Функция со значением множества (или соответствие ) — это математическая функция, которая отображает элементы из одного множества, области определения функции , в подмножества другого множества. Функции со значением множества используются в различных областях математики, включая оптимизацию , теорию управления и теорию игр .
В некоторых источниках функции со значениями множества также известны как многозначные функции, [1], но здесь и во многих других источниках по математическому анализу многозначная функция — это функция со значениями множества f , которая имеет еще одно свойство непрерывности , а именно, что выбор элемента в наборе определяет соответствующий элемент в каждом наборе для y, близкого к x , и, таким образом, локально определяет обычную функцию.
Argmax функции в общем случае многозначен. Например, .
Множественнозначный анализ — это изучение множеств в духе математического анализа и общей топологии .
Вместо того, чтобы рассматривать наборы только точек, многозначный анализ рассматривает наборы наборов. Если набор наборов наделен топологией или наследует соответствующую топологию из базового топологического пространства, то можно изучать сходимость наборов.
Большая часть анализа со значениями множеств возникла в результате изучения математической экономики и оптимального управления , частично как обобщение выпуклого анализа ; термин « вариационный анализ » используется такими авторами, как Р. Тиррелл Рокафеллар и Роджер Дж. Б. Уэтс , Джонатан Борвейн и Адриан Льюис , а также Борис Мордухович . В теории оптимизации сходимость аппроксимирующих субдифференциалов к субдифференциалу важна для понимания необходимых или достаточных условий для любой минимизирующей точки.
Существуют многозначные расширения следующих концепций из точечного анализа: непрерывность , дифференциация , интегрирование , [2] теорема о неявной функции , сжимающие отображения , теория меры , теоремы о неподвижной точке , [3] оптимизация и топологическая теория степени . В частности, уравнения обобщаются на включения , в то время как дифференциальные уравнения обобщаются на дифференциальные включения .
Можно выделить несколько концепций, обобщающих непрерывность , например, свойство замкнутого графика и геминепрерывность сверху и снизу [a] . Существуют также различные обобщения меры на мультифункции.
Функции со значениями множества возникают в теории оптимального управления , особенно в дифференциальных включениях и связанных с ними предметах, таких как теория игр , где теорема Какутани о неподвижной точке для функций со значениями множества была применена для доказательства существования равновесий Нэша . Это среди многих других свойств, слабо связанных с аппроксимируемостью верхних геминепрерывных мультифункций через непрерывные функции, объясняет, почему верхняя геминепрерывность более предпочтительна, чем нижняя геминепрерывность.
Тем не менее, полунепрерывные снизу мультифункции обычно обладают непрерывными выборками, как указано в теореме выбора Майкла , которая дает другую характеристику паракомпактных пространств. [4] [5] Другие теоремы выбора, такие как направленный непрерывный выбор Брессана-Коломбо, теорема измеримого выбора Куратовского и Рылля-Нардзевского , измеримый выбор Ауманна и выбор Фрышковского для разложимых отображений, важны в оптимальном управлении и теории дифференциальных включений .
