В математике стохастическая геометрия — это изучение случайных пространственных моделей. В основе предмета лежит изучение случайных точечных моделей. Это приводит к теории пространственных точечных процессов , отсюда и понятия обусловленности Пальма, которые распространяются на более абстрактную установку случайных мер .
Существуют различные модели для точечных процессов, обычно основанные на классическом однородном точечном процессе Пуассона (базовой модели для полной пространственной случайности ), но выходящие за его рамки, для поиска выразительных моделей, которые допускают эффективные статистические методы.
Теория точечных паттернов обеспечивает основной строительный блок для генерации случайных объектных процессов, позволяя строить сложные случайные пространственные паттерны. Простейшая версия, булева модель , помещает случайный компактный объект в каждую точку точечного процесса Пуассона. Более сложные версии допускают взаимодействия, основанные на различных способах геометрии объектов. Различные направления применения включают: производство моделей для случайных изображений либо как объединение множеств объектов, либо как паттерны перекрывающихся объектов; также генерация геометрически вдохновленных моделей для базового точечного процесса (например, распределение точечных паттернов может быть смещено экспоненциальным множителем, включающим площадь объединения объектов; это связано с моделью Видома–Роулинсона [1] статистической механики).
Что подразумевается под случайным объектом? Полный ответ на этот вопрос требует теории случайных замкнутых множеств , которая устанавливает связь с передовыми концепциями из теории меры. Ключевая идея заключается в том, чтобы сосредоточиться на вероятностях попадания данного случайного замкнутого множества в указанные тестовые множества. Возникают вопросы вывода (например, оценка множества, которое охватывает заданный точечный шаблон) и теории обобщений средних и т. д. для применения к случайным множествам. В настоящее время устанавливаются связи между этой последней работой и недавними разработками в геометрическом математическом анализе, касающимися общих метрических пространств и их геометрии. Хорошие параметризации конкретных случайных множеств могут позволить нам отнести процессы случайных объектов к теории отмеченных точечных процессов; пары объект-точка рассматриваются как точки в большем пространстве произведений, образованном как произведение исходного пространства и пространства параметризации.
Предположим, что нас больше не интересуют компактные объекты, а объекты, которые пространственно протяженны: линии на плоскости или плоскости в 3-мерном пространстве. Это приводит к рассмотрению линейных процессов и процессов плоскостей или гиперплоскостей. Больше не может быть предпочтительного пространственного расположения для каждого объекта; однако теория может быть отображена обратно в теорию точечных процессов, представляя каждый объект точкой в подходящем пространстве представления. Например, в случае направленных линий на плоскости можно взять пространство представления как цилиндр. Сложность заключается в том, что симметрии евклидова движения тогда будут выражены в пространстве представления несколько необычным образом. Более того, вычисления должны учитывать интересные пространственные смещения (например, сегменты линий с меньшей вероятностью будут сталкиваться со случайными линиями, которым они почти параллельны), и это обеспечивает интересную и значимую связь с чрезвычайно важной областью стереологии , которую в некоторых отношениях можно рассматривать как еще одну тему стохастической геометрии. Часто бывает так, что вычисления лучше всего выполнять в терминах пучков линий, попадающих в различные тестовые наборы, а не работая в пространстве представлений.
Линейные и гиперплоские процессы имеют свои собственные прямые приложения, но также находят применение как один из способов создания мозаик, разделяющих пространство; поэтому, например, можно говорить о мозаиках линий Пуассона. Известный недавний результат [2] доказывает, что ячейка в начале мозаики линий Пуассона является приблизительно круглой, если обусловлена большой величиной. Конечно, мозаики в стохастической геометрии могут быть получены другими способами, например, с помощью конструкций Вороного и вариантных конструкций, а также путем итерации различных способов построения.
Название, по-видимому, было придумано Дэвидом Кендаллом и Клаусом Крикебергом [3] во время подготовки к семинару в Обервольфахе в июне 1969 года , хотя предшественники теории уходят гораздо дальше под названием геометрическая вероятность . Термин «стохастическая геометрия» также использовался Фришем и Хаммерсли в 1963 году [4] как одно из двух предложений для названий теории «случайных нерегулярных структур», вдохновленной теорией перколяции .
Это краткое описание было сосредоточено на теории [3] [5] стохастической геометрии, которая позволяет увидеть структуру предмета. Однако большая часть жизни и интереса к предмету, и действительно многие из его оригинальных идей, вытекают из очень широкого спектра приложений, например: астрономия, [6] пространственно распределенные телекоммуникации , [7] моделирование и анализ беспроводных сетей, [8] моделирование затухания канала , [9] [10] лесное хозяйство, [11] статистическая теория формы, [12] материаловедение, [13] многомерный анализ , проблемы анализа изображений [14] и стереология . Есть ссылки на статистическую механику, [15] цепь Маркова Монте-Карло и реализации теории в статистических вычислениях (например, spatstat [16] в R ). Совсем недавно детерминантные и перманентные точечные процессы (связанные с теорией случайных матриц) начинают играть роль. [17]