Растянутая экспоненциальная функция

Рисунок 1. Иллюстрация растянутой экспоненциальной подгонки (с β = 0,52) к эмпирической основной кривой. Для сравнения также показаны одинарная и двойная экспоненциальная подгонка наименьших квадратов. Данные представляют собой вращательную анизотропию антрацена в полиизобутилене с несколькими молекулярными массами . Графики были сделаны так, чтобы перекрываться путем деления времени ( t ) на соответствующую характерную постоянную времени .

Растянутая экспоненциальная функция получается путем вставки дробного степенного закона в экспоненциальную функцию . В большинстве приложений она имеет смысл только для аргументов t между 0 и +∞. При β = 1 восстанавливается обычная экспоненциальная функция. При растягивающем показателе β между 0 и 1 график log  f от t характерно растянут , отсюда и название функции. Сжатая экспоненциальная функция (при β > 1 ) имеет меньшее практическое значение, за исключением β = 2 , что дает нормальное распределение . $${\displaystyle f_{\beta }(t)=e^{-t^{\beta }}}$$

В математике растянутая экспонента также известна как дополнительное кумулятивное распределение Вейбулла . Растянутая экспонента также является характеристической функцией , по сути, преобразованием Фурье , симметричного альфа-устойчивого распределения Леви .

В физике растянутая экспоненциальная функция часто используется как феноменологическое описание релаксации в неупорядоченных системах. Впервые она была введена Рудольфом Кольраушем в 1854 году для описания разряда конденсатора; ^[1] поэтому она также известна как функция Кольрауша . В 1970 году Г. Уильямс и Д. К. Уоттс использовали преобразование Фурье растянутой экспоненты для описания диэлектрических спектров полимеров; ^[2] в этом контексте растянутая экспонента или ее преобразование Фурье также называются функцией Кольрауша–Вильямса–Уоттса (KWW) . Функция Кольрауша–Вильямса–Уоттса (KWW) соответствует отклику заряда во временной области основных диэлектрических моделей, таких как уравнение Коула–Коула , уравнение Коула–Дэвидсона и релаксация Гавриляка–Негами , для малых временных аргументов. ^[3]

В феноменологических приложениях часто неясно, следует ли использовать растянутую экспоненциальную функцию для описания дифференциальной или интегральной функции распределения — или ни то, ни другое. В каждом случае получается тот же асимптотический распад, но другой префактор степенного закона, что делает подгонки более неоднозначными, чем для простых экспонент. В некоторых случаях ^{[4] [5] [6] [7]} можно показать, что асимптотический распад представляет собой растянутую экспоненту, но префактор обычно является не связанной степенью.

Математические свойства

Моменты

Следуя обычной физической интерпретации, мы интерпретируем аргумент функции t как время, а f _β ( t ) — дифференциальное распределение. Таким образом, площадь под кривой можно интерпретировать как среднее время релаксации . Находим , где Γ — гамма-функция . Для экспоненциального распада восстанавливается ⟨ τ ⟩ = τ _K. $${\displaystyle \langle \tau \rangle \equiv \int _{0}^{\infty }dt\,e^{-(t/\tau _{K})^{\beta }}={\tau _{K} \over \beta }\Gamma {\left({\frac {1}{\beta }}\right)}}$$

Высшие моменты растянутой экспоненциальной функции равны ^[8] $${\displaystyle \langle \tau ^{n}\rangle \equiv \int _{0}^{\infty }dt\,t^{n-1}\,e^{-(t/\tau _{K})^{\beta }}={{\tau _{K}}^{n} \over \beta }\Gamma {\left({\frac {n}{\beta }}\right)}.}$$

Функция распределения

В физике были предприняты попытки объяснить растянутое экспоненциальное поведение как линейную суперпозицию простых экспоненциальных распадов. Это требует нетривиального распределения времен релаксации, ρ ( u ), которое неявно определяется как $${\displaystyle e^{-t^{\beta }}=\int _{0}^{\infty }du\,\rho (u)\,e^{-t/u}.}$$

В качестве альтернативы используется распределение . $${\displaystyle G=u\rho (u)}$$

ρ можно вычислить из разложения в ряд: ^[9] $${\displaystyle \rho (u)=-{1 \over \pi u}\sum _{k=0}^{\infty }{(-1)^{k} \over k!}\sin(\pi \beta k)\Gamma (\beta k+1)u^{\beta k}}$$

Для рациональных значений β , ρ ( u ) можно вычислить в терминах элементарных функций. Но выражение в общем случае слишком сложное, чтобы быть полезным, за исключением случая β = 1/2 , где $${\displaystyle G(u)=u\rho (u)={1 \over 2{\sqrt {\pi }}}{\sqrt {u}}e^{-u/4}}$$

Рисунок 2 показывает те же результаты, представленные как в линейном , так и в логарифмическом представлении. Кривые сходятся к дельта-функции Дирака с пиком при u = 1 , когда β приближается к 1, что соответствует простой экспоненциальной функции.

Моменты исходной функции можно выразить как $${\displaystyle \langle \tau ^{n}\rangle =\Gamma (n)\int _{0}^{\infty }d\tau \,t^{n}\,\rho (\tau ).}$$

Первый логарифмический момент распределения простых экспоненциальных времен релаксации равен , где Eu — постоянная Эйлера . ^[10] $${\displaystyle \langle \ln \tau \rangle =\left(1-{1 \over \beta }\right){\rm {Eu}}+\ln \tau _{K}}$$

преобразование Фурье

Для описания результатов спектроскопии или неупругого рассеяния необходимо синусное или косинусное преобразование Фурье растянутой экспоненты. Оно должно быть рассчитано либо путем численного интегрирования, либо путем разложения в ряд. ^[11] Ряд здесь, а также ряд для функции распределения являются частными случаями функции Фокса–Райта . ^[12] Для практических целей преобразование Фурье может быть аппроксимировано функцией Гавриляка–Негами , ^[13] хотя в настоящее время численное вычисление может быть выполнено настолько эффективно ^[14] , что больше нет никаких причин не использовать функцию Кольрауша–Вильямса–Уоттса в частотной области.

История и дальнейшие применения

Как было сказано во введении, растянутая экспонента была введена немецким физиком Рудольфом Кольраушем в 1854 году для описания разряда конденсатора ( лейденской банки ), в котором в качестве диэлектрической среды использовалось стекло. Следующее задокументированное использование принадлежит Фридриху Кольраушу , сыну Рудольфа, для описания торсионной релаксации. А. Вернер использовал ее в 1907 году для описания сложных затуханий люминесценции; Теодор Фёрстер в 1949 году как закон затухания флуоресценции электронных доноров энергии. ^{[ необходима цитата ]}

За пределами физики конденсированного состояния растянутая экспонента использовалась для описания скорости удаления малых блуждающих тел в Солнечной системе ^[15] , диффузионно-взвешенного сигнала МРТ в мозге ^[16] и добычи из нетрадиционных газовых скважин. ^[17]

По вероятности

Если интегрированное распределение представляет собой растянутую экспоненциальную функцию, нормализованная функция плотности вероятности определяется как ^{[ требуется ссылка ]} $${\displaystyle p(\tau \mid \lambda ,\beta )~d\tau ={\frac {\lambda }{\Gamma (1+\beta ^{-1})}}~e^{-(\tau \lambda )^{\beta }}~d\tau }$$

Обратите внимание, что, как ни странно, некоторые авторы используют название «растянутая экспоненциальная» для обозначения распределения Вейбулла . ^[18]

Модифицированные функции

Модифицированная растянутая экспоненциальная функция с медленно зависящим от t показателем β использовалась для кривых биологического выживания. ^{[19] [20]} $${\displaystyle f_{\beta }(t)=e^{-t^{\beta (t)}}}$$

Беспроводная связь

В беспроводной связи было показано, что масштабированная версия растянутой экспоненциальной функции появляется в преобразовании Лапласа для мощности помех , когда местоположения передатчиков моделируются как двумерный точечный процесс Пуассона без исключенной области вокруг приемника. ^[21] ${\displaystyle I}$

Преобразование Лапласа можно записать для произвольного распределения замираний следующим образом: где — мощность замирания, — показатель потерь на пути , — плотность двумерного точечного процесса Пуассона, — гамма-функция, — ожидание переменной . ^{[ необходима ссылка ]} $${\displaystyle L_{I}(s)=\exp \left(-\pi \lambda \mathbb {E} {\left[g^{\frac {2}{\eta }}\right]}\Gamma {\left(1-{\frac {2}{\eta }}\right)}s^{\frac {2}{\eta }}\right)=\exp \left(-ts^{\beta }\right)}$$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle \eta }$ ${\displaystyle \lambda }$ ${\displaystyle \Gamma (\cdot )}$ ${\displaystyle \mathbb {E} [x]}$ ${\displaystyle x}$

В той же ссылке показано, как получить обратное преобразование Лапласа для растянутой экспоненты для целых чисел более высокого порядка из целых чисел более низкого порядка и . ^{[ необходима ссылка ]} ${\displaystyle \exp \left(-s^{\beta }\right)}$ ${\displaystyle \beta =\beta _{q}\beta _{b}}$ ${\displaystyle \beta _{a}}$ ${\displaystyle \beta _{b}}$

Интернет-трансляция

Растянутая экспонента использовалась для характеристики моделей доступа к интернет-медиа, таких как YouTube и другие стабильные сайты потокового мультимедиа. ^[22] Общепринятые степенные модели доступа к веб-рабочим нагрузкам в основном отражают веб-рабочие нагрузки на основе текстового контента, такие как ежедневно обновляемые новостные сайты. ^[23]

Ссылки

1. Кольрауш, Р. (1854). «Теория электрических ударов в Лейднер Флаше». Аннален дер Физик и Химия . 91 (1): 56–82, 179–213. Бибкод : 1854АнП...167...56К. дои : 10.1002/andp.18541670103..
2. Уильямс, Г. и Уоттс, Д.К. (1970). «Несимметричное поведение диэлектрической релаксации, возникающее из простой эмпирической функции распада». Труды Фарадейского общества . 66 : 80–85. doi :10.1039/tf9706600080. S2CID  95007734..
3. Холм, Сверре (2020). «Характеристика временной области диэлектрической модели Коула-Коула». Журнал электрического биоимпеданса . 11 (1): 101–105. doi :10.2478/joeb-2020-0015. PMC 7851980. PMID  33584910 . 
4. Донскер, МД и Варадхан, СРС (1975). «Асимптотическая оценка некоторых ожиданий марковских процессов для больших времен». Comm. Pure Appl. Math . 28 : 1–47. doi :10.1002/cpa.3160280102.
5. Takano, H. и Nakanishi, H. и Miyashita, S. (1988). «Растянутый экспоненциальный распад функции спиновой корреляции в кинетической модели Изинга ниже критической температуры». Phys. Rev. B. 37 ( 7): 3716–3719. Bibcode :1988PhRvB..37.3716T. doi :10.1103/PhysRevB.37.3716. PMID  9944981.{{cite journal}}: CS1 maint: несколько имен: список авторов ( ссылка )
6. Shore, John E. и Zwanzig, Robert (1975). «Диэлектрическая релаксация и динамическая восприимчивость одномерной модели для перпендикулярно-дипольных полимеров». Журнал химической физики . 63 (12): 5445–5458. Bibcode : 1975JChPh..63.5445S. doi : 10.1063/1.431279.{{cite journal}}: CS1 maint: несколько имен: список авторов ( ссылка )
7. Брей, Дж. Дж. и Прадос, А. (1993). «Растянутый экспоненциальный распад в промежуточные моменты времени в одномерной модели Изинга при низких температурах». Physica A. 197 ( 4): 569–582. Bibcode :1993PhyA..197..569B. doi :10.1016/0378-4371(93)90015-V.{{cite journal}}: CS1 maint: несколько имен: список авторов ( ссылка )
8. Градштейн, Израиль Соломонович ; Рыжик Иосиф Моисеевич ; Героним Юрий Вениаминович ; Цейтлин Михаил Юльевич ; Джеффри, Алан (2015) [октябрь 2014 г.]. «3.478.». В Цвиллингере, Дэниел; Молл, Виктор Гюго (ред.). Таблица интегралов, рядов и произведений . Перевод Scripta Technica, Inc. (8-е изд.). Academic Press, Inc. с. 372. ИСБН 978-0-12-384933-5. LCCN  2014010276.
9. Линдси, CP и Паттерсон, GD (1980). «Подробное сравнение функций Уильямса-Уоттса и Коула-Дэвидсона». Журнал химической физики . 73 (7): 3348–3357. Bibcode : 1980JChPh..73.3348L. doi : 10.1063/1.440530.. Для более недавнего и общего обсуждения см. Berberan-Santos, MN, Bodunov, EN и Valeur, B. (2005). "Математические функции для анализа затухания люминесценции с лежащими в основе распределениями 1. Функция затухания Кольрауша (растянутая экспонента)". Chemical Physics . 315 (1–2): 171–182. Bibcode :2005CP....315..171B. doi :10.1016/j.chemphys.2005.04.006.{{cite journal}}: CS1 maint: несколько имен: список авторов ( ссылка ).
10. Зорн, Р. (2002). "Логарифмические моменты распределений времени релаксации" (PDF) . Журнал химической физики . 116 (8): 3204–3209. Bibcode :2002JChPh.116.3204Z. doi :10.1063/1.1446035.
11. Дишон и др. 1985.
12. Hilfer, J. (2002). " Представления H -функций для растянутой экспоненциальной релаксации и недебаевских восприимчивостей в стеклообразных системах". Physical Review E. 65 ( 6): 061510. Bibcode : 2002PhRvE..65f1510H. doi : 10.1103/physreve.65.061510. PMID  12188735. S2CID  16276298.
13. Альварес, Ф., Алегрия, А. и Колменеро, Дж. (1991). «Связь между функциями релаксации Кольрауша-Вильямса-Уоттса во временной области и функциями релаксации Гаврилиака-Негами в частотной области». Physical Review B. 44 ( 14): 7306–7312. Bibcode : 1991PhRvB..44.7306A. doi : 10.1103/PhysRevB.44.7306. PMID  9998642.{{cite journal}}: CS1 maint: несколько имен: список авторов ( ссылка )
14. Wuttke, J. (2012). «Преобразование Лапласа–Фурье растянутой экспоненциальной функции: аналитические границы погрешности, двойное экспоненциальное преобразование и реализация с открытым исходным кодом «libkww»». Алгоритмы . 5 (4): 604–628. arXiv : 0911.4796 . doi : 10.3390/a5040604 . S2CID  15030084.
15. Добровольскис, А., Альвареллос, Дж. и Лиссауэр, Дж. (2007). «Время жизни малых тел на планетоцентрических (или гелиоцентрических) орбитах». Icarus . 188 (2): 481–505. Bibcode :2007Icar..188..481D. doi :10.1016/j.icarus.2006.11.024.{{cite journal}}: CS1 maint: несколько имен: список авторов ( ссылка )
16. Беннетт, К.; и др. (2003). «Характеристика непрерывно распределенных скоростей диффузии воды в коре головного мозга с помощью растянутой экспоненциальной модели». Magn. Reson. Med . 50 (4): 727–734. doi : 10.1002/mrm.10581 . PMID  14523958.
17. Валько, Питер П.; Ли, В. Джон (2010-01-01). "Лучший способ прогнозирования добычи из нетрадиционных газовых скважин". Ежегодная техническая конференция и выставка SPE . Общество инженеров-нефтяников. doi :10.2118/134231-ms. ISBN 9781555633004.
18. Сорнетт, Д. (2004). Критические явления в естественных науках: хаос, фракталы, самоорганизация и беспорядок ..
19. BM Weon & JH Je (2009). «Теоретическая оценка максимальной продолжительности жизни человека». Биогеронтология . 10 (1): 65–71. doi :10.1007/s10522-008-9156-4. PMID  18560989. S2CID  8554128.
20. BM Weon (2016). «Тираннозавры как долгоживущие виды». Scientific Reports . 6 : 19554. Bibcode : 2016NatSR...619554W. doi : 10.1038/srep19554. PMC 4726238. PMID  26790747 . 
21. Аммар, HA, Нассер, Y. и Артайл, H. (2018). «Выражения в закрытой форме для функции плотности вероятности мощности помех в сетях PPP». Международная конференция IEEE по коммуникациям (ICC) 2018 г. . стр. 1–6. arXiv : 1803.10440 . doi :10.1109/ICC.2018.8422214. ISBN 978-1-5386-3180-5. S2CID  4374550.{{cite book}}: CS1 maint: несколько имен: список авторов ( ссылка )
22. Лэй Го, Эньхуа Тан, Сунцин Чен, Чжэнь Сяо и Сяодун Чжан (2008). «Растянутое экспоненциальное распределение моделей доступа к СМИ в Интернете» . ПОДК'08. С. 283–294. дои : 10.1145/1400751.1400789.{{cite conference}}: CS1 maint: несколько имен: список авторов ( ссылка )
23. Адамич, Лада А.; Бернардо А., Хуберман (2000). «Распределение по степенному закону во Всемирной паутине». Science . 287 (5461): 2115–2115. doi :10.1126/science.287.5461.2115a.

Внешние ссылки

• J. Wuttke: библиотека libkww C для вычисления преобразования Фурье растянутой экспоненциальной функции