В евклидовом пространстве сумма углов треугольника равна прямому углу (180 градусов , π радиан , два прямых угла или пол- оборота ). Треугольник имеет три угла, по одному в каждой вершине , ограниченные парой смежных сторон .
Долгое время было неизвестно, существуют ли другие геометрии , для которых эта сумма иная. Влияние этой проблемы на математику было особенно сильным в 19 веке. В конечном итоге ответ оказался положительным: в других пространствах (геометриях) эта сумма может быть больше или меньше, но тогда она должна зависеть от треугольника. Ее отличие от 180° является случаем углового дефекта и служит важным отличием для геометрических систем.
В евклидовой геометрии постулат треугольника утверждает, что сумма углов треугольника равна двум прямым углам . Этот постулат эквивалентен постулату о параллельных прямых . [1] При наличии других аксиом евклидовой геометрии следующие утверждения эквивалентны: [2]
Сумма углов гиперболического треугольника меньше 180°. Связь между угловым дефектом и площадью треугольника впервые доказал Иоганн Генрих Ламберт . [4]
Легко увидеть, как гиперболическая геометрия нарушает аксиому Плейфера, аксиому Прокла (параллельность, определяемая как непересечение, нетранзитивна в гиперболической плоскости), постулат равноудаленности (точки по одну сторону от данной прямой и равноудаленные от нее не образуют прямую) и теорему Пифагора. Окружность [5] не может иметь произвольно малую кривизну , [6] поэтому свойство трех точек также не выполняется.
Сумма углов может быть сколь угодно малой (но положительной). Для идеального треугольника , обобщения гиперболических треугольников, эта сумма равна нулю.
Для сферического треугольника сумма углов больше 180° и может достигать 540°. Величина, на которую сумма углов превышает 180°, называется сферическим избытком, обозначаемым как Ε или Δ. [7] В частности, сумма углов равна
где f — доля площади сферы, заключенная в треугольник.
Сферическая геометрия не удовлетворяет нескольким аксиомам Евклида (включая постулат о параллельности ).
Углы между соседними сторонами треугольника называются внутренними углами в евклидовой и других геометриях. Внешние углы также могут быть определены, и постулат евклидова треугольника может быть сформулирован как теорема о внешнем угле . Можно также рассмотреть сумму всех трех внешних углов, которая равна 360° [8] в евклидовом случае (как и для любого выпуклого многоугольника ), меньше 360° в сферическом случае и больше 360° в гиперболическом случае.
В дифференциальной геометрии поверхностей вопрос об угловом дефекте треугольника понимается как частный случай теоремы Гаусса-Бонне , где кривизна замкнутой кривой является не функцией, а мерой с носителем ровно в трех точках – вершинах треугольника.
эквивалентен постулату равноудалённости , аксиоме Плейфера , аксиоме Прокла , постулату треугольника и теореме Пифагора .
что площадь гиперболического треугольника пропорциональна дефекту его угла, впервые появилось в монографии Ламберта «Теория параллельных» , опубликованной посмертно в 1786 году.