Евклидова группа

Isometry group of Euclidean space

В математике евклидова группа — это группа (евклидовых) изометрий евклидова пространства ; то есть преобразований этого пространства, которые сохраняют евклидово расстояние между любыми двумя точками (также называемых евклидовыми преобразованиями ). Группа зависит только от размерности n пространства и обычно обозначается E( n ) или ISO( n ), для неоднородной специальной ортогональной группы. ${\displaystyle \mathbb {E} ^{n}}$

Евклидова группа E( n ) включает в себя все переносы , вращения и отражения ; и произвольные конечные их комбинации. Евклидова группа может рассматриваться как группа симметрии самого пространства и содержит группу симметрий любой фигуры (подмножества) этого пространства. ${\displaystyle \mathbb {E} ^{n}}$

Евклидова изометрия может быть прямой или косвенной , в зависимости от того, сохраняет ли она ручность фигур. Прямые евклидовы изометрии образуют подгруппу, специальную евклидову группу , часто обозначаемую SE( n ) и E ⁺ ( n ), элементы которой называются жесткими движениями или евклидовыми движениями. Они включают в себя произвольные комбинации трансляций и вращений, но не отражений.

Эти группы являются одними из старейших и наиболее изученных, по крайней мере, в случаях размерности 2 и 3 — неявно, задолго до того, как было изобретено понятие группы.

Обзор

Размерность

Число степеней свободы для E( n ) равно n ( n + 1)/2 , что дает 3 в случае n = 2 и 6 для n = 3. Из них n можно отнести к имеющейся трансляционной симметрии , а оставшиеся n ( n − 1)/2 — к вращательной симметрии .

Прямая и косвенная изометрия

Прямые изометрии (т. е. изометрии, сохраняющие хиральную направленность хиральных подмножеств) составляют подгруппу E( n ), называемую специальной евклидовой группой и обычно обозначаемую как E ⁺ ( n ) или SE( n ). Они включают в себя трансляции и вращения, а также их комбинации; включая тождественное преобразование, но исключая любые отражения.

Изометрии, которые меняют хэндовость, называются косвенными или противоположными . Для любой фиксированной косвенной изометрии R , такой как отражение относительно некоторой гиперплоскости, любая другая косвенная изометрия может быть получена композицией R с некоторой прямой изометрией. Следовательно, косвенные изометрии являются смежным классом E ⁺ ( n ), который можно обозначить как E ⁻ ( n ). Отсюда следует, что подгруппа E ⁺ ( n ) имеет индекс 2 в E( n ).

Топология группы

Естественная топология евклидова пространства подразумевает топологию для евклидовой группы E( n ). А именно, последовательность f _i изометрий ( ) определяется как сходящаяся тогда и только тогда, когда для любой точки p из , последовательность точек p _i сходится. ${\displaystyle \mathbb {E} ^{n}}$ ${\displaystyle \mathbb {E} ^{n}}$ ${\displaystyle i\in \mathbb {N} }$ ${\displaystyle \mathbb {E} ^{n}}$

Из этого определения следует, что функция непрерывна тогда и только тогда, когда для любой точки p из непрерывна функция, определяемая формулой f _p ( t ) = ( f ( t ))( p ). Такая функция называется «непрерывной траекторией» в E( n ). ${\displaystyle f:[0,1]\to E(n)}$ ${\displaystyle \mathbb {E} ^{n}}$ ${\displaystyle f_{p}:[0,1]\to \mathbb {E} ^{n}}$

Оказывается, что специальная евклидова группа SE( n ) = E ⁺ ( n ) связна в этой топологии. То есть, если заданы любые две прямые изометрии A и B множества , то существует непрерывная траектория f в E ⁺ ( n ) такая, что f (0) = A и f (1) = B . То же самое верно для косвенных изометрий E ⁻ ( n ). С другой стороны, группа E( n ) в целом не связна: не существует непрерывной траектории, которая начинается в E ⁺ ( n ) и заканчивается в E ⁻ ( n ). ${\displaystyle \mathbb {E} ^{n}}$

Непрерывные траектории в E(3) играют важную роль в классической механике , поскольку они описывают физически возможные движения твердого тела в трехмерном пространстве с течением времени. Можно взять f (0) как тождественное преобразование I для , которое описывает начальное положение тела. Положение и ориентация тела в любой более поздний момент времени t будут описываться преобразованием f (t). Поскольку f (0) = I находится в E ⁺ (3), то же самое должно быть верно и для f ( t ) для любого более позднего момента времени. По этой причине прямые евклидовы изометрии также называются «жесткими движениями». ${\displaystyle \mathbb {E} ^{3}}$

Структура лжи

Евклидовы группы являются не только топологическими группами , но и группами Ли , поэтому понятия исчисления можно непосредственно адаптировать к этой ситуации.

Отношение к аффинной группе

Евклидова группа E( n ) является подгруппой аффинной группы для n измерений. Обе группы имеют структуру как полупрямое произведение группы евклидовых трансляций с группой преобразований, сохраняющих начало координат, и эта структура произведения соблюдается включением евклидовой группы в аффинную группу. Это дает, a fortiori , два способа записи элементов в явной нотации. Это:

1. парой ( A , b ) , где A — ортогональная матрица размера n × n , а b — действительный вектор-столбец размера n ; или
2. одной квадратной матрицей размера n + 1 , как объяснено для аффинной группы .

Подробная информация о первом представлении приведена в следующем разделе.

В терминах программы Эрлангена Феликса Клейна мы извлекаем отсюда, что евклидова геометрия , геометрия евклидовой группы симметрий, является, следовательно, специализацией аффинной геометрии . Все аффинные теоремы применимы. Происхождение евклидовой геометрии позволяет определить понятие расстояния , из которого затем может быть выведен угол .

Подробное обсуждение

Структура подгруппы, матричное и векторное представление

Евклидова группа является подгруппой группы аффинных преобразований .

Он имеет в качестве подгрупп трансляционную группу T( n ) и ортогональную группу O( n ). Любой элемент E( n ) является трансляцией, за которой следует ортогональное преобразование (линейная часть изометрии), единственным образом: где A — ортогональная матрица $${\displaystyle x\mapsto A(x+b)}$$

или то же ортогональное преобразование с последующим переносом: с c = Ab $${\displaystyle x\mapsto Ax+c,}$$

T( n ) является нормальной подгруппой E( n ): для каждого переноса t и каждой изометрии u композиция снова является переносом. $${\displaystyle u^{-1}tu}$$

Вместе эти факты подразумевают, что E( n ) является полупрямым произведением O( n ), расширенным T( n ), что записывается как . Другими словами, O( n ) является (естественным образом) также фактор-группой E( n ) по T( n ): ${\displaystyle {\text{E}}(n)={\text{T}}(n)\rtimes {\text{O}}(n)}$ $${\displaystyle {\text{O}}(n)\cong {\text{E}}(n)/{\text{T}}(n)}$$

Теперь SO( n ), специальная ортогональная группа , является подгруппой O( n ) индекса два. Следовательно, E( n ) имеет подгруппу E ⁺ ( n ), также индекса два, состоящую из прямых изометрий. В этих случаях определитель A равен 1.

Они представлены как перенос, за которым следует вращение , а не как перенос, за которым следует некое отражение (в измерениях 2 и 3 это знакомые отражения в зеркальной линии или плоскости, которые можно считать включающими начало координат , или в 3D — роторное отражение ).

Это отношение обычно записывается как: или, что эквивалентно: $${\displaystyle {\text{SO}}(n)\cong {\text{E}}^{+}(n)/{\text{T}}(n)}$$ $${\displaystyle {\text{E}}^{+}(n)={\text{SO}}(n)\ltimes {\text{T}}(n).}$$

Подгруппы

Типы подгрупп E( n ):

Конечные группы .

Они всегда имеют неподвижную точку. В 3D для каждой точки для каждой ориентации есть две, которые являются максимальными (по включению) среди конечных групп: O _h и I _h . Группы I _h являются даже максимальными среди групп, включающих следующую категорию.

Счетно бесконечные группы без произвольно малых сдвигов, поворотов или комбинаций

т. е. для каждой точки множество образов при изометриях топологически дискретно (например, для 1 ≤ m ≤ n группа, порожденная m трансляциями в независимых направлениях, и, возможно, конечная точечная группа). Это включает решетки . Примерами более общего характера являются дискретные пространственные группы .

Счетно бесконечные группы с произвольно малыми сдвигами, поворотами или комбинациями

В этом случае существуют точки, для которых множество изображений под изометриями не замкнуто. Примерами таких групп являются в 1D группа, порожденная переносом 1 и одного из √ 2 , а в 2D группа, порожденная поворотом вокруг начала координат на 1 радиан.

Несчетные группы, где есть точки, для которых множество образов при изометриях не замкнуто

(например, в 2D все перемещения в одном направлении и все перемещения на рациональные расстояния в другом направлении).

Несчетные группы, где для всех точек множество образов при изометриях замкнуто

например:

• все прямые изометрии, которые фиксируют начало координат или, в более общем смысле, некоторую точку (в трехмерном пространстве называемую группой вращения )
• все изометрии, которые сохраняют фиксированным начало координат или, в более общем смысле, некоторую точку ( ортогональная группа )
• все прямые изометрии E ⁺ ( n )
• вся евклидова группа E( n )
• одна из этих групп в m -мерном подпространстве, объединенная с дискретной группой изометрий в ортогональном ( n − m )-мерном пространстве
• одна из этих групп в m -мерном подпространстве, объединенная с другой в ортогональном ( n − m )-мерном пространстве

Примеры комбинаций в 3D:

• все вращения вокруг одной фиксированной оси
• то же самое в сочетании с отражением в плоскостях, проходящих через ось и/или плоскость, перпендикулярную оси
• то же самое в сочетании с дискретным переносом вдоль оси или со всеми изометриями вдоль оси
• дискретная точечная группа, группа фриза или группа обоев на плоскости, объединенная с любой группой симметрии в перпендикулярном направлении
• все изометрии, которые являются комбинацией вращения вокруг некоторой оси и пропорционального переноса вдоль оси; в общем случае это сочетается с k -кратными вращательными изометриями вокруг той же оси ( k ≥ 1 ); множество образов точки при изометриях представляет собой k -кратную спираль ; кроме того, может быть 2-кратное вращение вокруг перпендикулярно пересекающейся оси и, следовательно, k -кратная спираль таких осей.
• для любой точечной группы: группа всех изометрий, которые являются комбинацией изометрии в точечной группе и переноса; например, в случае группы, порожденной инверсией в начале координат: группа всех переносов и инверсии во всех точках; это обобщенная диэдральная группа R ³ , Dih(R ³ ).

Обзор изометрий в трех измерениях

E(1), E(2) и E(3) можно классифицировать следующим образом по степеням свободы :

Теорема Шаля утверждает, что любой элемент E ⁺ (3) является винтовым перемещением .

См. также 3D-изометрии, которые оставляют начало координат фиксированным , пространственная группа , инволюция .

Изометрии коммутационных маршрутов

Для некоторых пар изометрий состав не зависит от порядка:

• два перевода
• два вращения или винта вокруг одной оси
• отражение относительно плоскости и перенос в этой плоскости, вращение вокруг оси, перпендикулярной плоскости, или отражение относительно перпендикулярной плоскости
• скользящее отражение относительно плоскости и перенос в этой плоскости
• инверсия в точке и любая изометрия, сохраняющая точку неподвижной
• поворот на 180° вокруг оси и отражение в плоскости, проходящей через эту ось
• поворот на 180° вокруг оси и поворот на 180° вокруг перпендикулярной оси (приводит к повороту на 180° вокруг оси, перпендикулярной обеим)
• два роторных отражения относительно одной и той же оси, относительно одной и той же плоскости
• два скользящих отражения относительно одной и той же плоскости

Классы сопряженности

Перемещения на заданное расстояние в любом направлении образуют класс сопряженности ; группа перемещений представляет собой объединение таковых для всех расстояний.

В 1D все отражения находятся в одном классе.

В 2D повороты на один и тот же угол в любом направлении находятся в одном классе. Скользящие отражения с переносом на одно и то же расстояние находятся в одном классе.

В 3D:

• Инверсии по всем точкам относятся к одному классу.
• Повороты на один и тот же угол относятся к одному классу.
• Вращения вокруг оси в сочетании с перемещением вдоль этой оси относятся к одному классу, если угол и расстояние перемещения одинаковы.
• Отражения в плоскости находятся в том же классе
• Отражения в плоскости в сочетании с переносом в этой плоскости на то же расстояние относятся к одному классу.
• Повороты вокруг оси на один и тот же угол, не равный 180°, в сочетании с отражением в плоскости, перпендикулярной этой оси, относятся к тому же классу.

Смотрите также

• Неподвижные точки групп изометрий в евклидовом пространстве
• Изометрия евклидовой плоскости
• Группа Пуанкаре
• Координатные вращения и отражения
• Отражение через происхождение
• Плоскость вращения

Ссылки

• Седерберг, Джудит Н. (2001). Курс современной геометрии . стр. 136–164. ISBN 978-0-387-98972-3.
• Уильям Терстон . Трехмерная геометрия и топология. Том 1. Под редакцией Сильвио Леви. Princeton Mathematical Series, 35. Princeton University Press, Принстон, Нью-Джерси, 1997. x+311 стр.  ISBN 0-691-08304-5