Ограничение первого класса

В физике ограничение первого класса — это динамическая величина в ограниченной гамильтоновой системе, скобка Пуассона которой со всеми другими ограничениями обращается в нуль на поверхности ограничений в фазовом пространстве (поверхность, неявно определяемая одновременным обращением в нуль всех ограничений). Для вычисления ограничения первого класса предполагается, что ограничений второго класса нет или что они были вычислены ранее, и их скобки Дирака сгенерированы. ^[1]

Ограничения первого и второго рода были введены Дираком  (1950, стр. 136, 1964, стр. 17) как способ квантования механических систем, таких как калибровочные теории, где симплектическая форма вырождена. ^{[2] [3]}

Терминология ограничений первого и второго класса до смешения похожа на терминологию первичных и вторичных ограничений , отражая способ, которым они генерируются. Эти подразделения независимы: ограничения первого и второго класса могут быть как первичными, так и вторичными, так что это дает в общей сложности четыре различных класса ограничений.

Скобки Пуассона

Рассмотрим пуассоново многообразие M с гладким гамильтонианом над ним (для теорий поля M было бы бесконечномерным).

Предположим, у нас есть некоторые ограничения.

${\displaystyle f_{i}(x)=0,}$

для n гладких функций

${\displaystyle \{f_{i}\}_{i=1}^{n}}$

Они будут определены только в графическом виде в общем случае. Предположим, что всюду на ограниченном множестве n производных n функций все линейно независимы , а также что скобки Пуассона

${\displaystyle \{f_{i},f_{j}\}}$

и

${\displaystyle \{f_{i},H\}}$

все исчезают в ограниченном подпространстве.

Это значит, что мы можем написать

${\displaystyle \{f_{i},f_{j}\}=\sum _{k}c_{ij}^{k}f_{k}}$

для некоторых гладких функций — есть теорема, показывающая это; и ${\displaystyle c_{ij}^{k}}$

${\displaystyle \{f_{i},H\}=\sum _{j}v_{i}^{j}f_{j}}$

для некоторых гладких функций . ${\displaystyle v_{i}^{j}}$

Это можно сделать глобально, используя разбиение единицы . Тогда мы говорим, что у нас есть неприводимое ограничение первого класса ( неприводимое здесь в ином смысле, чем тот, который используется в теории представлений ).

Геометрическая теория

Для более элегантного способа предположим, что дано векторное расслоение над , с -мерным волокном . Снабдим это векторное расслоение связностью . Предположим также, что у нас есть гладкое сечение f этого расслоения. ${\displaystyle {\mathcal {M}}}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle V}$

Тогда ковариантная производная f относительно связности является гладким линейным отображением из касательного расслоения в , которое сохраняет базовую точку . Предположим, что это линейное отображение является обратимым справа (т.е. существует линейное отображение такое, что является тождественным отображением ) для всех слоев в нулях f . Тогда, согласно теореме о неявной функции , подпространство нулей f является подмногообразием . ${\displaystyle \nabla f}$ ${\displaystyle T{\mathcal {M}}}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle (\Delta f)g}$

Обычная скобка Пуассона определена только над , пространством гладких функций над M. Однако, используя связь, мы можем расширить ее на пространство гладких сечений f , если будем работать с алгебраическим расслоением с градуированной алгеброй V -тензоров в качестве слоев. ${\displaystyle C^{\infty }(M)}$

Предположим также, что под этой скобкой Пуассона (обратите внимание, что это больше не верно для этой «расширенной скобки Пуассона») и на подмногообразии нулей f (если эти скобки также оказываются нулевыми везде, то мы говорим, что ограничения замыкают оболочку ). Оказывается, правильное условие обратимости и условия коммутативности потоков не зависят от выбора связи. Таким образом, мы можем отбросить связь, при условии, что работаем исключительно с ограниченным подпространством. ${\displaystyle \{f,f\}=0}$ ${\displaystyle \{g,g\}=0}$ ${\displaystyle \{f,H\}=0}$

Интуитивное значение

Что все это означает интуитивно? Это означает, что гамильтоновы и потоки ограничений коммутируют друг с другом в ограниченном подпространстве; или, в качестве альтернативы, если мы начинаем с точки в ограниченном подпространстве, то гамильтоновы и потоки ограничений переводят точку в другую точку в ограниченном подпространстве.

Поскольку мы хотим ограничиться только ограниченным подпространством, это предполагает, что гамильтониан или любая другая физическая наблюдаемая должна быть определена только на этом подпространстве. Эквивалентно, мы можем рассмотреть класс эквивалентности гладких функций над симплектическим многообразием, которые согласуются на ограниченном подпространстве ( другими словами, фактор-алгебра по идеалу , порожденному f ).

Загвоздка в том, что гамильтоновы потоки на ограниченном подпространстве зависят от градиента гамильтониана там, а не от его значения. Но есть простой выход из этого.

Посмотрите на орбиты ограниченного подпространства под действием симплектических потоков, порожденных f . Это дает локальное расслоение подпространства, поскольку оно удовлетворяет условиям интегрируемости ( теорема Фробениуса ). Оказывается, если мы начнем с двух разных точек на одной и той же орбите ограниченного подпространства и разовьем их обе под действием двух разных гамильтонианов, соответственно, которые согласуются на ограниченном подпространстве, то временная эволюция обеих точек под действием их соответствующих гамильтоновых потоков всегда будет лежать на одной и той же орбите в равные моменты времени. Также оказывается, что если у нас есть две гладкие функции A ₁ и B ₁ , которые постоянны по орбитам по крайней мере в ограниченном подпространстве (т.е. физические наблюдаемые) (т.е. {A ₁ ,f}={B ₁ ,f}=0 по ограниченному подпространству), и еще две A ₂ и B ₂ , которые также постоянны по орбитам, такие, что A ₁ и B ₁ согласуются с A ₂ и B ₂ соответственно по ограниченному подпространству, то их скобки Пуассона {A ₁ , B ₁ } и {A ₂ , B ₂ } также постоянны по орбитам и согласуются по ограниченному подпространству.

В общем случае нельзя исключать « эргодические » потоки (которые по сути означают, что орбита плотна в некотором открытом множестве) или «субэргодические» потоки (которые являются плотными в некотором подмногообразии размерности, большей, чем размерность орбиты). У нас не может быть самопересекающихся орбит.

Для большинства «практических» приложений ограничений первого класса мы не видим таких осложнений: факторпространство ограниченного подпространства по f-потокам (другими словами, пространство орбит) ведет себя достаточно хорошо, чтобы действовать как дифференцируемое многообразие , которое можно превратить в симплектическое многообразие , спроецировав на него симплектическую форму M (можно показать, что это хорошо определено ). В свете замечания о физических наблюдаемых, упомянутого ранее, мы можем работать с этим более «физическим» меньшим симплектическим многообразием, но с 2n меньшими измерениями.

В общем случае, с факторпространством немного сложно работать при выполнении конкретных вычислений (не говоря уже о нелокальности при работе с ограничениями диффеоморфизма ), поэтому обычно вместо этого делается что-то похожее. Обратите внимание, что ограниченное подмногообразие является расслоением ( но не расслоением в общем случае) над фактормногообразием. Таким образом, вместо работы с фактормногообразием мы можем работать с частью расслоения. Это называется фиксацией калибровки .

Основная проблема в том, что этот пучок может вообще не иметь глобального раздела . Вот тут-то и возникает «проблема» глобальных аномалий , например. Глобальная аномалия отличается от неоднозначности Грибова , которая возникает, когда фиксация калибровки не работает для однозначной фиксации калибровки, в глобальной аномалии нет последовательного определения калибровочного поля. Глобальная аномалия является препятствием для определения квантовой калибровочной теории, открытой Виттеном в 1980 году.

Описанные ограничения первого класса являются неприводимыми. Другое осложнение состоит в том, что Δf может не быть обратимым справа на подпространствах ограниченного подмногообразия коразмерности 1 или больше (что нарушает более сильное предположение, высказанное ранее в этой статье). Это происходит, например, в формулировке котетрада общей теории относительности , в подпространстве конфигураций, где поле котетрада и форма связности оказываются равными нулю над некоторым открытым подмножеством пространства. Здесь ограничения являются ограничениями диффеоморфизма.

Один из способов обойти это: для приводимых ограничений мы ослабляем условие правой обратимости Δ f до следующего: Любая гладкая функция, которая обращается в нуль в нулях f, является послойным стягиванием f с (неединственным) гладким сечением -векторного расслоения, где - двойственное векторное пространство к векторному пространству ограничений V. Это называется условием регулярности . ${\displaystyle {\bar {V}}}$ ${\displaystyle {\bar {V}}}$

Ограниченная гамильтонова динамика из лагранжевой калибровочной теории

Прежде всего, мы предположим, что действие является интегралом локального лагранжиана , который зависит только до первой производной полей. Анализ более общих случаев, хотя и возможен, более сложен. При переходе к гамильтонову формализму мы обнаруживаем, что существуют ограничения. Напомним, что в формализме действия существуют конфигурации на оболочке и вне оболочки . Ограничения, которые удерживают вне оболочки, называются первичными ограничениями, а те, которые удерживают только оболочку, называются вторичными ограничениями.

Примеры

Рассмотрим динамику отдельной точечной частицы массы m без внутренних степеней свободы, движущейся в псевдоримановом пространственно-временном многообразии S с метрикой g . Предположим также, что параметр τ , описывающий траекторию частицы, произволен (т.е. мы настаиваем на репараметризационной инвариантности ). Тогда ее симплектическое пространство является кокасательным расслоением T*S с канонической симплектической формой ω .

Если мы координируем T * S по его положению x в базовом многообразии S и его положению в кокасательном пространстве p , то мы имеем ограничение

f = m ² − g ( x ) ⁻¹ ( p , p ) = 0.

Гамильтониан H , как ни странно, равен H = 0. В свете наблюдения, что гамильтониан определен только до класса эквивалентности гладких функций, согласованных на ограниченном подпространстве, мы можем использовать вместо него новый гамильтониан H '= f . Тогда у нас есть интересный случай, когда гамильтониан совпадает с ограничением! Подробнее см. Ограничение гамильтониана .

Рассмотрим теперь случай теории Янга–Миллса для действительной простой алгебры Ли L (с отрицательно определенной формой Киллинга η ), минимально связанной с действительным скалярным полем σ , которое преобразуется как ортогональное представление ρ с лежащим в основе векторным пространством V относительно L в ( d − 1) + 1 пространстве-времени Минковского . Для l в L мы записываем

ρ(l)[σ]

как

л[σ]

для простоты. Пусть A будет L -значной формой связи теории. Обратите внимание, что A здесь отличается от A, используемого физиками, на коэффициент i и g . Это согласуется с математическим соглашением.

Действие S определяется как

${\displaystyle S[\mathbf {A} ,\sigma ]=\int d^{d}x{\frac {1}{4g^{2}}}\eta ((\mathbf {g} ^{-1}\otimes \mathbf {g} ^{-1})(\mathbf {F} ,\mathbf {F} ))+{\frac {1}{2}}\alpha (\mathbf {g} ^{-1}(D\sigma ,D\sigma ))}$

где g — метрика Минковского, F — форма кривизны

${\displaystyle d\mathbf {A} +\mathbf {A} \wedge \mathbf {A} }$

(никаких i s или g s!) где второй член — это формальное сокращение для представления скобки Ли как коммутатора, D — ковариантная производная

Dσ = dσ − A [σ]

и α — ортогональная форма для ρ .

Какова гамильтонова версия этой модели? Ну, во-первых, мы должны нековариантно разбить A на временную компоненту φ и пространственную часть A → . Затем, полученное симплектическое пространство имеет сопряженные переменные σ , π _σ (принимающие значения в базовом векторном пространстве , дуальном представлении ρ ), A → , π → _A , φ и π _φ . Для каждой пространственной точки у нас есть ограничения π _φ =0 и гауссово ограничение ${\displaystyle {\bar {\rho }}}$

${\displaystyle {\vec {D}}\cdot {\vec {\pi }}_{A}-\rho '(\pi _{\sigma },\sigma )=0}$

где, поскольку ρ является переплетателем

${\displaystyle \rho :L\otimes V\rightarrow V}$,

ρ ' — дуализированный переплетающий элемент

${\displaystyle \rho ':{\bar {V}}\otimes V\rightarrow L}$

( L самодвойственен через η ). Гамильтониан,

${\displaystyle H_{f}=\int d^{d-1}x{\frac {1}{2}}\alpha ^{-1}(\pi _{\sigma },\pi _{\sigma })+{\frac {1}{2}}\alpha ({\vec {D}}\sigma \cdot {\vec {D}}\sigma )-{\frac {g^{2}}{2}}\eta ({\vec {\pi }}_{A},{\vec {\pi }}_{A})-{\frac {1}{2g^{2}}}\eta (\mathbf {B} \cdot \mathbf {B} )-\eta (\pi _{\phi },f)-<\pi _{\sigma },\phi [\sigma ]>-\eta (\phi ,{\vec {D}}\cdot {\vec {\pi }}_{A}).}$

Последние два члена являются линейной комбинацией гауссовых ограничений, и у нас есть целое семейство (калибровочно-эквивалентных) гамильтонианов, параметризованных с помощью f . Фактически, поскольку последние три члена исчезают для ограниченных состояний, мы можем их отбросить.

Ограничения второго класса

В ограниченной гамильтоновой системе динамическая величина является величиной второго класса , если ее скобка Пуассона хотя бы с одним ограничением не обращается в нуль. Ограничение, имеющее ненулевую скобку Пуассона хотя бы с одним другим ограничением, является ограничением второго класса .

См. скобки Дирака для различных иллюстраций.

Пример: частица, ограниченная сферой.

Прежде чем перейти к общей теории, рассмотрим шаг за шагом конкретный пример, чтобы мотивировать общий анализ.

Начнем с действия, описывающего ньютоновскую частицу массы m, ограниченную сферической поверхностью радиуса R в однородном гравитационном поле g . При работе в лагранжевой механике существует несколько способов реализации ограничения: можно перейти к обобщенным координатам, которые явно решают ограничение, или можно использовать множитель Лагранжа, сохраняя избыточные координаты, ограниченные таким образом.

В этом случае частица ограничена сферой, поэтому естественным решением было бы использовать угловые координаты для описания положения частицы вместо декартовых и решить (автоматически устранить) ограничение таким образом (первый выбор). По педагогическим причинам вместо этого рассмотрим задачу в (избыточных) декартовых координатах с множителем Лагранжа, усиливающим ограничение.

Действие задается

${\displaystyle S=\int dtL=\int dt\left[{\frac {m}{2}}({\dot {x}}^{2}+{\dot {y}}^{2}+{\dot {z}}^{2})-mgz+{\frac {\lambda }{2}}(x^{2}+y^{2}+z^{2}-R^{2})\right]}$

где последний член — это множитель Лагранжа, обеспечивающий ограничение.

Конечно, как уже было сказано, мы могли бы просто использовать другие, не избыточные, сферические координаты и записать это как

${\displaystyle S=\int dt\left[{\frac {mR^{2}}{2}}({\dot {\theta }}^{2}+\sin ^{2}(\theta ){\dot {\phi }}^{2})+mgR\cos(\theta )\right]}$

вместо этого, без дополнительных ограничений; но мы рассматриваем первую координацию, чтобы проиллюстрировать ограничения.

Сопряженные импульсы определяются как

${\displaystyle p_{x}=m{\dot {x}}}$, , , . ${\displaystyle p_{y}=m{\dot {y}}}$ ${\displaystyle p_{z}=m{\dot {z}}}$ ${\displaystyle p_{\lambda }=0}$

Обратите внимание, что мы не можем определить •λ от импульсов.

Гамильтониан определяется как

${\displaystyle H={\vec {p}}\cdot {\dot {\vec {r}}}+p_{\lambda }{\dot {\lambda }}-L={\frac {p^{2}}{2m}}+p_{\lambda }{\dot {\lambda }}+mgz-{\frac {\lambda }{2}}(r^{2}-R^{2})}$.

Мы не можем исключить •λ на этом этапе еще. Мы здесь лечим •λ как сокращение для функции симплектического пространства , которую нам еще предстоит определить, а не как независимая переменная. Для согласованности обозначений, определим u ₁ = •λ с этого момента. Вышеуказанный гамильтониан с членом p _λ является «наивным гамильтонианом». Обратите внимание, что поскольку на оболочке ограничение должно быть выполнено, на оболочке нельзя различить наивный гамильтониан и вышеуказанный гамильтониан с неопределенным коэффициентом, •λ = и ₁ .

У нас есть первичное ограничение

р _λ =0 .

Мы требуем, исходя из соображений согласованности, чтобы скобка Пуассона всех ограничений с гамильтонианом обращалась в нуль в ограниченном подпространстве. Другими словами, ограничения не должны эволюционировать со временем, если они собираются быть тождественно нулевыми вдоль уравнений движения.

Из этого условия согласованности мы немедленно получаем вторичное ограничение

${\displaystyle {\begin{aligned}0&=\{H,p_{\lambda }\}_{\text{PB}}\\&=\sum _{i}{\frac {\partial H}{\partial q_{i}}}{\frac {\partial p_{\lambda }}{\partial p_{i}}}-{\frac {\partial H}{\partial p_{i}}}{\frac {\partial p_{\lambda }}{\partial q_{i}}}\\&={\frac {\partial H}{\partial \lambda }}\\&={\frac {1}{2}}(r^{2}-R^{2})\\&\Downarrow \\0&=r^{2}-R^{2}\end{aligned}}}$

Это ограничение следует добавить в гамильтониан с неопределенным (не обязательно постоянным) коэффициентом u _2, увеличив гамильтониан до

${\displaystyle H={\frac {p^{2}}{2m}}+mgz-{\frac {\lambda }{2}}(r^{2}-R^{2})+u_{1}p_{\lambda }+u_{2}(r^{2}-R^{2})~.}$

Аналогично из этого вторичного ограничения мы находим третичное ограничение

${\displaystyle {\begin{aligned}0&=\{H,r^{2}-R^{2}\}_{PB}\\&=\{H,x^{2}\}_{PB}+\{H,y^{2}\}_{PB}+\{H,z^{2}\}_{PB}\\&={\frac {\partial H}{\partial p_{x}}}2x+{\frac {\partial H}{\partial p_{y}}}2y+{\frac {\partial H}{\partial p_{z}}}2z\\&={\frac {2}{m}}(p_{x}x+p_{y}y+p_{z}z)\\&\Downarrow \\0&={\vec {p}}\cdot {\vec {r}}\end{aligned}}}$

Опять же, следует добавить это ограничение в гамильтониан, поскольку на оболочке никто не может заметить разницу. Поэтому, пока что, гамильтониан выглядит как

${\displaystyle H={\frac {p^{2}}{2m}}+mgz-{\frac {\lambda }{2}}(r^{2}-R^{2})+u_{1}p_{\lambda }+u_{2}(r^{2}-R^{2})+u_{3}{\vec {p}}\cdot {\vec {r}}~,}$

где u ₁ , u ₂ и u ₃ все еще полностью не определены.

Обратите внимание, что зачастую все ограничения, которые определяются из условий согласованности, называются вторичными ограничениями , а вторичные, третичные, четвертичные и т. д. ограничения не различаются.

Мы продолжаем крутить ручку, требуя, чтобы это новое ограничение имело исчезающий скобочный коэффициент Пуассона.

${\displaystyle 0=\{{\vec {p}}\cdot {\vec {r}},\,H\}_{PB}={\frac {p^{2}}{m}}-mgz+\lambda r^{2}-2u_{2}r^{2}.}$

Мы можем отчаяться и подумать, что этому нет конца, но поскольку появился один из новых множителей Лагранжа, это не новое ограничение, а условие, которое фиксирует множитель Лагранжа:

${\displaystyle u_{2}={\frac {\lambda }{2}}+{\frac {1}{r^{2}}}\left({\frac {p^{2}}{2m}}-{\frac {1}{2}}mgz\right).}$

Подставляя это в наш гамильтониан, получаем (после небольшой алгебры)

${\displaystyle H={\frac {p^{2}}{2m}}(2-{\frac {R^{2}}{r^{2}}})+{\frac {1}{2}}mgz(1+{\frac {R^{2}}{r^{2}}})+u_{1}p_{\lambda }+u_{3}{\vec {p}}\cdot {\vec {r}}}$

Теперь, когда в гамильтониане появились новые члены, следует вернуться и проверить условия согласованности для первичных и вторичных ограничений. Условие согласованности вторичного ограничения дает

${\displaystyle {\frac {2}{m}}{\vec {r}}\cdot {\vec {p}}+2u_{3}r^{2}=0.}$

Опять же, это не новое ограничение; оно лишь определяет, что

${\displaystyle u_{3}=-{\frac {{\vec {r}}\cdot {\vec {p}}}{mr^{2}}}~.}$

На этом этапе больше нет ограничений или условий согласованности для проверки !

Собирая все это вместе,

${\displaystyle H=\left(2-{\frac {R^{2}}{r^{2}}}\right){\frac {p^{2}}{2m}}+{\frac {1}{2}}\left(1+{\frac {R^{2}}{r^{2}}}\right)mgz-{\frac {({\vec {r}}\cdot {\vec {p}})^{2}}{mr^{2}}}+u_{1}p_{\lambda }}$.

При нахождении уравнений движения следует использовать приведенный выше гамильтониан, и если быть осторожным и никогда не использовать ограничения перед взятием производных в скобках Пуассона, то получим правильные уравнения движения. То есть, уравнения движения задаются как

${\displaystyle {\dot {\vec {r}}}=\{{\vec {r}},\,H\}_{PB},\quad {\dot {\vec {p}}}=\{{\vec {p}},\,H\}_{PB},\quad {\dot {\lambda }}=\{\lambda ,\,H\}_{PB},\quad {\dot {p}}_{\lambda }=\{p_{\lambda },H\}_{PB}.}$

Прежде чем анализировать гамильтониан, рассмотрим три ограничения:

${\displaystyle \varphi _{1}=p_{\lambda },\quad \varphi _{2}=r^{2}-R^{2},\quad \varphi _{3}={\vec {p}}\cdot {\vec {r}}.}$

Обратите внимание на нетривиальную структуру скобок Пуассона ограничений. В частности,

${\displaystyle \{\varphi _{2},\varphi _{3}\}=2r^{2}\neq 0.}$

Вышеуказанная скобка Пуассона не просто не исчезает вне оболочки, что можно было бы ожидать, но даже на оболочке она не равна нулю . Следовательно, φ ₂ и φ ₃ являются ограничениями второго рода , тогда как φ ₁ является ограничением первого рода. Обратите внимание, что эти ограничения удовлетворяют условию регулярности.

Здесь мы имеем симплектическое пространство, где скобка Пуассона не имеет "хороших свойств" на ограниченном подпространстве. Однако Дирак заметил, что мы можем превратить базовое дифференциальное многообразие симплектического пространства в многообразие Пуассона , используя его одноименную модифицированную скобку, называемую скобкой Дирака , так что эта скобка Дирака любой (гладкой) функции с любыми ограничениями второго рода всегда обращается в нуль .

Фактически, эти скобки (проиллюстрированные для этой сферической поверхности в статье о скобках Дирака ) проецируют систему обратно на поверхность ограничений. Если затем кто-то захочет канонически квантовать эту систему, то ему нужно будет продвигать канонические скобки Дирака ^{[4] ,} а не канонические скобки Пуассона к коммутационным соотношениям.

Рассмотрение приведенного выше гамильтониана показывает, что происходит ряд интересных вещей. Следует отметить, что на оболочке, когда ограничения выполнены, расширенный гамильтониан идентичен наивному гамильтониану, как и требовалось. Также следует отметить, что λ выпал из расширенного гамильтониана. Поскольку φ ₁ является первичным ограничением первого класса, его следует интерпретировать как генератор калибровочного преобразования. Калибровочная свобода — это свобода выбора λ , которая перестала оказывать какое-либо влияние на динамику частицы. Следовательно, то, что λ выпал из гамильтониана, то, что u ₁ не определено, и то, что φ ₁ = p _λ является первоклассным, тесно взаимосвязаны.

Обратите внимание, что было бы более естественно не начинать с лагранжиана с множителем Лагранжа, а вместо этого взять r ² − R ² в качестве первичного ограничения и пройти через формализм: Результатом было бы устранение посторонней динамической величины λ . Однако пример более поучителен в его текущей форме.

Пример: действие Proca

Другой пример, который мы будем использовать, это действие Proca . Поля и действие ${\displaystyle A^{\mu }=({\vec {A}},\phi )}$

${\displaystyle S=\int d^{d}xdt\left[{\frac {1}{2}}E^{2}-{\frac {1}{4}}B_{ij}B_{ij}-{\frac {m^{2}}{2}}A^{2}+{\frac {m^{2}}{2}}\phi ^{2}\right]}$

где

${\displaystyle {\vec {E}}\equiv -\nabla \phi -{\dot {\vec {A}}}}$

и

${\displaystyle B_{ij}\equiv {\frac {\partial A_{j}}{\partial x_{i}}}-{\frac {\partial A_{i}}{\partial x_{j}}}}$.

${\displaystyle ({\vec {A}},-{\vec {E}})}$и являются каноническими переменными . Ограничения второго класса — это ${\displaystyle (\phi ,\pi )}$

${\displaystyle \pi \approx 0}$

и

${\displaystyle \nabla \cdot {\vec {E}}+m^{2}\phi \approx 0}$.

Гамильтониан определяется как

${\displaystyle H=\int d^{d}x\left[{\frac {1}{2}}E^{2}+{\frac {1}{4}}B_{ij}B_{ij}-\pi \nabla \cdot {\vec {A}}+{\vec {E}}\cdot \nabla \phi +{\frac {m^{2}}{2}}A^{2}-{\frac {m^{2}}{2}}\phi ^{2}\right]}$.

Смотрите также

• скобка Дирака
• Голономное ограничение
• Анализ потоков

Ссылки

1. Ингемар Бенгтссон. "Ограниченные гамильтоновы системы" (PDF) . Стокгольмский университет . Получено 29 мая 2018 г. Мы начинаем с лагранжиана , выводим канонические импульсы, постулируем наивные скобки Пуассона и вычисляем гамильтониан. Для простоты предполагается, что не возникает никаких ограничений второго рода, или, если они возникают, то с ними уже разобрались, а наивные скобки заменены скобками Дирака. Остается набор ограничений [...] ${\displaystyle L(q,{\dot {q}}),}$
2. Дирак, Пол AM (1950), «Обобщенная гамильтонова динамика», Канадский журнал математики , 2 : 129–148, doi : 10.4153/CJM-1950-012-1 , ISSN  0008-414X, MR  0043724, S2CID  119748805
3. Дирак, Пол AM (1964), Лекции по квантовой механике, Серия монографий Высшей школы наук Белфера, т. 2, Высшая школа наук Белфера, Нью-Йорк, ISBN 9780486417134, МР  2220894. Полная перепечатка оригинала, Dover Publications, Нью-Йорк, 2001.
4. Corrigan, E.; Zachos, CK (1979). «Нелокальные заряды для суперсимметричной σ-модели». Physics Letters B. 88 ( 3–4): 273. Bibcode :1979PhLB...88..273C. doi :10.1016/0370-2693(79)90465-9.

Дальнейшее чтение

• Falck, NK; Hirshfeld, AC (1983). «Квантование скобок Дирака нелинейной системы со связями: жесткий ротатор». European Journal of Physics . 4 (1): 5–9. Bibcode : 1983EJPh....4....5F. doi : 10.1088/0143-0807/4/1/003. S2CID  250845310.
• Хомма, Т.; Инамото, Т.; Миядзаки, Т. (1990). «Уравнение Шредингера для нерелятивистской частицы, ограниченной гиперповерхностью в искривленном пространстве». Physical Review D. 42 ( 6): 2049–2056. Bibcode : 1990PhRvD..42.2049H. doi : 10.1103/PhysRevD.42.2049. PMID  10013054.