В теории групп , разделе математики , для группы G при бинарной операции ∗ подмножество H группы G называется подгруппой G , если H также образует группу при операции ∗. Точнее, H является подгруппой G , если ограничение * на H × H является групповой операцией на H . Это часто обозначается H ≤ G , что читается как « H является подгруппой G ».
Тривиальной подгруппой любой группы является подгруппа { e }, состоящая только из единичного элемента. [1]
Собственная подгруппа группы G — это подгруппа H , которая является собственным подмножеством группы G (т. е. H ≠ G ). Это часто обозначается как H < G , что читается как « H является собственной подгруппой G ». Некоторые авторы также исключают из числа собственных тривиальную группу (т. е. H ≠ { e }). [2] [3]
Если H — подгруппа группы G , то G иногда называют надгруппой группы H.
Те же определения применяются в более общем смысле, когда G — произвольная полугруппа , но в этой статье будут рассматриваться только подгруппы групп.
Подгрупповые тесты
Предположим, что G — группа, а H — подмножество G. А пока предположим, что групповая операция G записана мультипликативно и обозначается сопоставлением.
Тогда H является подгруппой группы G тогда и только тогда, когда H непуста и замкнута относительно произведений и обратных групп. Закрытость под продуктами означает , что для каждых a и b в H продукт ab находится в H. Замкнутость относительно обратных означает, что для каждого a в H инверсия a −1 находится в H . Эти два условия можно объединить в одно, что для каждых a и b в H элемент ab −1 находится в H , но более естественно и обычно так же легко проверить два условия замыкания по отдельности. [4]
Когда H конечна , тест можно упростить: H является подгруппой тогда и только тогда, когда она непуста и замкнута относительно произведений . Уже из этих условий следует, что каждый элемент a из H порождает конечную циклическую подгруппу из H , скажем, порядка n , и тогда обратным к a является a n −1 . [4]
Если вместо этого групповая операция обозначается сложением, то замкнутая относительно произведений должна быть заменена закрытой относительно сложенной , что является условием того, что для каждых a и b в H сумма a + b находится в H и замкнутая относительно обратных операций должна быть отредактировано, чтобы сказать, что для каждого a в H обратное значение − a находится в H .
Основные свойства подгрупп
Идентичность подгруппы является тождеством группы: если G — группа с единицей eG , а H — подгруппа G с единицей eH , то eH = eG .
Обратный элемент в подгруппе — это обратный элемент в группе: если H — подгруппа группы G , а a и b — элементы H такие, что ab = ba = e H , то ab = ba = е Г. _
Если H — подгруппа группы G , то отображение включения H → G , переводящее каждый элемент a группы H в себя, является гомоморфизмом .
Пересечение подгрупп A и B группы G снова является подгруппой G . [5] Например, пересечение осей x и осей y в сложенном виде является тривиальной подгруппой. В более общем смысле, пересечение произвольного набора подгрупп G является подгруппой G .
Объединение подгрупп A и B является подгруппой тогда и только тогда, когда A ⊆ B или B ⊆ A . Непример: не является подгруппой, поскольку 2 и 3 являются элементами этого подмножества, сумма которых 5 не входит в подмножество. Точно так же объединение осей x и осей y в не является подгруппой
Если S — подмножество G , то существует наименьшая подгруппа, содержащая S , а именно пересечение всех подгрупп, содержащих S ; она обозначается ⟨ S ⟩ и называется подгруппой, порожденной S . Элемент G находится в ⟨ S ⟩ тогда и только тогда, когда он является конечным произведением элементов S и их обратных, возможно, повторяющихся. [6]
Каждый элемент a группы G порождает циклическую подгруппу ⟨ a ⟩ . Если ⟨ a ⟩ изоморфно ( целым числам по модулю n ) для некоторого положительного целого числа n , то n — наименьшее положительное целое число, для которого a n = e , и n называется порядком a . Если ⟨ a ⟩ изоморфно, то говорят , что a имеет бесконечный порядок .
Подгруппы любой данной группы образуют полную решетку по включению, называемую решеткой подгрупп . (Хотя нижняя грань здесь представляет собой обычное теоретико-множественное пересечение, верхняя грань множества подгрупп — это подгруппа, порожденная теоретико-множественным объединением подгрупп, а не само теоретико-множественное объединение.) Если e — тождество G , то тривиальная группа { e } является минимальной подгруппой G , а максимальная подгруппа — это сама группа G.
Классы смежности и теорема Лагранжа
Учитывая подгруппу H и некоторый a в G , мы определяем левый смежный класс aH = { ah : h в H }. Поскольку a обратимо, отображение φ : H → aH, заданное формулой φ( h ) = ah , является биекцией . Более того, каждый элемент G содержится ровно в одном левом смежном классе H ; левые смежные классы являются классами эквивалентности, соответствующими отношению эквивалентности a 1 ~ a 2 тогда и только тогда, когда находится в H . Число левых смежных классов H называется индексом H в G и обозначается [ G : H ] .
Теорема Лагранжа утверждает , что для конечной группы G и подгруппы H
где | г | и | Ч | обозначают порядки G и H соответственно . В частности, порядок каждой подгруппы G (и порядок каждого элемента G ) должен быть делителем | г | . [7] [8]
Правые смежные классы определяются аналогично: Ha = { ha : h in H }. Они также являются классами эквивалентности для подходящего отношения эквивалентности, и их число равно [ G : H ] .
Если aH = Ha для любого a из G , то H называется нормальной подгруппой . Каждая подгруппа индекса 2 нормальна: левые смежные классы, а также правые смежные классы представляют собой просто подгруппу и ее дополнение. В более общем смысле, если p — наименьшее простое число, делящее порядок конечной группы G , то любая подгруппа индекса p (если таковая существует) является нормальной.
Эта группа имеет две нетривиальные подгруппы: ■ J = {0, 4} и ■ H = {0, 4, 2, 6} , где J также является подгруппой H. Таблица Кэли для H — это верхний левый квадрант таблицы Кэли для G ; Таблица Кэли для J — это верхний левый квадрант таблицы Кэли для H. Группа G циклическая , как и ее подгруппы . В общем случае подгруппы циклических групп также являются циклическими. [9]
Пример: Подгруппы S 4
S 4 — симметричная группа , элементы которой соответствуют перестановкам 4 элементов. Ниже приведены все его подгруппы, упорядоченные по мощности. Каждая группа (кроме групп мощности 1 и 2) представлена своей таблицей Кэли .
24 элемента
Как и каждая группа, S 4 является своей подгруппой.
12 элементов
Альтернирующая группа содержит только четные перестановки . Это одна из двух нетривиальных собственных нормальных подгрупп группы S4 . (Вторая — ее подгруппа Клейна.)
8 элементов
6 элементов
4 элемента
3 элемента
2 элемента
Каждая перестановка p порядка 2 порождает подгруппу {1, p }. Это перестановки, которые имеют только 2 цикла:
Всего существует 6 транспозиций с одним 2-циклом. (зеленый фон)
И 3 перестановки с двумя 2-циклами. (белый фон, жирные цифры)
1 элемент
Тривиальная подгруппа — это единственная подгруппа порядка 1.
Другие примеры
Чётные целые числа образуют подгруппу кольца целых чисел: сумма двух четных целых чисел четна, а отрицательное число четного числа четно.
Идеал в кольце R — это подгруппа аддитивной группы кольца R.