Винтовая ось

Геометрическая ось вращения и перемещения

Спираль на винтовой оси

Винтовая ось ( винтовая ось или ось кручения ) — линия, которая одновременно является осью вращения и линией, по которой происходит перемещение тела. Теорема Часла показывает, что каждое евклидово смещение в трехмерном пространстве имеет винтовую ось, и это смещение можно разложить на вращение вокруг и скольжение вдоль этой винтовой оси. ^{[1] [2]}

Координаты Плюккера используются для определения местоположения винтовой оси в пространстве и состоят из пары трехмерных векторов. Первый вектор определяет направление оси, а второй определяет ее положение. Особый случай, когда первый вектор равен нулю, интерпретируется как чистый сдвиг в направлении второго вектора. Ось винта связана с каждой парой векторов в алгебре винтов, также известной как теория винтов . ^[3]

Пространственное движение тела можно представить непрерывной совокупностью перемещений. Поскольку каждое из этих смещений имеет винтовую ось, движение имеет связанную с ним линейчатую поверхность, известную как винтовая поверхность . Эта поверхность не аналогична аксоду , который очерчен мгновенными винтовыми осями движения тела. Мгновенная винтовая ось, или «мгновенная винтовая ось» (IHA), представляет собой ось геликоидального поля, создаваемого скоростями каждой точки движущегося тела.

Когда пространственное смещение специализируется на плоском смещении, ось винта становится полюсом смещения , а мгновенная ось винта становится полюсом скорости или мгновенным центром вращения , также называемым мгновенным центром . Термин «центро» также используется для обозначения полюса скорости, а место расположения этих точек плоского движения называется центродом . ^[4]

История

Доказательство того, что пространственное смещение можно разложить на вращение вокруг и перемещение вдоль линии в пространстве, приписывается Мишелю Шасле в 1830 году. ^[5] Недавно было установлено, что работа Джулио Моцци представила аналогичный результат в 1763 году. ^{[6] [7]}

Симметрия винтовой оси

Спираль Бурдейка – Кокстера является примером непериодической симметрии винтовой оси.

Винтовое перемещение (также винтовое перемещение или вращательное перемещение ) — это сочетание поворота на угол φ вокруг оси (называемой осью винта ) с перемещением на расстояние d вдоль этой оси. Положительное направление вращения обычно означает такое, которое соответствует направлению перемещения по правилу правой руки . Это означает, что если вращение происходит по часовой стрелке, смещение происходит в сторону от зрителя. За исключением φ = 180°, необходимо отличать смещение винта от его зеркального отображения . В отличие от вращений, операции с правым и левым винтом создают разные группы.

Комбинация вращения вокруг оси и перемещения в направлении, перпендикулярном этой оси, представляет собой вращение вокруг параллельной оси. Однако винтовую операцию с ненулевым вектором перемещения по оси таким образом сократить невозможно. Таким образом, эффект вращения в сочетании с любым перемещением представляет собой винтовую операцию в общем смысле, с частными случаями чистого перевода, чистого вращения и тождества. Вместе это все прямые изометрии в 3D .

3 ₁ винтовая ось в кристаллической структуре теллура

В кристаллографии симметрия винтовой оси представляет собой комбинацию вращения вокруг оси и перемещения, параллельного этой оси, что оставляет кристалл неизмененным. Если φ = 360°/ n для некоторого положительного целого числа n , то симметрия оси винта подразумевает трансляционную симметрию с вектором перемещения, который в n раз больше смещения винта.

Для пространственных групп применимо вращение на 360°/ n вокруг оси в сочетании с перемещением вдоль оси на кратное расстояние трансляционной симметрии, деленное на n . Это кратное обозначено нижним индексом. Итак, 6 ₃ — это поворот на 60° в сочетании с перемещением 1/2 вектора решетки, подразумевая, что существует также 3-кратная вращательная симметрия относительно этой оси. Возможные варианты: 2 ₁ , 3 ₁ , 4 ₁ , 4 ₂ , 6 ₁ , 6 ₂ и 6 ₃ , а также энантиоморфные 3 ₂ , 4 ₃ , 6 ₄ и 6 ₅ . ^[8] Рассматривая винтовую ось n _m , если g является наибольшим общим делителем n и m , то существует также ось вращения g -кратного порядка . Когда были выполнены винтовые операции n / g , смещение будет равно m / g , что, поскольку это целое число, означает, что человек переместился в эквивалентную точку в решетке, одновременно выполняя поворот на 360°/ g . Таким образом, 4 ₂ , 6 ₂ и 6 ₄ создают оси вращения двойного порядка, а 6 ₃ — ось тройного порядка.

Недискретная группа изометрии винтовой оси содержит все комбинации вращения вокруг некоторой оси и пропорционального перемещения вдоль оси (в нарезах константа пропорциональности называется скоростью закручивания ); обычно это сочетается с k -кратными изометриями вращения вокруг одной оси ( k ≥ 1); множество изображений точки под изометриями представляет собой k - спираль ; кроме того, может иметь место 2-кратное вращение вокруг перпендикулярно пересекающейся оси и, следовательно, k -кратная спираль таких осей.

Винтовая ось пространственного смещения

Геометрический аргумент

Пусть D  : R ³ → R ³ — жесткое движение R ³ , сохраняющее ориентацию . Набор этих преобразований представляет собой подгруппу евклидовых движений , известную как специальная евклидова группа SE(3). Эти жесткие движения определяются преобразованиями x в R ³ , заданными формулой

${\displaystyle D(\mathbf {x} )=A(\mathbf {x} )+\mathbf {d} }$

состоящий из трехмерного вращения A , за которым следует перемещение вектора d .

Трехмерное вращение A имеет уникальную ось , которая определяет линию L. Пусть единичный вектор вдоль этой прямой равен S, так что вектор перемещения d можно разложить в сумму двух векторов, параллельного и перпендикулярного оси L , то есть

${\displaystyle \mathbf {d} =\mathbf {d} _{L}+\mathbf {d} _{\perp },\quad \mathbf {d} _{L}=(\mathbf {d} \cdot \mathbf {S} )\mathbf {S} ,\quad \mathbf {d} _{\perp }=\mathbf {d} -\mathbf {d} _{L}.}$

В этом случае жесткое движение принимает вид

${\displaystyle D(\mathbf {x} )=(A(\mathbf {x} )+\mathbf {d} _{\perp })+\mathbf {d} _{L}.}$

Теперь сохраняющее ориентацию твердое движение D * = A ( x ) + d _⊥ преобразует все точки R ³ так, что они остаются в плоскостях, перпендикулярных L . Для твердого движения этого типа существует единственная точка c в плоскости P, перпендикулярная L через точку 0 , такая, что

${\displaystyle D^{*}(\mathbf {C} )=A(\mathbf {C} )+\mathbf {d} _{\perp }=\mathbf {C} .}$

Точку С можно рассчитать как

${\displaystyle \mathbf {C} =[I-A]^{-1}\mathbf {d} _{\perp },}$

потому что d _⊥ не имеет компонента в направлении оси A .

Жесткое движение D * с неподвижной точкой должно представлять собой вращение вокруг оси _Lc через точку c . Поэтому жесткое движение

${\displaystyle D(\mathbf {x} )=D^{*}(\mathbf {x} )+\mathbf {d} _{L},}$

_{состоит из} вращения вокруг линии Lc с _{последующим} перемещением вектора dL в направлении линии Lc .

Вывод: каждое жесткое движение R ³ является результатом вращения R ³ вокруг линии L _c с последующим перемещением в направлении этой линии. Сочетание вращения вокруг прямой и перемещения вдоль этой линии называется винтовым движением.

Вычисление точки на оси винта

Точка C на оси винта удовлетворяет уравнению: ^[9]

${\displaystyle D^{*}(\mathbf {C} )=A(\mathbf {C} )+\mathbf {d} _{\perp }=\mathbf {C} .}$

Решите это уравнение для C , используя формулу Кэли для матрицы вращения.

${\displaystyle [A]=[I-B]^{-1}[I+B],}$

где [B] — кососимметричная матрица, построенная из вектора Родригеса

${\displaystyle \mathbf {b} =\tan {\frac {\phi }{2}}\mathbf {S} ,}$

такой, что

${\displaystyle [B]\mathbf {y} =\mathbf {b} \times \mathbf {y} .}$

Используйте эту форму вращения A , чтобы получить

${\displaystyle \mathbf {C} =[I-B]^{-1}[I+B]\mathbf {C} +\mathbf {d} _{\perp },\quad [I-B]\mathbf {C} =[I+B]\mathbf {C} +[I-B]\mathbf {d} _{\perp },}$

который становится

${\displaystyle -2[B]\mathbf {C} =[I-B]\mathbf {d} _{\perp }.}$

Это уравнение можно решить для C на оси винта P (t), чтобы получить:

${\displaystyle \mathbf {C} ={\frac {\mathbf {b} \times \mathbf {d} -\mathbf {b} \times (\mathbf {b} \times \mathbf {d} )}{2\mathbf {b} \cdot \mathbf {b} }}.}$

Винтовая ось P (t) = C + t S этого пространственного смещения имеет координаты Плюккера S = ( S , C × S ) . ^[9]

Двойной кватернион

Ось винта появляется в двойной кватернионной формулировке пространственного смещения D = ([A], d ) . Двойной кватернион состоит из двойственного вектора S = ( S , V ) , определяющего ось винта, и двойственного угла ( φ , d ) , где φ — вращение вокруг, а d — скольжение вдоль этой оси, что определяет смещение D к получать,

${\displaystyle {\hat {S}}=\cos {\frac {\hat {\varphi }}{2}}+\sin {\frac {\hat {\varphi }}{2}}{\mathsf {S}}.}$

Пространственное смещение точек q , представленное в виде векторного кватерниона, можно определить с использованием кватернионов в качестве отображения

${\displaystyle \mathbf {q} \mapsto S\mathbf {q} S^{-1}+\mathbf {d} }$

где d — кватернион вектора трансляции, а S — единичный кватернион, также называемый версором , определяемый формулой

${\displaystyle S=\cos \theta +\mathbf {S} \sin \theta ,\ \ \mathbf {S} ^{2}=-1,}$

что определяет поворот на 2 θ вокруг оси S .

В собственной евклидовой группе E ⁺ (3) вращение может быть сопряжено с перемещением, чтобы переместить его к параллельной оси вращения. Такое сопряжение с использованием гомографий кватернионов создает соответствующую винтовую ось, чтобы выразить данное пространственное смещение как винтовое смещение в соответствии с теоремой Шалеса .

Механика

Мгновенное движение твердого тела может представлять собой комбинацию вращения вокруг оси (винтовой оси) и перемещения вдоль этой оси. Это винтовое движение характеризуется вектором скорости поступательного движения и вектором угловой скорости в том же или противоположном направлении. Если эти два вектора постоянны и направлены вдоль одной из главных осей тела, то для этого движения (движения и вращения) не нужны никакие внешние силы. Например, если не учитывать гравитацию и сопротивление, это движение пули, выпущенной из нарезного ружья .

Биомеханика

Этот параметр часто используется в биомеханике при описании движения суставов тела. В любой период времени движение сустава можно рассматривать как перемещение одной точки одной суставной поверхности относительно соседней поверхности (обычно дистальной по отношению к проксимальной ). Суммарное перемещение и вращение по траектории движения можно определить как интегралы по времени от мгновенных скоростей перемещения и вращения в IHA для заданного эталонного времени. ^[10]

В любой отдельной плоскости путь, образованный местоположениями движущейся мгновенной оси вращения (IAR), известен как «центроид» и используется при описании движения суставов.

Смотрите также

• Штопор (элемент американских горок)
• Теорема Эйлера о вращении - вращение без перевода
• Скольжение отражения
• Винтовая симметрия
• Группа линий
• Теория винта
• Космическая группа

Рекомендации

1. Боттема, О. и Б. Рот, Теоретическая кинематика, Dover Publications (сентябрь 1990 г.), ссылка на книги Google.
2. Хант, К.Х., Кинематическая геометрия механизма, Oxford University Press, 1990.
3. Р.С. Болл, Трактат по теории винтов, Ходжес, Дублин, 1876 г., Приложение 1, University Press, Кембридж, 1900, стр. 510
4. Гомер Д. Экхардт, Кинематическое проектирование машин и механизмов , McGraw-Hill (1998), с. 63 ISBN  0-07-018953-6 в Интернете в книгах Google.
5. М. Шасль, Note sur les Proprietes Generales du Systeme de Deux Corps Sembables entr'eux, Bullettin de Sciences Mathematiques, Astronomiques Physiques et Chimiques, барон де Ферюссак, Париж, 1830, стр. 321-326
6. Дж. Моцци, Discorso matematico sopra il rotamento momentaneo dei corpi, Stamperia di Donato Campo, Неаполь, 1763 г.
7. М. Чеккарелли, Ось винта, определенная Джулио Моцци в 1763 году, и ранние исследования геликоидального движения, Mechanism and Machine Theory 35 (2000) 761-770.
8. Уолтер Борхардт-Отт (1995). Кристаллография . Спрингер-Верлаг. ISBN 3-540-59478-7.
9. JM McCarthy и GS Soh, Geometric Design of Links, 2-е издание, Springer, 2010 г.
10. Вольтринг Х.Дж., де Ланге А., Кауэр Дж.М.Г., Хейскес Р. 1987. Мгновенная оценка винтовых осей с помощью естественных, перекрестно проверенных сплайнов. В: Бергманн Г., Кёльбель Р., Рольманн А. (редакторы). Биомеханика: фундаментальные и прикладные исследования. Спрингер, стр. 121–128. полный текст