Модель Сигмы

Теория поля точечной частицы, движущейся по неподвижному многообразию

В физике сигма -модель — это теория поля , которая описывает поле как точечную частицу, способную двигаться по фиксированному многообразию. Это многообразие может быть любым римановым многообразием , хотя чаще всего оно считается либо группой Ли , либо симметрическим пространством . Модель может быть квантованной, а может и не быть квантованной. Примером неквантованной версии является модель Скирма ; его нельзя квантовать из-за нелинейности степени больше 4. В общем, сигма-модели допускают (классические) топологические солитонные решения, например, Скирмион для модели Скирма. Когда сигма-поле связано с калибровочным полем, результирующая модель описывается теорией Гинзбурга – Ландау . Данная статья посвящена в первую очередь классической теории поля сигма-модели; соответствующая квантовая теория представлена ​​в статье « Нелинейная сигма-модель ».

Обзор

Название имеет корни в физике элементарных частиц, где сигма-модель описывает взаимодействия пионов . К сожалению, «сигма-мезон» не описывается сигма-моделью, а лишь ее компонент. ^[1]

Сигма-модель была представлена ​​Гелл-Манном и Леви (1960, раздел 5); Название σ-модель происходит от поля в их модели, соответствующего бесспиновому мезону под названием σ , скалярному мезону, введенному ранее Джулианом Швингером . ^[2] Модель служила доминирующим прототипом спонтанного нарушения симметрии O(4) вплоть до O(3): три нарушенных аксиальных генератора являются простейшим проявлением нарушения киральной симметрии , а сохранившийся ненарушенный O(3) представляет собой изоспин .

В традиционных установках физики элементарных частиц поле обычно считается SU(N) или векторным подпространством частного произведения левого и правого киральных полей. В теориях конденсированного состояния поле принимается равным O(N) . Для группы вращения O(3) сигма-модель описывает изотропный ферромагнетик ; В более общем плане модель O(N) проявляется в квантовом эффекте Холла , сверхтекучем гелии-3 и спиновых цепочках . ${\displaystyle (SU(N)_{L}\times SU(N)_{R})/SU(N)}$

В моделях супергравитации поле считается симметричным пространством . Поскольку симметрические пространства определяются в терминах их инволюции , их касательное пространство естественным образом распадается на подпространства четной и нечетной четности. Это расщепление помогает способствовать уменьшению размерностей теорий Калуцы – Клейна .

В своей самой базовой форме сигма-модель можно рассматривать как чисто кинетическую энергию точечной частицы; как поле это просто энергия Дирихле в евклидовом пространстве.

В двух пространственных измерениях модель O(3) полностью интегрируема .

Определение

Лагранжева плотность сигма-модели может быть записана множеством различных способов, каждый из которых подходит для определенного типа приложения. Самое простое и общее определение описывает лагранжиан как метрический след обратного образа метрического тензора на римановом многообразии . Для поля в пространстве -времени это можно записать как ${\displaystyle \phi :M\to \Phi }$ ${\displaystyle M}$

${\displaystyle {\mathcal {L}}={\frac {1}{2}}\sum _{i=1}^{n}\sum _{j=1}^{n}g_{ij}(\phi )\;\partial ^{\mu }\phi _{i}\partial _{\mu }\phi _{j}}$

где - метрический тензор в пространстве полей , а - производные на базовом пространственно-временном многообразии . ${\displaystyle g_{ij}(\phi )}$ ${\displaystyle \phi \in \Phi }$ ${\displaystyle \partial _{\mu }}$

Это выражение можно немного распаковать. Пространством поля можно выбрать любое риманово многообразие . Исторически это «сигма» сигма-модели; исторически подходящий символ здесь избегается, чтобы предотвратить конфликты со многими другими распространенными использованиями в геометрии. Римановы многообразия всегда имеют метрический тензор . Учитывая атлас карт на , пространство полей всегда можно локально тривиализировать , поскольку, как указано в атласе, можно написать карту , дающую явные локальные координаты на этом участке. Метрический тензор на этом участке представляет собой матрицу, имеющую компоненты ${\displaystyle \Phi }$ ${\displaystyle \sigma }$ ${\displaystyle \sigma }$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle \Phi }$ ${\displaystyle U\subset \Phi }$ ${\displaystyle U\to \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle \phi =(\phi ^{1},\cdots ,\phi ^{n})}$ ${\displaystyle g_{ij}(\phi ).}$

Базовое многообразие должно быть дифференцируемым многообразием ; по соглашению, это либо пространство Минковского в приложениях физики элементарных частиц , плоское двумерное евклидово пространство для приложений конденсированного состояния , либо риманова поверхность , мировой лист в теории струн . Это просто старая добрая ковариантная производная на базовом пространственно-временном многообразии. Когда оно плоское, это просто обычный градиент скалярной функции (как и скалярное поле с точки зрения самого себя). Говоря более точным языком, это секция реактивного пучка . _ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle \partial _{\mu }\phi =\partial \phi /\partial x^{\mu }}$ ${\displaystyle M.}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle \partial _{\mu }\phi =\nabla \phi }$ ${\displaystyle \phi }$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle \partial _{\mu }\phi }$ ${\displaystyle M\times \Phi }$

Пример: нелинейная сигма-модель O(N)

Взяв дельту Кронекера , т.е. скалярное скалярное произведение в евклидовом пространстве, можно получить нелинейную сигма-модель. То есть, запишите единичный вектор в , так что с обычным евклидовым скалярным произведением. Затем -сфера , изометриями которой являются группы вращений . Тогда лагранжиан можно записать как ${\displaystyle g_{ij}=\delta _{ij}}$ ${\displaystyle O(n)}$ ${\displaystyle \phi ={\hat {u}}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle {\hat {u}}\cdot {\hat {u}}=1}$ ${\displaystyle \cdot }$ ${\displaystyle {\hat {u}}\in S^{n-1}}$ ${\displaystyle (n-1)}$ ${\displaystyle O(n)}$

${\displaystyle {\mathcal {L}}={\frac {1}{2}}\nabla _{\mu }{\hat {u}}\cdot \nabla _{\mu }{\hat {u}}}$

Для это предел континуума изотропного ферромагнетика на решетке, т.е. классической модели Гейзенберга . Для это предел континуума классической модели XY . См. также n-векторную модель и модель Поттса для обзоров эквивалентов решетчатой ​​модели . Предел континуума берется записью ${\displaystyle n=3}$ ${\displaystyle n=2}$

${\displaystyle \delta _{h}[{\hat {u}}](i,j)={\frac {{\hat {u}}_{i}-{\hat {u}}_{j}}{h}}}$

как конечная разность в соседних узлах решетки. Тогда в пределе и после исключения постоянных членов («объемная намагниченность»). ${\displaystyle i,j.}$ ${\displaystyle \delta _{h}[{\hat {u}}]\to \partial _{\mu }{\hat {u}}}$ ${\displaystyle h\to 0}$ ${\displaystyle {\hat {u}}_{i}\cdot {\hat {u}}_{j}\to \partial _{\mu }{\hat {u}}\cdot \partial _{\mu }{\hat {u}}}$ ${\displaystyle {\hat {u}}_{i}\cdot {\hat {u}}_{i}=1}$

В геометрических обозначениях

Сигма-модель также можно записать в более полной геометрической записи как расслоение со слоями над дифференцируемым многообразием . Учитывая сечение , зафиксируйте точку. Продвижение в - это карта касательных расслоений. ${\displaystyle \Phi }$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle \phi :M\to \Phi }$ ${\displaystyle x\in M.}$ ${\displaystyle x}$

${\displaystyle \mathrm {d} _{x}\phi :T_{x}M\to T_{\phi (x)}\Phi \quad }$принимая ${\displaystyle \quad \partial _{\mu }\mapsto {\frac {\partial \phi ^{i}}{\partial x^{\mu }}}\partial _{i}}$

где принимается базис ортонормированного векторного пространства на и базис векторного пространства на . Это дифференциальная форма . В таком случае действие сигма-модели представляет собой просто обычный внутренний продукт векторнозначных k -форм. ${\displaystyle \partial _{\mu }=\partial /\partial x^{\mu }}$ ${\displaystyle TM}$ ${\displaystyle \partial _{i}=\partial /\partial q^{i}}$ ${\displaystyle T\Phi }$ ${\displaystyle \mathrm {d} \phi }$

${\displaystyle {\mathcal {S}}={\frac {1}{2}}\int _{M}\mathrm {d} \phi \wedge {*\mathrm {d} \phi }}$

где – произведение клина , а – звезда Ходжа . Это внутренний продукт в двух разных смыслах. Первым способом, учитывая любые две дифференцируемые формы в , двойственный Ходж определяет инвариантный скалярный продукт в пространстве дифференциальных форм, обычно записываемый как ${\displaystyle \wedge }$ ${\displaystyle *}$ ${\displaystyle \alpha ,\beta }$ ${\displaystyle M}$

${\displaystyle \langle \!\langle \alpha ,\beta \rangle \!\rangle \ =\ \int _{M}\alpha \wedge {*\beta }}$

Вышеупомянутое является внутренним произведением в пространстве интегрируемых с квадратом форм, которое условно принято называть пространством Соболева . Таким образом, можно написать ${\displaystyle L^{2}.}$

${\displaystyle {\mathcal {S}}={\frac {1}{2}}\langle \!\langle \mathrm {d} \phi ,\mathrm {d} \phi \rangle \!\rangle }$

Это делает очевидным и очевидным, что сигма-модель — это просто кинетическая энергия точечной частицы. С точки зрения многообразия поле является скаляром, и поэтому его можно признать обычным градиентом скалярной функции. Звезда Ходжа — это просто причудливое устройство для отслеживания формы объема при интегрировании в искривленном пространстве-времени. В случае плоского варианта его можно полностью игнорировать, поэтому действие ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle \phi }$ ${\displaystyle \mathrm {d} \phi }$ ${\displaystyle M}$

${\displaystyle {\mathcal {S}}={\frac {1}{2}}\int _{M}\Vert \nabla \phi \Vert ^{2}d^{m}x}$

что является энергией Дирихле . Классическими экстремумами действия (решениями уравнений Лагранжа ) являются тогда те конфигурации поля, которые минимизируют энергию Дирихле . Другой способ преобразовать это выражение в более легко узнаваемую форму — заметить, что для скалярной функции можно также написать ${\displaystyle \phi }$ ${\displaystyle \phi }$ ${\displaystyle f:M\to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathrm {d} *f=0}$

${\displaystyle {\mathcal {S}}={\frac {1}{2}}\langle \!\langle \phi ,\Delta \phi \rangle \!\rangle }$

где – оператор Лапласа–Бельтрами , т.е. обычный лапласиан, когда он плоский. ${\displaystyle \Delta }$ ${\displaystyle M}$

Для того, чтобы в игре присутствует еще один , второй внутренний продукт, просто необходимо не забывать, что это вектор с точки зрения самого себя. То есть для любых двух векторов риманова метрика определяет скалярный продукт ${\displaystyle \mathrm {d} \phi }$ ${\displaystyle \Phi }$ ${\displaystyle v,w\in T\Phi }$ ${\displaystyle g_{ij}}$

${\displaystyle \langle v,w\rangle =g_{ij}v^{i}w^{j}}$

Поскольку на локальных диаграммах он имеет векторное значение , туда также берется внутренний продукт. Более многословно, ${\displaystyle \mathrm {d} \phi }$ ${\displaystyle \mathrm {d} \phi =(\mathrm {d} \phi ^{1},\cdots ,\mathrm {d} \phi ^{n})}$

${\displaystyle {\mathcal {S}}={\frac {1}{2}}\int _{M}g_{ij}(\phi )\;\mathrm {d} \phi ^{i}\wedge {*\mathrm {d} \phi ^{j}}}$

Напряженность между этими двумя внутренними продуктами можно сделать еще более явной, если отметить, что

${\displaystyle B_{\mu \nu }(\phi )=g_{ij}\partial _{\mu }\phi ^{i}\partial _{\nu }\phi ^{j}}$

является билинейной формой ; это возврат к метрике Римана . Индивидуума можно принять за vielbeins . Лагранжева плотность сигма-модели тогда равна ${\displaystyle g_{ij}}$ ${\displaystyle \partial _{\mu }\phi ^{i}}$

${\displaystyle {\mathcal {L}}={\frac {1}{2}}g^{\mu \nu }B_{\mu \nu }}$

для метрики на Учитывая это склеивание, можно интерпретировать как форму припоя ; более подробно это сформулировано ниже. ${\displaystyle g_{\mu \nu }}$ ${\displaystyle M.}$ ${\displaystyle \mathrm {d} \phi }$

Мотивации и основные интерпретации

По поводу классической (неквантованной) сигма-модели можно сделать несколько интерпретационных и основополагающих замечаний. Первое из них заключается в том, что классическую сигма-модель можно интерпретировать как модель невзаимодействующей квантовой механики. Второе касается интерпретации энергии.

Интерпретация как квантовая механика

Это следует непосредственно из выражения

${\displaystyle {\mathcal {S}}={\frac {1}{2}}\langle \!\langle \phi ,\Delta \phi \rangle \!\rangle }$

приведено выше. Принимая , функцию можно интерпретировать как волновую функцию , а ее лапласиан - как кинетическую энергию этой волновой функции. Это всего лишь некая геометрическая машина, напоминающая о необходимости интегрироваться во всем пространстве. Соответствующие квантово-механические обозначения: В плоском пространстве лапласиан обычно записывается как . Собрав все эти части вместе, действие сигма-модели эквивалентно ${\displaystyle \Phi =\mathbb {C} }$ ${\displaystyle \phi :M\to \mathbb {C} }$ ${\displaystyle \langle \!\langle \cdot ,\cdot \rangle \!\rangle }$ ${\displaystyle \phi =|\psi \rangle .}$ ${\displaystyle \Delta =\nabla ^{2}}$

${\displaystyle {\mathcal {S}}={\frac {1}{2}}\int _{M}\langle \psi |\nabla ^{2}|\psi \rangle dx^{m}={\frac {1}{2}}\int _{M}\psi ^{\dagger }(x)\nabla ^{2}\psi (x)dx^{m}}$

что представляет собой просто общую кинетическую энергию волновой функции с точностью до коэффициента . В заключение отметим, что классическую сигма-модель можно интерпретировать как квантовую механику свободной невзаимодействующей квантовой частицы. Очевидно, что добавление члена к лагранжиану приводит к квантовой механике волновой функции в потенциале. Взятия недостаточно для описания системы -частиц, поскольку частицам требуются отдельные координаты, которые не предоставляются базовым многообразием. Эту проблему можно решить, сделав копии базового коллектора. ${\displaystyle \psi (x)}$ ${\displaystyle \hbar /m}$ ${\displaystyle \mathbb {C} }$ ${\displaystyle V(\phi )}$ ${\displaystyle \Phi =\mathbb {C} ^{n}}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle n}$

Форма припоя

Очень хорошо известно, что геодезическая структура риманова многообразия описывается уравнениями Гамильтона–Якоби . ^[3] В миниатюрном виде конструкция выглядит следующим образом. Оба и являются римановыми многообразиями; ниже написано для , то же самое можно сделать и для . Кокасательное расслоение , снабженное координатными картами , всегда может быть локально тривиализировано , т.е. ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle \Phi }$ ${\displaystyle \Phi }$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle T^{*}\Phi }$

${\displaystyle \left.T^{*}\Phi \right|_{U}\cong U\times \mathbb {R} ^{n}}$

Тривиализация предоставляет канонические координаты на кокасательном расслоении. По метрическому тензору на определим функцию Гамильтона ${\displaystyle (q^{1},\cdots ,q^{n},p_{1},\cdots ,p_{n})}$ ${\displaystyle g_{ij}}$ ${\displaystyle \Phi }$

${\displaystyle H(q,p)={\frac {1}{2}}g^{ij}(q)p_{i}p_{j}}$

где, как всегда, следует отметить, что в этом определении используется обратная метрика: как известно, геодезический поток на задается уравнениями Гамильтона – Якоби ${\displaystyle g^{ij}g_{jk}=\delta _{k}^{i}.}$ ${\displaystyle \Phi }$

${\displaystyle {\dot {q}}^{i}={\frac {\partial H}{\partial p_{i}}}\quad }$и ${\displaystyle \quad {\dot {p}}_{i}=-{\frac {\partial H}{\partial q^{i}}}}$

Геодезический поток является гамильтоновым потоком ; решения вышесказанного являются геодезическими многообразия. Заметим, кстати, что по геодезическим; параметр времени — расстояние по геодезической. ${\displaystyle dH/dt=0}$ ${\displaystyle t}$

Сигма-модель принимает импульсы двух коллекторов и спаивает их вместе, то есть в форме пайки . В этом смысле интерпретация сигма-модели как энергетического функционала не удивительна; на самом деле это склейка двух энергетических функционалов. Внимание: точное определение формы припоя требует, чтобы она была изоморфизмом; это может произойти только в том случае, если и имеют одинаковую реальную размерность. Более того, традиционное определение формы припоя подразумевает группу Ли. Оба условия выполняются в различных приложениях. ${\displaystyle T^{*}\Phi }$ ${\displaystyle T^{*}M}$ ${\displaystyle \mathrm {d} \phi }$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle \Phi }$ ${\displaystyle \Phi }$

Результаты на различных пространствах

Пространство часто воспринимается как группа Ли , обычно SU(N) в традиционных моделях физики элементарных частиц, O(N) в теориях конденсированного состояния или как симметричное пространство в моделях супергравитации . Поскольку симметричные пространства определяются в терминах их инволюции , их касательное пространство (т.е. место, где живет) естественным образом распадается на подпространства четной и нечетной четности. Это расщепление помогает способствовать уменьшению размерностей теорий Калуцы – Клейна . ${\displaystyle \Phi }$ ${\displaystyle \mathrm {d} \phi }$

О группах Лия

В частном случае группы Ли это метрический тензор группы Ли, формально называемый тензором Картана или формой Киллинга . Тогда лагранжиан можно записать как обратную форму Киллинга. Заметим, что форму Киллинга можно записать в виде следа по двум матрицам из соответствующей алгебры Ли ; таким образом, лагранжиан также можно записать в форме, включающей след. С небольшими перестановками ее также можно записать как откат формы Маурера-Картана . ${\displaystyle \Phi }$ ${\displaystyle g_{ij}}$

О симметричных пространствах

Распространенным вариантом сигма-модели является ее представление в симметричном пространстве . Прототипическим примером является киральная модель , которая принимает произведение

${\displaystyle G=SU(N)\times SU(N)}$

«левых» и «правых» киральных полей, а затем строит сигма-модель на «диагонали»

${\displaystyle \Phi ={\frac {SU(N)\times SU(N)}{SU(N)}}}$

Такое фактор-пространство является симметричным пространством, и поэтому в общем случае можно взять где - максимальная подгруппа, которая инвариантна относительно инволюции Картана . Лагранжиан по-прежнему записывается точно так же, как указано выше, либо в терминах возврата метрики к метрике , либо в виде возврата формы Маурера – Картана. ${\displaystyle \Phi =G/H}$ ${\displaystyle H\subset G}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle G/H}$

Обозначение трассировки

В физике наиболее распространенное и общепринятое изложение сигма-модели начинается с определения

${\displaystyle L_{\mu }=\pi _{\mathfrak {m}}\circ \left(g^{-1}\partial _{\mu }g\right)}$

Здесь – возврат формы Маурера–Картана при , на пространственно-временное многообразие. Это проекция на нечетную часть инволюции Картана. То есть, учитывая алгебру Ли , инволюция разлагает пространство на компоненты нечетной и четной четности , соответствующие двум собственным состояниям инволюции. Тогда лагранжиан сигма-модели можно записать как ${\displaystyle g^{-1}\partial _{\mu }g}$ ${\displaystyle g\in G}$ ${\displaystyle \pi _{\mathfrak {m}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}={\mathfrak {m}}\oplus {\mathfrak {h}}}$

${\displaystyle {\mathcal {L}}={\frac {1}{2}}\mathrm {tr} \left(L_{\mu }L^{\mu }\right)}$

Это сразу можно узнать как первый член модели Скирма .

Метрическая форма

Эквивалентной метрической формой этого является запись элемента группы как геодезической элемента алгебры Ли . Это базисные элементы алгебры Ли; являются структурными константами . _ ${\displaystyle g\in G}$ ${\displaystyle g=\exp(\theta ^{i}T_{i})}$ ${\displaystyle \theta ^{i}T_{i}\in {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle [T_{i},T_{j}]={f_{ij}}^{k}T_{k}}$ ${\displaystyle {f_{ij}}^{k}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$

Подключение этого непосредственно к приведенному выше и применение бесконечно малой формы формулы Бейкера-Кэмпбелла-Хаусдорфа быстро приводит к эквивалентному выражению

${\displaystyle {\mathcal {L}}={\frac {1}{2}}g_{ij}(\phi )\;\mathrm {d} \phi _{i}\wedge {*\mathrm {d} \phi _{j}}={\frac {1}{2}}\;{W_{i}}^{m}{W^{n}}_{j}\;\;\mathrm {d} \phi _{i}\wedge {*\mathrm {d} \phi _{j}}\;\;\mathrm {tr} (T_{m}T_{n})}$

где теперь очевидно (пропорционально) форме Киллинга, а - это фигуры , которые выражают «кривую» метрику через «плоскую» метрику . Статья о формуле Бейкера-Кэмпбелла-Хаусдорфа дает явное выражение для вильбейнов. Их можно записать как ${\displaystyle \mathrm {tr} (T_{m}T_{n})}$ ${\displaystyle {W_{i}}^{m}}$ ${\displaystyle g_{ij}}$ ${\displaystyle \mathrm {tr} (T_{m}T_{n})}$

${\displaystyle W=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}M^{n}}{(n+1)!}}=(I-e^{-M})M^{-1}}$

где – матрица, матричные элементы которой равны . ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle {M_{j}}^{k}=\theta ^{i}{f_{ij}}^{k}}$

Для сигма-модели в симметричном пространстве, в отличие от группы Ли, они ограничены охватом подпространства, а не всего . Включенного коммутатора Ли не будет внутри ; действительно, он есть , и поэтому проекция все еще необходима. ${\displaystyle T_{i}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {m}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}={\mathfrak {m}}\oplus {\mathfrak {h}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {m}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {m}}}$ ${\displaystyle [{\mathfrak {m}},{\mathfrak {m}}]\subset {\mathfrak {h}}}$

Расширения

Модель может быть расширена различными способами. Помимо вышеупомянутой модели Скирма , которая вводит члены четвертой степени, модель может быть дополнена торсионным членом, чтобы получить модель Весса-Зумино-Виттена .

Другая возможность часто встречается в моделях супергравитации . Здесь можно отметить, что форма Маурера – Картана выглядит как «чистая калибровка». В приведенной выше конструкции для симметричных пространств можно рассмотреть и другую проекцию ${\displaystyle g^{-1}dg}$

${\displaystyle A_{\mu }=\pi _{\mathfrak {h}}\circ \left(g^{-1}\partial _{\mu }g\right)}$

где, как и прежде, симметрическое пространство соответствовало расколу . Этот дополнительный член можно интерпретировать как связность на расслоении (он преобразуется как калибровочное поле). Это то, что «осталось» от соединения на . Ему можно придать собственную динамику, написав ${\displaystyle {\mathfrak {g}}={\mathfrak {m}}\oplus {\mathfrak {h}}}$ ${\displaystyle M\times H}$ ${\displaystyle G}$

${\displaystyle {\mathcal {L}}=g_{ij}F^{i}\wedge *F^{j}}$

с . Обратите внимание, что дифференциал здесь — это просто «d», а не ковариантная производная; это не тензор энергии-импульса Янга – Миллса. Этот член сам по себе не является калибровочным инвариантом; его необходимо взять вместе с той частью связи, которая вкладывается в , так что, взятые вместе, , теперь со связностью как ее частью, вместе с этим членом образует полный калибровочно-инвариантный лагранжиан (который действительно имеет Ян- Термины Миллса в нем, когда они развернуты). ${\displaystyle F^{i}=dA^{i}}$ ${\displaystyle L_{\mu }}$ ${\displaystyle L_{\mu }}$

Рекомендации

1. страница 114, Дэвид Тонг : Лекции по статистической теории поля
2. Джулиан С. Швингер, «Теория фундаментальных взаимодействий», Ann. Физ. 2 (407), 1957.
3. Юрген Йост (1991) Риманова геометрия и геометрический анализ, Springer

• Гелл-Манн, М.; Леви, М. (1960), «Аксиальный векторный ток при бета-распаде», Il Nuovo Cimento , 16 (4): 705–726, Бибкод : 1960NCim...16..705G, doi : 10.1007/BF02859738, S2CID  122945049

• Кетов, Сергей (2009). «Нелинейная сигма-модель». Схоларпедия . 4 (1): 8508. Бибкод : 2009SchpJ...4.8508K. doi : 10.4249/scholarpedia.8508 .