Угловая скорость

Направление и скорость вращения

В физике угловая скорость (символ ω или , строчная греческая буква омега ), также известная как вектор угловой частоты , ^[1] является псевдовекторным представлением того, как угловое положение или ориентация объекта изменяется со временем, т. е. насколько быстро объект вращается ( вращается или вращается) вокруг оси вращения и насколько быстро сама ось меняет направление . ^[2] ${\displaystyle {\vec {\omega }}}$

Величина псевдовектора, , представляет собой угловую скорость (или угловую частоту ), угловую скорость, с которой объект вращается (вращается или вращается). Направление псевдовектора является нормальным к мгновенной плоскости вращения или углового смещения . ${\displaystyle \omega =\|{\boldsymbol {\omega }}\|}$ ${\displaystyle {\hat {\boldsymbol {\omega }}}={\boldsymbol {\omega }}/\omega }$

Существует два типа угловой скорости:

• Орбитальная угловая скорость характеризует скорость вращения точечного объекта вокруг фиксированной точки отсчета , т.е. скорость изменения его углового положения относительно точки отсчета . ^{[ необходима ссылка ]}
• Угловая скорость вращения показывает, насколько быстро твердое тело вращается относительно своего центра вращения , и не зависит от выбора начала координат, в отличие от орбитальной угловой скорости.

Угловая скорость имеет размерность угла в единицу времени; это аналогично линейной скорости , где угол заменяет расстояние , а время общее. Единица СИ угловой скорости — радианы в секунду , ^[3] хотя градусы в секунду (°/с) также распространены. Радиан — безразмерная величина , поэтому единицы СИ угловой скорости размерно эквивалентны обратным секундам , с ⁻¹ , хотя предпочтительнее рад/с, чтобы избежать путаницы со скоростью вращения в единицах герц (также эквивалентных с ⁻¹ ). ^[4]

Направление угловой скорости традиционно определяется правилом правой руки , подразумевающим вращение по часовой стрелке (если смотреть на плоскость вращения); отрицание (умножение на −1) оставляет величину неизменной, но переворачивает ось в противоположном направлении . ^[5]

Например, геостационарный спутник совершает один оборот в день над экватором (360 градусов за 24 часа), имеет угловую скорость (угловую скорость) ω = 360°/24 ч = 15°/ч (или 2π рад/24 ч ≈ 0,26 рад/ч) и направление угловой скорости (единичный вектор ), параллельное оси вращения Земли ( , в геоцентрической системе координат ). Если угол измеряется в радианах, линейная скорость равна радиусу, умноженному на угловую скорость, . При радиусе орбиты 42 000 км от центра Земли тангенциальная скорость спутника в пространстве составляет, таким образом, v = 42 000 км × 0,26/ч ≈ 11 000 км/ч. Угловая скорость положительна, поскольку спутник движется прямолинейно с вращением Земли (в том же направлении, что и вращение Земли). ${\displaystyle {\hat {\omega }}={\hat {Z}}}$ ${\displaystyle {\boldsymbol {v}}=r{\boldsymbol {\omega }}}$

Орбитальная угловая скорость точечной частицы

Частица в двух измерениях

Угловая скорость частицы в точке P относительно начала координат O определяется перпендикулярной составляющей вектора скорости v .

В простейшем случае кругового движения с радиусом , с положением, заданным угловым смещением от оси x, орбитальная угловая скорость представляет собой скорость изменения угла по отношению к времени: . Если измеряется в радианах , длина дуги от положительной оси x вокруг окружности до частицы равна , а линейная скорость равна , так что . ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle \phi (t)}$ ${\textstyle \omega ={\frac {d\phi }{dt}}}$ ${\displaystyle \phi }$ ${\displaystyle \ell =r\phi }$ ${\textstyle v(t)={\frac {d\ell }{dt}}=r\omega (t)}$ ${\textstyle \omega ={\frac {v}{r}}}$

В общем случае частицы, движущейся в плоскости, орбитальная угловая скорость — это скорость, с которой вектор положения относительно выбранного начала координат «выметает» угол. На диаграмме показан вектор положения от начала координат до частицы с его полярными координатами . (Все переменные являются функциями времени .) Частица имеет линейное расщепление скорости как , с радиальной составляющей, параллельной радиусу, и поперечно-радиальной (или тангенциальной) составляющей, перпендикулярной радиусу. Когда радиальная составляющая отсутствует, частица движется вокруг начала координат по окружности; но когда поперечно-радиальная составляющая отсутствует, она движется по прямой линии от начала координат. Поскольку радиальное движение оставляет угол неизменным, только поперечно-радиальная составляющая линейной скорости вносит вклад в угловую скорость. ${\displaystyle \mathbf {r} }$ ${\displaystyle O}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle (r,\phi )}$ ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle \mathbf {v} =\mathbf {v} _{\|}+\mathbf {v} _{\perp }}$ ${\displaystyle \mathbf {v} _{\|}}$ ${\displaystyle \mathbf {v} _{\perp }}$

Угловая скорость ω — это скорость изменения углового положения по времени, которую можно вычислить из поперечной радиальной скорости следующим образом:

ω знак равно d φ d т знак равно v ⊥ р . {\displaystyle \omega = {\frac {d\phi }{dt}} = {\frac {v_ {\perp }}{r}}.}

Здесь поперечная радиальная скорость — это знаковая величина , положительная для движения против часовой стрелки, отрицательная для движения по часовой стрелке. Взятие полярных координат для линейной скорости дает величину (линейную скорость) и угол относительно радиус-вектора; в этих терминах, , так что ${\displaystyle v_{\perp }}$ ${\displaystyle \mathbf {v} _{\perp }}$ ${\displaystyle \mathbf {v} }$ ${\displaystyle v}$ ${\displaystyle \theta }$ ${\displaystyle v_{\perp }=v\sin(\theta )}$

ω знак равно v грех ⁡ ( θ ) р . {\displaystyle \omega = {\frac {v\sin(\theta)}{r}}.}

Эти формулы можно вывести, выполняя , являясь функцией расстояния до начала координат по времени и функцией угла между вектором и осью x. Тогда: что равно: (см. Единичный вектор в цилиндрических координатах). ${\displaystyle \mathbf {r} =(r\cos(\varphi ),r\sin(\varphi ))}$ ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle \varphi }$ $${\displaystyle {\frac {d\mathbf {r} }{dt}}=({\dot {r}}\cos(\varphi )-r{\dot {\varphi }}\sin(\varphi ),{\dot {r}}\sin(\varphi )+r{\dot {\varphi }}\cos(\varphi )),}$$ $${\displaystyle {\dot {r}}(\cos(\varphi ),\sin(\varphi ))+r{\dot {\varphi }}(-\sin(\varphi ),\cos(\varphi ))={\dot {r}}{\hat {r}}+r{\dot {\varphi }}{\hat {\varphi }}}$$

Зная , заключаем, что радиальная составляющая скорости определяется выражением , поскольку — радиальный единичный вектор; а перпендикулярная составляющая определяется выражением , поскольку — перпендикулярный единичный вектор. ${\textstyle {\frac {d\mathbf {r} }{dt}}=\mathbf {v} }$ ${\displaystyle {\dot {r}}}$ ${\displaystyle {\hat {r}}}$ ${\displaystyle r{\dot {\varphi }}}$ ${\displaystyle {\hat {\varphi }}}$

В двух измерениях угловая скорость — это число со знаком плюс или минус, указывающим ориентацию, но не указывающим направление. Знак традиционно считается положительным, если радиус-вектор вращается против часовой стрелки, и отрицательным, если по часовой стрелке. Угловую скорость тогда можно назвать псевдоскаляром , числовой величиной, которая меняет знак при инверсии четности , такой как инвертирование одной оси или переключение двух осей.

Частица в трех измерениях

Вектор орбитальной угловой скорости кодирует скорость изменения углового положения во времени, а также мгновенную плоскость углового смещения. В этом случае (круговое движение против часовой стрелки) вектор направлен вверх.

В трехмерном пространстве мы снова имеем вектор положения r движущейся частицы. Здесь орбитальная угловая скорость — это псевдовектор , величина которого равна скорости, с которой r выметает угол (в радианах за единицу времени), и направление которого перпендикулярно мгновенной плоскости, в которой r выметает угол (т. е. плоскости, охватываемой r и v ). Однако, поскольку существуют два направления, перпендикулярные любой плоскости, необходимо дополнительное условие для однозначного указания направления угловой скорости; обычно используется правило правой руки .

Пусть псевдовектор будет единичным вектором, перпендикулярным плоскости, натянутой на r и v , так, чтобы выполнялось правило правой руки (т.е. мгновенное направление углового смещения против часовой стрелки, если смотреть сверху ). Принимая полярные координаты в этой плоскости, как в двумерном случае выше, можно определить вектор орбитальной угловой скорости как: ${\displaystyle \mathbf {u} }$ ${\displaystyle \mathbf {u} }$ ${\displaystyle (r,\phi )}$

${\displaystyle {\boldsymbol {\omega }}=\omega \mathbf {u} ={\frac {d\phi }{dt}}\mathbf {u} ={\frac {v\sin(\theta )}{r}}\mathbf {u} ,}$

где θ — угол между r и v . В терминах векторного произведения это:

${\displaystyle {\boldsymbol {\omega }}={\frac {\mathbf {r} \times \mathbf {v} }{r^{2}}}.}$^[6]

Из приведенного выше уравнения можно восстановить тангенциальную скорость как:

${\displaystyle \mathbf {v} _{\perp }={\boldsymbol {\omega }}\times \mathbf {r} }$

Угловая скорость вращения твердого тела или системы отсчета

Учитывая вращающуюся систему из трех единичных векторов координат, все три должны иметь одинаковую угловую скорость в каждый момент времени. В такой системе каждый вектор можно рассматривать как движущуюся частицу с постоянным скалярным радиусом.

Вращающаяся система отсчета появляется в контексте твердых тел , и для нее были разработаны специальные инструменты: угловая скорость вращения может быть описана как вектор или, что эквивалентно, как тензор .

В соответствии с общим определением, угловая скорость вращения системы отсчета определяется как орбитальная угловая скорость любого из трех векторов (одинаковая для всех) относительно ее собственного центра вращения. Сложение векторов угловой скорости для систем отсчета также определяется обычным сложением векторов (композицией линейных движений) и может быть полезно для разложения вращения, как в карданном подвесе . Все компоненты вектора могут быть вычислены как производные параметров, определяющих движущиеся системы отсчета (углы Эйлера или матрицы вращения). Как и в общем случае, сложение коммутативно: . ${\displaystyle \omega _{1}+\omega _{2}=\omega _{2}+\omega _{1}}$

По теореме Эйлера о вращении любая вращающаяся система отсчета обладает мгновенной осью вращения , которая является направлением вектора угловой скорости, а величина угловой скорости согласуется с двумерным случаем.

Если мы выберем точку отсчета, зафиксированную в твердом теле, то скорость любой точки тела будет определяться выражением ${\displaystyle {{\boldsymbol {r}}_{0}}}$ ${\displaystyle {\dot {\boldsymbol {r}}}}$

${\displaystyle {\dot {\boldsymbol {r}}}={\dot {{\boldsymbol {r}}_{0}}}+{\boldsymbol {\omega }}\times ({\boldsymbol {r}}-{{\boldsymbol {r}}_{0}})}$

Компоненты базисных векторов неподвижной системы координат

Рассмотрим твердое тело, вращающееся вокруг неподвижной точки O. Построим в теле систему отсчета, состоящую из ортонормированного набора векторов, закрепленных на теле и имеющих общее начало в точке O. Вектор угловой скорости вращения как системы, так и тела вокруг точки O тогда равен ${\displaystyle \mathbf {e} _{1},\mathbf {e} _{2},\mathbf {e} _{3}}$

${\displaystyle {\boldsymbol {\omega }}=\left({\dot {\mathbf {e} }}_{1}\cdot \mathbf {e} _{2}\right)\mathbf {e} _{3}+\left({\dot {\mathbf {e} }}_{2}\cdot \mathbf {e} _{3}\right)\mathbf {e} _{1}+\left({\dot {\mathbf {e} }}_{3}\cdot \mathbf {e} _{1}\right)\mathbf {e} _{2},}$

где - скорость изменения вектора системы отсчета времени вследствие вращения. ${\displaystyle {\dot {\mathbf {e} }}_{i}={\frac {d\mathbf {e} _{i}}{dt}}}$ ${\displaystyle \mathbf {e} _{i},i=1,2,3,}$

Эта формула несовместима с выражением для орбитальной угловой скорости

${\displaystyle {\boldsymbol {\omega }}={\frac {{\boldsymbol {r}}\times {\boldsymbol {v}}}{r^{2}}},}$

поскольку эта формула определяет угловую скорость для одной точки относительно O, в то время как формула в этом разделе применяется к раме или твердому телу. В случае твердого тела одна формула должна учитывать движение всех частиц в теле. ${\displaystyle {\boldsymbol {\omega }}}$

Компоненты из углов Эйлера

Схема, показывающая эйлерову рамку зеленым цветом

Компоненты псевдовектора угловой скорости спина были впервые рассчитаны Леонардом Эйлером с использованием его углов Эйлера и использования промежуточной системы отсчета:

• Одна ось системы отсчета (ось прецессии)
• Линия узлов подвижной системы отсчета относительно системы отсчета (ось нутации)
• Одна ось подвижной системы отсчета (собственная ось вращения)

Эйлер доказал, что проекции псевдовектора угловой скорости на каждую из этих трех осей являются производными соответствующего ему угла (что эквивалентно разложению мгновенного вращения на три мгновенных вращения Эйлера ). Поэтому: ^[7]

${\displaystyle {\boldsymbol {\omega }}={\dot {\alpha }}\mathbf {u} _{1}+{\dot {\beta }}\mathbf {u} _{2}+{\dot {\gamma }}\mathbf {u} _{3}}$

Этот базис не ортонормальный и его трудно использовать, но теперь вектор скорости можно изменить на неподвижную систему отсчета или на подвижную систему отсчета всего лишь заменой базиса. Например, перейдя на подвижную систему отсчета:

${\displaystyle {\boldsymbol {\omega }}=({\dot {\alpha }}\sin \beta \sin \gamma +{\dot {\beta }}\cos \gamma ){\hat {\mathbf {i} }}+({\dot {\alpha }}\sin \beta \cos \gamma -{\dot {\beta }}\sin \gamma ){\hat {\mathbf {j} }}+({\dot {\alpha }}\cos \beta +{\dot {\gamma }}){\hat {\mathbf {k} }}}$

где — единичные векторы для системы отсчета, зафиксированной в движущемся теле. Этот пример был сделан с использованием соглашения ZXZ для углов Эйлера. ^{[ необходима цитата ]} ${\displaystyle {\hat {\mathbf {i} }},{\hat {\mathbf {j} }},{\hat {\mathbf {k} }}}$

Тензор

Тензор угловой скорости представляет собой кососимметричную матрицу, определяемую следующим образом:

${\displaystyle \Omega ={\begin{pmatrix}0&-\omega _{z}&\omega _{y}\\\omega _{z}&0&-\omega _{x}\\-\omega _{y}&\omega _{x}&0\\\end{pmatrix}}}$

Приведенные выше скалярные элементы соответствуют компонентам вектора угловой скорости . ${\displaystyle {\boldsymbol {\omega }}=(\omega _{x},\omega _{y},\omega _{z})}$

Это бесконечно малая матрица вращения . Линейное отображение Ω действует как векторное произведение : ${\displaystyle ({\boldsymbol {\omega }}\times )}$

${\displaystyle {\boldsymbol {\omega }}\times {\boldsymbol {r}}=\Omega {\boldsymbol {r}}}$

где — радиус-вектор . ${\displaystyle {\boldsymbol {r}}}$

При умножении на разницу во времени получается тензор углового смещения .

Смотрите также

• Угловое ускорение
• Угловая частота
• Угловой момент импульса
• Площадная скорость
• Изометрия
• Ортогональная группа
• Динамика твердого тела
• Вихревость

Ссылки

1. Каммингс, Карен; Холлидей, Дэвид (2007). Понимание физики. Нью-Дели: John Wiley & Sons Inc., авторизованная перепечатка в Wiley – Индия. стр. 449, 484, 485, 487. ISBN 978-81-265-0882-2.(УП1)
2. "Угловая скорость | Вращательное движение, Угловой момент, Крутящий момент | Britannica". www.britannica.com . Получено 5 октября 2024 г. .
3. Тейлор, Барри Н. (2009). Международная система единиц (СИ) (пересмотренная редакция 2008 г.). DIANE Publishing. стр. 27. ISBN 978-1-4379-1558-7.Выдержка из страницы 27
4. «Единицы измерения со специальными названиями и символами; единицы измерения, включающие специальные названия и символы».
5. Хиббелер, Рассел К. (2009). Инженерная механика. Верхняя Сэддл-Ривер , Нью-Джерси: Pearson Prentice Hall. стр. 314, 153. ISBN 978-0-13-607791-6.(ЭМ1)
6. Сингх, Сунил К. Угловая скорость. Университет Райса . Получено 21 мая 2021 г. – через OpenStax.
7. КШЕДРИХ: Леонард Эйлер (1707–1783) и динамика твёрдого тела

• Саймон, Кит (1971). Механика . Эддисон-Уэсли, Рединг, Массачусетс. ISBN 978-0-201-07392-8.
• Ландау, Л. Д .; Лифшиц, Э. М. (1997). Механика . Баттерворт-Хайнеманн. ISBN 978-0-7506-2896-9.

Внешние ссылки

• Учебник физики для колледжей Артура Лаланна Кимбалла ( Угловая скорость частицы )
• Пикеринг, Стив (2009). "ω Скорость вращения [Угловая скорость]". Шестьдесят символов . Брэди Харан для Ноттингемского университета .