Последовательный модуль

В абстрактной алгебре однорядный модуль M — это модуль над кольцом R , подмодули которого полностью упорядочены по включению . Это просто означает, что для любых двух подмодулей N ₁ и N ₂ из M выполняется либо либо . Модуль называется последовательным модулем, если он является прямой суммой однорядных модулей. Кольцо R называется праворядным кольцом, если оно однорядно как правый модуль над собой, и также называется праворядным кольцом, если оно является праворядным модулем над собой. Леворядные и леворядные кольца определяются аналогичным образом и в общем случае отличаются от своих правосторонних аналогов. ${\displaystyle N_{1}\subseteq N_{2}}$ ${\displaystyle N_{2}\subseteq N_{1}}$

Простым мотивирующим примером является фактор-кольцо для любого целого числа . Это кольцо всегда последовательное, и однопорядковое, когда n является степенью простого числа . ${\displaystyle \mathbb {Z} /n\mathbb {Z} }$ ${\displaystyle n>1}$

Термин «односерийный» использовался иначе, чем в приведенном выше определении: пояснения см. ниже.

Неполный алфавитный список важных авторов теории серийных колец включает математиков Кейзо Асано, И.С. Коэна, П.М. Кона , Ю. Дрозд, Д. Эйзенбуд , А. Факкини, А. В. Голди , Филип Гриффит, И. Капланский , В. В. Кириченко, Г. Кете , Х. Куппиш, И. Мурасе, Т. Накаяма , П. Пржихода, Г. Пунински и Р. Варфилд. ^[1]

Следуя общему соглашению о теории колец, если условие зависимости слева/справа дано без упоминания стороны (например, однорядное, последовательное, артиново , нётерово ), то предполагается, что условие выполняется как слева, так и справа. Если не указано иное, каждое кольцо в этой статье является кольцом с единицей , а каждый модуль является единичным .

Свойства однопоследовательных и последовательных колец и модулей

Непосредственно видно, что в однорядном R -модуле M все подмодули, кроме M и 0, одновременно существенны и избыточны . Если M имеет максимальный подмодуль , то M является локальным модулем. M также, очевидно, является равномерным модулем и, таким образом, непосредственно неразложим. Также легко видеть, что каждый конечно порождённый подмодуль M может быть порождён одним элементом, и поэтому M является модулем Безу .

Известно, что кольцо эндоморфизмов End _R  M является полулокальным кольцом , которое очень близко к локальному кольцу в том смысле, что End _R  M имеет не более двух максимальных правых идеалов . Если M предполагается артиновым или нётеровым, то End _R  M является локальным кольцом.

Поскольку кольца с единицей всегда имеют максимальный правый идеал, правое однорядное кольцо обязательно локально. Как отмечалось ранее, конечно порожденный правый идеал может быть порожден одним элементом, и поэтому правое однорядное кольцо является правым кольцом Безу . Правое последовательное кольцо R обязательно факторизуется в форме , где каждый e _i является идемпотентным элементом , а e _i R является локальным однорядным модулем. Это указывает на то, что R также является полусовершенным кольцом , что является более сильным условием, чем быть полулокальным кольцом. ${\displaystyle R=\oplus _{i=1}^{n}e_{i}R}$

Кёте показал, что модули артиновых колец главных идеалов (которые являются частным случаем последовательных колец) являются прямыми суммами циклических подмодулей . Позже Коэн и Капланский определили, что коммутативное кольцо R обладает этим свойством для своих модулей тогда и только тогда, когда R является артиновым кольцом главных идеалов. Накаяма показал, что артиновы последовательные кольца обладают этим свойством для своих модулей, и что обратное неверно

Самый общий результат, возможно, о модулях сериального кольца приписывается Дрозду и Уорфилду: он утверждает, что каждый конечно представимый модуль над сериальным кольцом является прямой суммой циклических однорядных подмодулей (и, следовательно, является сериальным). Если дополнительно предположить, что кольцо нётерово, то конечно представимые и конечно порождённые модули совпадают, и поэтому все конечно порождённые модули являются сериальными.

Правосерийность сохраняется при прямых произведениях колец и модулей, и сохраняется при частных колец . Однорядность сохраняется при частных колец и модулей, но никогда не сохраняется при произведениях. Прямое слагаемое последовательного модуля не обязательно является последовательным, как доказал Пунински, но прямые слагаемые конечных прямых сумм однорядных модулей являются последовательными модулями. ^[2]

Было подтверждено, что гипотеза Джекобсона верна в нётеровых последовательных кольцах. ^[3]

Примеры

Любой простой модуль тривиально однопоследовательен, и аналогично полупростые модули являются последовательными модулями.

Множество примеров серийных колец можно почерпнуть из структурных разделов выше. Каждое кольцо оценки является однорядным кольцом, и все артиновы главные идеальные кольца являются серийными кольцами, как показано на примере полупростых колец .

Более экзотические примеры включают верхние треугольные матрицы над телом T _n  D и групповое кольцо для некоторого конечного поля простой характеристики p и группу G , имеющую циклическую нормальную p - силовскую подгруппу . ${\displaystyle \mathbb {F} [G]}$

Структура

В этом разделе мы будем в основном рассматривать нётеровы последовательные кольца и их подкласс, артиновы последовательные кольца. В общем случае кольца сначала разбиваются на неразложимые кольца. Как только структура этих колец известна, разложимые кольца являются прямыми произведениями неразложимых. Кроме того, для полусовершенных колец, таких как последовательные кольца, базовое кольцо эквивалентно Морите исходному кольцу. Таким образом, если R — последовательное кольцо с базовым кольцом B , и структура B известна, теория эквивалентности Морите дает, что где P — некоторый конечно порожденный прогенератор B . Вот почему результаты сформулированы в терминах неразложимых базовых колец. ${\displaystyle R\cong \mathrm {End} _{B}(P)}$

В 1975 году Кириченко и Уорфилд независимо и одновременно опубликовали анализ структуры нётеровых, неартиновых последовательных колец. Результаты были одинаковыми, однако методы, которые они использовали, сильно отличались друг от друга. Изучение наследственных , нётеровых, первичных колец , а также колчанов, определенных на последовательных кольцах, было важными инструментами. Основной результат гласит, что правое нётерово, неартиново, базисное, неразложимое последовательное кольцо может быть описано как тип матричного кольца над нётеровой, однорядной областью V , радикал Джекобсона J( V ) которой ненулевой. Это матричное кольцо является подкольцом M _n ( V ) для некоторого n и состоит из матриц с элементами из V на диагонали и выше и элементами из J( V ) ниже.

Структура артинова последовательного кольца классифицируется в случаях в зависимости от структуры колчана. Оказывается, что структура колчана для базового, неразложимого, артинова последовательного кольца всегда является окружностью или прямой. В случае линейного колчана кольцо изоморфно верхним треугольным матрицам над телом (обратите внимание на сходство со структурой нётеровых последовательных колец в предыдущем абзаце). Полное описание структуры в случае колчана в виде круга выходит за рамки этой статьи, но его можно найти в (Puninski 2002). Перефразируя результат, как он там представлен: Базовое артиново последовательное кольцо, колчан которого является окружностью, является гомоморфным образом «раздутия» базового, неразложимого, последовательного квазифробениусова кольца .

Свойство уникальности разложения

Говорят, что два модуля U и V имеют один и тот же класс моногении , обозначаемый , если существует мономорфизм и мономорфизм . Можно определить двойственное понятие: говорят, что модули имеют один и тот же класс эпигении , обозначаемый , если существует эпиморфизм и эпиморфизм . ${\displaystyle [U]_{m}=[V]_{m}}$ ${\displaystyle U\rightarrow V}$ ${\displaystyle V\rightarrow U}$ ${\displaystyle [U]_{e}=[V]_{e}}$ ${\displaystyle U\rightarrow V}$ ${\displaystyle V\rightarrow U}$

Имеет место следующая слабая форма теоремы Крулля-Шмидта . Пусть U ₁ , ..., U _n , V ₁ , ..., V _t — n + t ненулевые цепные правые модули над кольцом R . Тогда прямые суммы и являются изоморфными R -модулями тогда и только тогда, когда n = t и существуют две перестановки и элементов 1, 2, ..., n такие, что и для каждого i = 1, 2, ..., n . ${\displaystyle U_{1}\oplus \dots \oplus U_{n}}$ ${\displaystyle V_{1}\oplus \dots \oplus V_{t}}$ ${\displaystyle \sigma }$ ${\displaystyle \tau }$ ${\displaystyle [U_{i}]_{m}=[V_{\sigma (i)}]_{m}}$ ${\displaystyle [U_{i}]_{e}=[V_{\tau (i)}]_{e}}$

Этот результат, принадлежащий Факкини, был распространен на бесконечные прямые суммы однорядных модулей Пржиходой в 2006 году. Это расширение включает так называемые квазималые однорядные модули. Эти модули были определены Нгуеном Вьет Зунгом и Факкини, а их существование было доказано Пунинским. Слабая форма теоремы Крулля-Шмидта справедлива не только для однорядных модулей, но и для нескольких других классов модулей (биоднородные модули, циклически представленные модули над сериальными кольцами, ядра морфизмов между неразложимыми инъективными модулями , кооднородно представленные модули.)

Примечания по альтернативным, похожим и связанным терминам

Правые однорядные кольца также могут называться правыми цепными кольцами ^[4] или правыми кольцами оценки . Этот последний термин намекает на кольца оценки , которые по определению являются коммутативными, однорядными областями . Подобным же образом однорядные модули были названы цепными модулями , а последовательные модули — полуцепными модулями . Понятие цепного кольца имеет свое название «цепь», но в целом оно не связано с цепными кольцами.

В 1930-х годах Готфрид Кёте и Кейдзо Асано ввели термин Einreihig (буквально «однорядный») во время исследований колец, над которыми все модули являются прямыми суммами циклических подмодулей. ^[5] По этой причине термин «однорядный» использовался для обозначения «артинова главного идеального кольца» даже совсем недавно, в 1970-х годах. В работе Кёте также требовалось, чтобы однорядное кольцо имело уникальный композиционный ряд , который не только заставляет правые и левые идеалы быть линейно упорядоченными, но также требует, чтобы в цепях левых и правых идеалов было только конечное число идеалов. Из-за этого исторического прецедента некоторые авторы включают артиновское условие или условие конечной композиционной длины в свои определения однорядных модулей и колец.

Развивая работу Кёте, Тадаси Накаяма использовал термин обобщенное однорядное кольцо ^[6] для обозначения артинова последовательного кольца. Накаяма показал, что все модули над такими кольцами являются последовательными. Артиновы последовательные кольца иногда называют алгебрами Накаямы , и у них есть хорошо развитая теория модулей.

Уорфилд использовал термин однородно последовательный модуль для последовательного модуля с дополнительным свойством, что для любых двух конечно порождённых подмодулей A и B , где J (−) обозначает радикал Джекобсона модуля. ^[7] В модуле с конечной длиной композиции это приводит к тому, что факторы композиции становятся изоморфными, отсюда и прилагательное «однородный». Оказывается, что последовательное кольцо R является конечной прямой суммой однородно последовательных правых идеалов тогда и только тогда, когда R изоморфно полному кольцу матриц n  ×  n над локальным последовательным кольцом. Такие кольца также известны как первично разложимые последовательные кольца . ^{[8] [9]} ${\displaystyle A/J(A)\cong B/J(B)}$

Примечания

1. Ссылки на каждого автора можно найти в работах Пунинского (2001a) и Хазевинкеля, Губарени и Кириченко (2004).
2. Příhoda 2004.
3. Чаттерс и Хаджарнавис 1980.
4. Вера 1999.
5. Кёте 1935.
6. Накаяма 1941.
7. Уорфилд 1975.
8. Вера 1976.
9. Хазевинкель, Губарени и Кириченко 2004.

Учебники

• Фрэнк В. Андерсон; Кент Р. Фуллер (1992), Кольца и категории модулей, Springer, стр. 347–349, ISBN 0-387-97845-3
• Чаттерс, AW; Хаджарнавис, CR (1980), Кольца с цепными условиями , Research Notes in Mathematics, т. 44, Pitman, ISBN 978-0-273-08446-4
• Факкини, Альберто (1998), Кольца эндоморфизмов и разложения в прямую сумму в некоторых классах модулей , Birkhäuser Verlag, ISBN 3-7643-5908-0
• Фейт, Карл (1976), Алгебра. II. Теория колец. , Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften, № 191. Springer-Verlag.
• Фейт, Карл (1999), Кольца и вещи и прекрасный массив ассоциативной алгебры двадцатого века , Математические обзоры и монографии, 65. Американское математическое общество, ISBN 0-8218-0993-8
• Хазевинкель, Михель ; Губарени, Надежда; Кириченко В.В. (2004), Алгебры, кольца и модули. Том. 1. , Kluwer Academic Publishers, ISBN. 1-4020-2690-0
• Пунинский, Геннадий (2001a), Серийные кольца , Kluwer Academic Publishers, ISBN 0-7923-7187-9

Первичные источники

• Эйзенбуд, Дэвид; Гриффит, Филипп (1971), «Структура серийных колец», Pacific J. Math. , 36 : 109–121, doi : 10.2140/pjm.1971.36.109
• Факкини, Альберто (1996), «Крулл-Шмидт терпит неудачу для последовательных модулей», Trans. Amer. Math. Soc. , 348 (11): 4561–4575, doi : 10.1090/s0002-9947-96-01740-0
• Кете, Готфрид (1935), "Verallgemeinerte Abelsche Gruppen mit Hyperkomplexem Operatingenring. (Немецкий)", Math. З. , 39 : 31–44, doi :10.1007/bf01201343
• Накаяма, Тадаси (1941), «Об алгебрах Фробениусова. II.», Анналы математики , вторая серия, 42 (1): 1–21, doi : 10.2307/1968984, hdl : 10338.dmlcz/140501 , JSTOR  1968984
• Пржигода, Павел (2004), «Слабая теорема Крулля-Шмидта и разложения в прямую сумму последовательных модулей конечной размерности Голди», Журнал алгебры , 281 : 332–341, doi : 10.1016/j.jalgebra.2004.06.027
• Пржигода, Павел (2006), «Версия слабой теоремы Крулля-Шмидта для бесконечных прямых сумм однорядных модулей», Comm. Algebra , 34 (4): 1479–1487, doi :10.1080/00927870500455049
• Puninski, GT (2002), "Артиновы и нётеровы последовательные кольца.", J. Math. Sci. (Нью-Йорк) , 110 : 2330–2347, doi : 10.1023/A:1014906008243
• Пунинский, Геннадий (2001b), «Некоторая теория моделей над почти простой однорядной областью и разложения последовательных модулей», J. Pure Appl. Algebra , 163 (3): 319–337, doi : 10.1016/s0022-4049(00)00140-7
• Пунинский, Геннадий (2001c), «Некоторая теория моделей над исключительным однорядным кольцом и разложения последовательных модулей», Журнал Лондонского математического общества , 64 (2): 311–326, doi :10.1112/s0024610701002344
• Уорфилд, Роберт Б. младший (1975), «Последовательные кольца и конечно представленные модули», Журнал алгебры , 37 (2): 187–222, doi : 10.1016/0021-8693(75)90074-5