительных дополнений
• Функция множества  – Функция преобразования множеств в числа
• σ-алгебра  – Алгебраическая структура алгебры множеств
• Сигма-идеал  – Семья, замкнутая относительно подмножеств и счетных объединений
• 𝜎-кольцо  – семейство множеств, замкнутых относительно счетных объединений
• Двойственность камня  – Связь между определенными категориями
• Теорема Стоуна о представлении для булевых алгебр  – Каждая булева алгебра изоморфна некоторому полю множеств

Примечания

1. Перечисленные утверждения эквивалентны, если выполняются (1) и (2). Эквивалентность утверждений (a) и (b) следует из законов Де Моргана . Это также верно для эквивалентности утверждений (c) и (d).

Ссылки

• Голдблатт, Р. , Алгебраическая полимодальная логика: обзор , Logic Journal of the IGPL, том 8, выпуск 4, стр. 393-450, июль 2000 г.
• Голдблатт, Р., Многообразия комплексных алгебр , Annals of Pure and Applied Logic, 44, стр. 173-242, 1989
• Джонстон, Питер Т. (1982). Каменные пространства (3-е изд.). Кембридж: Cambridge University Press. ISBN 0-521-33779-8.
• Натурман, К.А., Внутренние алгебры и топология , докторская диссертация, математический факультет Кейптаунского университета, 1991 г.
• Патрик Блэкберн, Йохан Ф.А.К. ван Бентем, редактор Фрэнка Вольтера, Справочник по модальной логике, том 3 «Исследований по логике и практическому рассуждению» , Elsevier, 2006

Внешние ссылки

• «Алгебра множеств», Энциклопедия математики , EMS Press , 2001 [1994]
• Алгебра множеств, Энциклопедия математики.