Анализ напряжений и деформаций (или анализ напряжений ) — это инженерная дисциплина, которая использует множество методов для определения напряжений и деформаций в материалах и конструкциях, подверженных воздействию сил . В механике сплошных сред напряжение — это физическая величина , выражающая внутренние силы , которые соседние частицы сплошного материала оказывают друг на друга, тогда как деформация является мерой деформации материала.
Проще говоря, мы можем определить напряжение как силу сопротивления на единицу площади, оказываемую телом деформации. Напряжение — это отношение силы к площади (S = R/A, где S — напряжение, R — внутренняя сила сопротивления, а A — площадь поперечного сечения). Деформация — это отношение изменения длины к исходной длине, когда данное тело подвергается воздействию некоторой внешней силы (Деформация = изменение длины ÷ исходная длина).
Анализ напряжений является основной задачей для инженеров -строителей , механиков и аэрокосмических инженеров, занимающихся проектированием конструкций всех размеров, таких как туннели , мосты и плотины , корпуса самолетов и ракет , механические детали и даже пластиковые столовые приборы и скобы . Анализ напряжений также используется при обслуживании таких конструкций и для расследования причин структурных отказов.
Обычно отправной точкой для анализа напряжений являются геометрическое описание конструкции, свойства материалов, используемых для ее частей, способ соединения частей и максимальные или типичные силы, которые, как ожидается, будут приложены к конструкции. Выходные данные обычно представляют собой количественное описание того, как приложенные силы распространяются по конструкции, что приводит к напряжениям, деформациям и прогибам всей конструкции и каждого ее компонента. Анализ может учитывать силы, которые изменяются со временем, такие как вибрации двигателя или нагрузка движущихся транспортных средств. В этом случае напряжения и деформации также будут функциями времени и пространства.
В машиностроении анализ напряжений часто является инструментом, а не целью как таковой; конечной целью является проектирование конструкций и артефактов, которые могут выдерживать определенную нагрузку, используя минимальное количество материала или удовлетворяя какому-либо другому критерию оптимальности.
Анализ напряжений может быть выполнен с помощью классических математических методов, аналитического математического моделирования или компьютерного моделирования, экспериментальных испытаний или комбинации методов.
Термин «анализ напряжений» используется в этой статье для краткости, но следует понимать, что деформации и прогибы конструкций имеют одинаковое значение, и фактически анализ конструкции может начинаться с расчета прогибов или деформаций и заканчиваться расчетом напряжений.
Анализ напряжений специально касается твердых объектов. Изучение напряжений в жидкостях и газах является предметом механики жидкости .
Анализ напряжений принимает макроскопический взгляд на материалы, характерный для механики сплошных сред , а именно, что все свойства материалов однородны в достаточно малых масштабах. Таким образом, даже самая маленькая частица, рассматриваемая в анализе напряжений, все еще содержит огромное количество атомов, и ее свойства являются средними значениями свойств этих атомов.
При анализе напряжений обычно игнорируют физические причины сил или точную природу материалов. Вместо этого предполагается, что напряжения связаны с деформацией материала известными уравнениями состояния .
Согласно законам движения Ньютона , любые внешние силы, действующие на систему, должны быть уравновешены внутренними силами реакции [1] или вызывать ускорение частиц в затронутой части. В твердом объекте все частицы должны двигаться в значительной степени согласованно, чтобы поддерживать общую форму объекта. Из этого следует, что любая сила, приложенная к одной части твердого объекта, должна вызывать внутренние силы реакции, которые распространяются от частицы к частице по всей протяженной части системы. За очень редкими исключениями (такими как ферромагнитные материалы или тела планетарного масштаба), внутренние силы обусловлены очень короткими межмолекулярными взаимодействиями и, следовательно, проявляются как поверхностные контактные силы между соседними частицами — то есть как напряжение. [2]
Основная проблема в анализе напряжений заключается в определении распределения внутренних напряжений по всей системе, учитывая внешние силы, которые на нее действуют. В принципе, это означает определение, неявно или явно, тензора напряжений Коши в каждой точке. [3]
Внешние силы могут быть объемными силами (такими как гравитация или магнитное притяжение), которые действуют по всему объему материала; [4] или сосредоточенными нагрузками (такими как трение между осью и подшипником или вес колеса поезда на рельсе), которые воображаются действующими в двумерной области, или вдоль линии, или в одной точке. Одна и та же чистая внешняя сила будет иметь разное влияние на локальное напряжение в зависимости от того, сосредоточена она или распределена.
В приложениях гражданского строительства обычно считают, что конструкции находятся в статическом равновесии : то есть, они либо не меняются со временем, либо изменяются достаточно медленно, чтобы вязкие напряжения были несущественными (квазистатические). Однако в машиностроении и аэрокосмической технике анализ напряжений часто приходится выполнять для деталей, которые далеки от равновесия, таких как вибрирующие пластины или быстро вращающиеся колеса и оси. В этих случаях уравнения движения должны включать члены, которые учитывают ускорение частиц. В приложениях проектирования конструкций обычно стараются обеспечить, чтобы напряжения везде были значительно ниже предела текучести материала. В случае динамических нагрузок необходимо также учитывать усталость материала . Однако эти проблемы выходят за рамки собственно анализа напряжений, поскольку в материаловедении они рассматриваются под названиями прочность материалов , анализ усталости , коррозия под напряжением, моделирование ползучести и другими.
Анализ напряжений может быть выполнен экспериментально путем приложения сил к испытываемому элементу или конструкции, а затем определения результирующего напряжения с помощью датчиков . В этом случае процесс правильнее было бы назвать испытанием ( разрушающим или неразрушающим ). Экспериментальные методы могут использоваться в случаях, когда математические подходы громоздки или неточны. Для приложения статической или динамической нагрузки используется специальное оборудование, соответствующее экспериментальному методу.
Существует ряд экспериментальных методов, которые можно использовать:
Хотя экспериментальные методы широко используются, большая часть анализа напряжений выполняется математическими методами, особенно на этапе проектирования.
Основная задача анализа напряжений может быть сформулирована с помощью уравнений движения Эйлера для сплошных тел (которые являются следствиями законов Ньютона о сохранении импульса и момента импульса ) и принципа напряжений Эйлера-Коши вместе с соответствующими материальными уравнениями.
Эти законы дают систему уравнений в частных производных , которые связывают поле тензора напряжения с полем тензора деформации как неизвестные функции, которые необходимо определить. Решение любого из них затем позволяет решить другое с помощью другого набора уравнений, называемых материальными уравнениями. Как поля тензора напряжения, так и поля тензора деформации обычно будут непрерывными в каждой части системы, и эту часть можно рассматривать как непрерывную среду с плавно изменяющимися материальными уравнениями.
Внешние объемные силы будут появляться как независимый («правая часть») член в дифференциальных уравнениях, в то время как сосредоточенные силы появляются как граничные условия. Внешняя (приложенная) поверхностная сила, такая как давление окружающей среды или трение, может быть включена как наложенное значение тензора напряжений на этой поверхности. Внешние силы, которые указаны как линейные нагрузки (например, тяга) или точечные нагрузки (например, вес человека, стоящего на крыше), вносят сингулярности в поле напряжений и могут быть введены, предполагая, что они распределены по малому объему или площади поверхности. Таким образом, основная задача анализа напряжений является краевой задачей .
Система называется упругой, если любые деформации, вызванные приложенными силами, спонтанно и полностью исчезают после снятия приложенных сил. Расчет напряжений (анализ напряжений), которые возникают в таких системах, основан на теории упругости и теории бесконечно малых деформаций . Когда приложенные нагрузки вызывают постоянную деформацию, необходимо использовать более сложные уравнения состояния, которые могут учитывать физические процессы ( пластическое течение , разрушение , фазовый переход и т. д.)
Инженерные конструкции обычно проектируются таким образом, чтобы максимальные ожидаемые напряжения находились в пределах линейно-упругого (обобщение закона Гука для сплошных сред) поведения материала, из которого будет построена конструкция. То есть деформации, вызванные внутренними напряжениями, линейно связаны с приложенными нагрузками. В этом случае дифференциальные уравнения, определяющие тензор напряжений, также являются линейными. Линейные уравнения гораздо лучше понятны, чем нелинейные; с одной стороны, их решение (расчет напряжения в любой желаемой точке конструкции) также будет линейной функцией приложенных сил. Для достаточно малых приложенных нагрузок даже нелинейные системы обычно можно считать линейными.
Предварительно нагруженная конструкция — это конструкция, в которой внутренние силы, напряжения и деформации накладываются различными способами до приложения внешних сил. Например, конструкция может иметь натянутые тросы, что приводит к возникновению сил в конструкции до приложения других нагрузок. Закаленное стекло — это часто встречающийся пример предварительно нагруженной конструкции, в которой растягивающие силы и напряжения действуют на плоскость стекла и на центральную плоскость стекла, что приводит к тому, что силы сжатия действуют на внешние поверхности этого стекла.
Представленная математическая задача обычно некорректна, поскольку имеет бесконечное множество решений. Фактически, в любом трехмерном твердом теле может быть бесконечно много (и бесконечно сложных) ненулевых полей тензора напряжений, которые находятся в устойчивом равновесии даже при отсутствии внешних сил. Эти поля напряжений часто называют гиперстатическими полями напряжений [5] , и они сосуществуют с полями напряжений, которые уравновешивают внешние силы. В линейной упругости их присутствие требуется для удовлетворения требований совместимости деформации/смещения, а в предельном анализе их присутствие требуется для максимизации несущей способности конструкции или компонента.
Такое встроенное напряжение может возникать из-за многих физических причин, как во время производства (в таких процессах, как экструзия , литье или холодная обработка ), так и после (например, из-за неравномерного нагрева или изменения содержания влаги или химического состава). Однако, если можно предположить, что система ведет себя линейно по отношению к нагрузке и реакции системы, то эффект предварительной нагрузки можно учесть, сложив результаты предварительно нагруженной структуры и той же самой непредварительно нагруженной структуры.
Однако, если линейность не может быть принята во внимание, любое встроенное напряжение может повлиять на распределение внутренних сил, вызванных приложенными нагрузками (например, путем изменения эффективной жесткости материала) или даже вызвать неожиданный отказ материала. По этим причинам был разработан ряд методов, позволяющих избежать или уменьшить встроенное напряжение, например, отжиг холоднодеформированного стекла и металлических деталей, компенсационные швы в зданиях и роликовые соединения для мостов.
Анализ напряжений упрощается, когда физические размеры и распределение нагрузок позволяют рассматривать конструкцию как одномерную или двумерную. При анализе моста его трехмерная структура может быть идеализирована как единая плоская структура, если все силы действуют в плоскости ферм моста. Кроме того, каждый элемент ферменной конструкции может затем рассматриваться как одномерный элемент с силами, действующими вдоль оси каждого элемента. В этом случае дифференциальные уравнения сводятся к конечному набору уравнений с конечным числом неизвестных.
Если можно предположить, что распределение напряжений является равномерным (или предсказуемым, или несущественным) в одном направлении, то можно использовать предположение о плоском напряжении и плоской деформации , и тогда уравнения, описывающие поле напряжений, будут функцией только двух координат, а не трех.
Даже при предположении линейного упругого поведения материала связь между тензорами напряжений и деформаций обычно выражается тензором жесткости четвертого порядка с 21 независимым коэффициентом (симметричная матрица жесткости 6 × 6). Такая сложность может потребоваться для общих анизотропных материалов, но для многих распространенных материалов ее можно упростить. Для ортотропных материалов , таких как древесина, жесткость которой симметрична относительно каждой из трех ортогональных плоскостей, для выражения связи напряжение-деформация достаточно девяти коэффициентов. Для изотропных материалов эти коэффициенты сводятся всего к двум.
Можно заранее определить , что в некоторых частях системы напряжение будет определенного типа, например, одноосное растяжение или сжатие , простой сдвиг , изотропное сжатие или растяжение, кручение , изгиб и т. д. В этих частях поле напряжений может быть представлено менее чем шестью числами, а возможно, и всего одним.
В любом случае, для двух- или трехмерных областей необходимо решить систему уравнений в частных производных с заданными граничными условиями. Аналитические (замкнутые) решения дифференциальных уравнений могут быть получены, когда геометрия, определяющие соотношения и граничные условия достаточно просты. Для более сложных задач обычно приходится прибегать к численным приближениям, таким как метод конечных элементов , метод конечных разностей и метод граничных элементов .
Конечной целью любого анализа является сравнение развитых напряжений, деформаций и прогибов с теми, которые допускаются критериями проектирования. Все конструкции и их компоненты, очевидно, должны быть спроектированы так, чтобы иметь большую мощность, чем та, которая, как ожидается, будет развиваться во время использования конструкции, чтобы избежать отказа. Напряжение, которое, как рассчитывается, должно развиться в элементе, сравнивается с прочностью материала, из которого изготовлен элемент, путем расчета отношения прочности материала к расчетному напряжению. Очевидно, что отношение должно быть больше 1,0, чтобы элемент не должен выйти из строя. Однако отношение допустимого напряжения к развиваемому напряжению должно быть больше 1,0, поскольку коэффициент безопасности (расчетный коэффициент) будет указан в требованиях к проектированию конструкции. Все конструкции проектируются с учетом превышения нагрузки, которую эти конструкции, как ожидается, будут испытывать во время их использования. Расчетный коэффициент (число больше 1,0) представляет собой степень неопределенности в значении нагрузок, прочности материала и последствиях отказа. Напряжение (или нагрузка, или прогиб), которое, как ожидается, испытает конструкция, известно как рабочее, проектное или предельное напряжение. Предельное напряжение, например, выбирается как некоторая доля предела текучести материала, из которого изготовлена конструкция. Отношение предельной прочности материала к допустимому напряжению определяется как коэффициент запаса прочности против окончательного отказа.
Лабораторные испытания обычно проводятся на образцах материалов для определения текучести и предельных прочностей этих материалов. Статистический анализ прочности многих образцов материала выполняется для расчета конкретной прочности материала этого материала. Анализ позволяет использовать рациональный метод определения прочности материала и приводит к значению, меньшему, например, 99,99% значений из испытанных образцов. С помощью этого метода, в некотором смысле, отдельный коэффициент безопасности был применен сверх расчетного коэффициента безопасности, применяемого к конкретной конструкции, в которой используется указанный материал.
Целью поддержания фактора безопасности по пределу текучести является предотвращение пагубных деформаций, которые могут ухудшить использование конструкции. Самолет с постоянно изогнутым крылом может не иметь возможности перемещать свои поверхности управления и, следовательно, является неработоспособным. Хотя текучесть материала конструкции может сделать конструкцию непригодной для использования, это не обязательно приведет к ее разрушению. Фактор безопасности по пределу прочности на растяжение заключается в предотвращении внезапного разрушения и обрушения, которые могут привести к большим экономическим потерям и возможной гибели людей.
Крыло самолета может быть спроектировано с коэффициентом безопасности 1,25 по пределу текучести крыла и коэффициентом безопасности 1,5 по его предельной прочности. Испытательные приспособления, которые прилагают эти нагрузки к крылу во время испытания, могут быть спроектированы с коэффициентом безопасности 3,0 по предельной прочности, в то время как конструкция, которая укрывает испытательное приспособление, может иметь предельный коэффициент безопасности десять. Эти значения отражают степень уверенности ответственных органов в своем понимании среды нагрузки, их уверенность в прочности материалов, точность аналитических методов, используемых при анализе, ценность конструкций, ценность жизней тех, кто летает, тех, кто находится рядом с испытательными приспособлениями, и тех, кто находится внутри здания.
Коэффициент запаса прочности используется для расчета максимально допустимого напряжения:
Оценка нагрузок и напряжений внутри конструкций направлена на поиск пути передачи нагрузки. Нагрузки будут передаваться посредством физического контакта между различными компонентами и внутри конструкций. Передача нагрузки может быть определена визуально или с помощью простой логики для простых конструкций. Для более сложных конструкций могут потребоваться более сложные методы, такие как теоретическая механика твердого тела или численные методы. Численные методы включают прямой метод жесткости , который также называется методом конечных элементов .
Целью является определение критических напряжений в каждой детали и сравнение их с прочностью материала (см. прочность материалов ).
Для деталей, сломанных в процессе эксплуатации, выполняется судебно-техническая экспертиза или анализ отказов для выявления слабости, где сломанные детали анализируются на предмет причины или причин отказа. Метод направлен на выявление самого слабого компонента на пути нагрузки. Если это та деталь, которая действительно вышла из строя, то это может подтвердить независимое доказательство отказа. Если нет, то необходимо искать другое объяснение, например, дефектную деталь с более низкой прочностью на растяжение, чем должна, например.
Линейный элемент конструкции — это элемент, который по сути является одномерным и часто подвергается только осевой нагрузке. Когда структурный элемент подвергается растяжению или сжатию, его длина будет иметь тенденцию к удлинению или сокращению, а его площадь поперечного сечения изменяется на величину, которая зависит от коэффициента Пуассона материала. В инженерных приложениях структурные элементы испытывают небольшие деформации, а уменьшение площади поперечного сечения очень мало и им можно пренебречь, т. е. площадь поперечного сечения предполагается постоянной во время деформации. В этом случае напряжение называется инженерным напряжением или номинальным напряжением и рассчитывается с использованием исходного поперечного сечения. где P — приложенная нагрузка, а A o — исходная площадь поперечного сечения.
В некоторых других случаях, например, эластомеры и пластмассы , изменение площади поперечного сечения является значительным. Для случая материалов, где объем сохраняется (т.е. коэффициент Пуассона = 0,5), если требуется истинное напряжение , его следует рассчитать, используя истинную площадь поперечного сечения вместо первоначальной площади поперечного сечения, как: где
Соотношение между истинной деформацией и инженерной деформацией определяется выражением
При одноосном растяжении истинное напряжение больше номинального. Обратное справедливо при сжатии.
Круг Мора , эллипсоид напряжений Ламе (вместе с поверхностью директора напряжений ) и квадрика напряжений Коши являются двумерными графическими представлениями состояния напряжений в точке . Они позволяют графически определить величину тензора напряжений в заданной точке для всех плоскостей, проходящих через эту точку. Круг Мора является наиболее распространенным графическим методом.
Круг Мора , названный в честь Кристиана Отто Мора , является геометрическим местом точек, которые представляют состояние напряжения на отдельных плоскостях при всех их ориентациях. Абсцисса , , и ордината , , каждой точки на круге являются компонентами нормального напряжения и касательного напряжения, соответственно, действующими на определенную секущую плоскость с единичным вектором с компонентами .
Поверхность эллипсоида представляет собой геометрическое место концов всех векторов напряжений, действующих на всех плоскостях, проходящих через данную точку сплошного тела. Другими словами, концы всех векторов напряжений в данной точке сплошного тела лежат на поверхности эллипсоида напряжений, т. е. радиус-вектор из центра эллипсоида, расположенного в рассматриваемой материальной точке, в точку на поверхности эллипсоида равен вектору напряжений на некоторой плоскости, проходящей через эту точку. В двух измерениях поверхность представлена эллипсом ( рисунок ниже).
Квадрика напряжений Коши, также называемая поверхностью напряжений , представляет собой поверхность второго порядка, которая отслеживает изменение вектора нормальных напряжений при изменении ориентации плоскостей, проходящих через заданную точку.
Полное состояние напряжения в теле при определенной деформированной конфигурации, т. е. в определенное время во время движения тела, подразумевает знание шести независимых компонент тензора напряжений , или трех главных напряжений , в каждой материальной точке тела в это время. Однако численный анализ и аналитические методы позволяют вычислять тензор напряжений только в определенном количестве дискретных материальных точек. Для графического представления в двух измерениях этой частичной картины поля напряжений можно использовать различные наборы контурных линий : [6]
