Суперотбор

Правило, запрещающее согласованность некоторых состояний

В квантовой механике суперотбор расширяет концепцию правил отбора .

Правила суперотбора — это постулированные правила, запрещающие создание квантовых состояний , которые демонстрируют когерентность между собственными состояниями определенных наблюдаемых . ^[1] Первоначально они были введены Джаном Карло Уиком , Артуром Уайтманом и Юджином Вигнером для наложения дополнительных ограничений на квантовую теорию сверх ограничений правил отбора .

Математически говоря, два квантовых состояния и разделены правилом отбора, если для данного гамильтониана , в то время как они разделены правилом суперотбора, если для всех физических наблюдаемых . Поскольку никакие наблюдаемые не связаны и они не могут быть помещены в квантовую суперпозицию , и/или квантовая суперпозиция не может быть отличима от классической смеси двух состояний. Это также подразумевает, что существует классически сохраняющаяся величина, которая различается между двумя состояниями. ^[2] ${\displaystyle \psi _{1}}$ ${\displaystyle \psi _{2}}$ ${\displaystyle \langle \psi _{1}|H|\psi _{2}\rangle =0}$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle \langle \psi _{1}|A|\psi _{2}\rangle =0}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle \langle \psi _{1}|}$ ${\displaystyle |\psi _{2}\rangle }$ ${\displaystyle \alpha |\psi _{1}\rangle +\beta |\psi _{2}\rangle }$

Сектор суперселекции — это концепция, используемая в квантовой механике , когда представление *-алгебры разлагается на неприводимые компоненты . Он формализует идею о том, что не все самосопряженные операторы являются наблюдаемыми , поскольку относительная фаза суперпозиции ненулевых состояний из разных неприводимых компонентов ненаблюдаема ( ожидаемые значения наблюдаемых не могут их различить).

Формулировка

Предположим, что A — унитальная * -алгебра, а O — унитальная * -подалгебра , самосопряженные элементы которой соответствуют наблюдаемым. Унитарное представление O можно разложить в прямую сумму неприводимых унитарных представлений O. Каждый изотипический компонент в этом разложении называется сектором суперселекции . Наблюдаемые сохраняют секторы суперселекции.

Отношение к симметрии

Симметрии часто приводят к появлению секторов суперотбора (хотя это не единственный способ их возникновения). Предположим, что группа G действует на A , и что H является унитарным представлением как A, так и G, которое является эквивариантным в том смысле, что для всех g в G , a в A и ψ в H ,

${\displaystyle g(a\cdot \psi )=(ga)\cdot (g\psi )}$

Предположим, что O — инвариантная подалгебра A относительно G (все наблюдаемые инвариантны относительно G , но не каждый самосопряженный оператор, инвариантный относительно G , обязательно является наблюдаемой). H разлагается на сектора суперселекции, каждый из которых является тензорным произведением неприводимого представления G с представлением O.

Это можно обобщить, предположив, что H является лишь представлением расширения или покрытия K группы G. (Например, G может быть группой Лоренца, а K — соответствующим двойным спиновым покрытием .) В качестве альтернативы можно заменить G алгеброй Ли , супералгеброй Ли или алгеброй Хопфа .

Примеры

Рассмотрим квантово-механическую частицу, ограниченную замкнутой петлей (т.е. периодической линией с периодом L ). Сектора суперотбора обозначены углом θ между 0 и 2π. Все волновые функции в пределах одного сектора суперотбора удовлетворяют

${\displaystyle \psi (x+L)=e^{i\theta }\psi (x).}$

Сектора суперселекции

Большая физическая система с бесконечным числом степеней свободы не всегда посещает все возможные состояния, даже если у нее достаточно энергии. Если магнит намагничивается в определенном направлении, каждый спин будет колебаться при любой температуре, но чистая намагниченность никогда не изменится. Причина в том, что бесконечно маловероятно, что все бесконечное число спинов в каждом различном положении будут колебаться вместе одинаковым образом.

Большая система часто имеет сектора суперотбора. В твердом теле различные вращения и трансляции, которые не являются симметриями решетки, определяют сектора суперотбора. В общем случае правило суперотбора — это величина, которая никогда не может измениться из-за локальных флуктуаций. Помимо параметров порядка, таких как намагниченность магнита, существуют также топологические величины, такие как число витков. Если струна намотана на круглый провод, общее число ее витков никогда не меняется из-за локальных флуктуаций. Это обычный закон сохранения. Если провод представляет собой бесконечную линию, при условиях, что вакуум не имеет флуктуаций числа витков, которые когерентны по всей системе, закон сохранения — это правило суперотбора — вероятность того, что обмотка раскрутится, равна нулю.

Существуют квантовые флуктуации, суперпозиции, возникающие из различных конфигураций интеграла по траектории фазового типа, и статистические флуктуации из интеграла по траектории типа Больцмана. Оба этих интеграла по траектории обладают тем свойством, что большие изменения в фактически бесконечной системе требуют маловероятного заговора между флуктуациями. Таким образом, существуют как статистические механические, так и квантово-механические правила суперотбора.

В теории, где вакуум инвариантен относительно симметрии, сохраняющийся заряд приводит к секторам суперотбора в случае, если заряд сохраняется. Электрический заряд сохраняется в нашей Вселенной, поэтому на первый взгляд это кажется тривиальным примером. Но когда сверхпроводник заполняет пространство или, что эквивалентно, в фазе Хиггса, электрический заряд по-прежнему сохраняется глобально, но больше не определяет секторы суперотбора. Выплескивание сверхпроводника может принести заряды в любой объем с очень малыми затратами. В этом случае сектора суперотбора вакуума помечены направлением поля Хиггса. Поскольку различные направления Хиггса связаны точной симметрией, все они в точности эквивалентны. Это предполагает глубокую связь между направлениями нарушения симметрии и сохраняющимися зарядами.

Дискретная симметрия

В 2D- модели Изинга при низких температурах существуют два различных чистых состояния: одно со средним спином, направленным вверх, и другое со средним спином, направленным вниз. Это упорядоченная фаза. При высоких температурах существует только одно чистое состояние со средним спином, равным нулю. Это неупорядоченная фаза. При фазовом переходе между ними симметрия между спином вверх и спином вниз нарушается.

Ниже температуры фазового перехода бесконечная модель Изинга может находиться либо в конфигурации «в основном плюс», либо в конфигурации «в основном минус». Если она начинается в фазе «в основном плюс», она никогда не достигнет «в основном минус», даже если переворот всех спинов даст ту же энергию. Изменяя температуру, система приобрела новое правило суперотбора — средний спин. Существует два сектора суперотбора — «в основном минус» и «в основном плюс».

Существуют также другие сектора суперотбора; например, состояния, где левая половина плоскости в основном положительная, а правая половина плоскости в основном отрицательная.

Когда появляется новое правило суперотбора, система спонтанно упорядочивается. Выше критической температуры модель Изинга становится неупорядоченной. Она могла бы посетить в принципе любое состояние. Ниже перехода система выбирает одну из двух возможностей случайным образом и никогда не меняет своего решения.

Для любой конечной системы суперотбор несовершенен. Модель Изинга на конечной решетке в конечном итоге будет колебаться от преимущественно плюсовой до преимущественно минусовой при любой ненулевой температуре, но это займет очень много времени. Количество времени экспоненциально мало в размере системы, измеренном в длинах корреляции , поэтому для всех практических целей переворот никогда не произойдет даже в системах, всего в несколько раз превышающих длину корреляции.

Непрерывные симметрии

Если статистическое или квантовое поле имеет три действительных скалярных поля , а энергия или действие зависят только от комбинаций, которые симметричны относительно вращений этих компонентов друг в друга, то вклады с наименьшей размерностью равны ( соглашение о суммировании ): ${\displaystyle \phi _{1},\phi _{2},\phi _{3}}$

${\displaystyle |\nabla \phi _{i}|^{2}+t\phi _{i}^{2}+\lambda (\phi _{i}^{2})^{2}\,}$

и определить действие в контексте квантового поля или свободную энергию в статистическом контексте. Есть две фазы. Когда t велико, потенциал стремится сместить среднее значение к нулю. Для больших и отрицательных t квадратичный потенциал выталкивает , но квартикальный потенциал не дает ему стать бесконечным. Если это сделать в квантовом интеграле по траектории, это квантовый фазовый переход , в классической статистической сумме — классический фазовый переход. ${\displaystyle \phi }$ ${\displaystyle \phi }$

Итак, по мере того, как t движется к более отрицательным значениям в любом контексте, поле должно выбрать некоторое направление, чтобы указать. Как только оно это сделает, оно не может изменить свое решение. Система упорядочена . В упорядоченной фазе все еще есть немного симметрии — вращения вокруг оси разрыва. Поле может указывать в любом направлении, обозначенном всеми точками на единичной сфере в пространстве, которое является пространством смежных классов неразрывной подгруппы SO(2) в полной группе симметрии SO(3). ${\displaystyle \phi }$

В неупорядоченной фазе сектора суперотбора описываются представлением SO(3), при котором заданная конфигурация преобразуется глобально. Поскольку SO(3) неразрывна, различные представления не будут смешиваться друг с другом. Никакая локальная флуктуация никогда не принесет нетривиальные конфигурации SO(3) из бесконечности. Локальная конфигурация полностью определяется своим представлением.

Существует массовый зазор, или корреляционная длина, которая отделяет конфигурации с нетривиальными преобразованиями SO(3) от вращательно-инвариантного вакуума. Это верно до критической точки в t, где массовый зазор исчезает, а корреляционная длина становится бесконечной. Исчезающий зазор является признаком того, что флуктуации в поле SO(3) вот-вот сконденсируются.

В упорядоченной области существуют конфигурации поля, которые могут нести топологический заряд. Они помечены элементами второй гомотопической группы . Каждая из них описывает другую конфигурацию поля, которая на больших расстояниях от начала координат является конфигурацией обмотки. Хотя каждая такая изолированная конфигурация имеет бесконечную энергию, она помечает сектора суперселекции, где разница в энергии между двумя состояниями конечна. Кроме того, пары конфигураций обмотки с противоположным топологическим зарядом могут быть получены в большом количестве по мере приближения к переходу снизу. ${\displaystyle \pi _{2}(SO(3)/SO(2))=\mathbb {Z} }$

Когда число витков равно нулю, так что поле везде направлено в одном направлении, существует дополнительная бесконечность секторов суперотбора, каждый из которых помечен различным значением неразрывного заряда SO(2).

В упорядоченном состоянии существует разрыв массы для секторов суперотбора, помеченных ненулевым целым числом, поскольку топологические солитоны массивны, даже бесконечно массивны. Но нет разрыва массы для всех секторов суперотбора, помеченных нулем, поскольку существуют безмассовые бозоны Голдстоуна, описывающие флуктуации в направлении конденсата.

Если значения полей идентифицируются при отражении Z2 (соответствующем изменению знака всех полей ), _то сектора суперселекции помечаются неотрицательным целым числом (абсолютным значением топологического заряда). ${\displaystyle \phi }$

Заряды O(3) имеют смысл только в неупорядоченной фазе и совсем не имеют смысла в упорядоченной фазе. Это происходит потому, что при нарушении симметрии возникает заряженный конденсат , который не является инвариантным относительно группы симметрии. И наоборот, топологический заряд имеет смысл только в упорядоченной фазе и совсем не имеет смысла в неупорядоченной фазе, потому что в некотором смысле в неупорядоченной фазе есть «топологический конденсат», который рандомизирует поле от точки к точке. Рандомизацию можно рассматривать как пересечение множества конденсированных топологических границ обмотки.

Сам вопрос о том, какие заряды имеют смысл, во многом зависит от фазы. Приближаясь к фазовому переходу со стороны беспорядка, масса частиц зарядов стремится к нулю. Приближаясь к нему со стороны упорядочения, массовый зазор, связанный с флуктуациями топологических солитонов, стремится к нулю.

Примеры из физики элементарных частиц

механизм Хиггса

В стандартной модели физики элементарных частиц, в электрослабом секторе, модель с низкой энергией — это SU(2) и U(1), нарушенные до U(1) дублетом Хиггса. Единственное правило суперотбора, определяющее конфигурацию, — это полный электрический заряд. Если есть монополи, то заряд монополя должен быть включен.

Если параметр Хиггса t изменяется так, что он не приобретает вакуумного ожидаемого значения, то Вселенная теперь симметрична относительно неразрывной калибровочной группы SU(2) и U(1). Если SU(2) имеет бесконечно слабые связи, так что она ограничивает только на огромных расстояниях, то представление группы SU(2) и заряда U(1) являются правилами суперотбора. Но если SU(2) имеет ненулевую связь, то сектора суперотбора разделены бесконечной массой, потому что масса любого состояния в нетривиальном представлении бесконечна.

Изменяя температуру, флуктуации Хиггса могут обнулить ожидаемое значение при конечной температуре. Выше этой температуры квантовые числа SU(2) и U(1) описывают секторы суперотбора. Ниже фазового перехода только электрический заряд определяет сектор суперотбора.

Хиральный кварковый конденсат

Рассмотрим глобальную симметрию ароматов КХД в хиральном пределе, где массы кварков равны нулю. Это не совсем та вселенная, в которой мы живем, где верхние и нижние кварки имеют крошечную, но ненулевую массу, но это очень хорошее приближение, в той степени, в которой сохраняется изоспин.

Ниже определенной температуры, которая является температурой восстановления симметрии, фаза упорядочена. Образуется хиральный конденсат и производятся пионы малой массы. Заряды SU(N _f ), изоспин и гиперзаряд и SU(3) имеют смысл. Выше температуры КХД лежит неупорядоченная фаза, где заряды SU(N _f )×SU(N _f ) и цвет SU(3) имеют смысл.

Остается открытым вопрос, является ли температура деконфайнмента КХД также температурой, при которой плавится хиральный конденсат.

Примечания

1. Бартлетт, Стивен Д.; Рудольф, Терри ; Спеккенс, Роберт В. (апрель–июнь 2007 г.). «Системы отсчета, правила суперотбора и квантовая информация». Reviews of Modern Physics . 79 (2): 555–606. arXiv : quant-ph/0610030 . Bibcode : 2007RvMP...79..555B. doi : 10.1103/RevModPhys.79.555. S2CID  118880279.
2. Джулини, Доменико (2007). «Правила суперотбора». arXiv : 0710.1516 [квант-ph].

Ссылки

• Хоружий, Сергей Сергеевич; Хоружий, СС (1990), Введение в алгебраическую квантовую теорию поля , Springer, ISBN 978-90-277-2722-0.
• Моретти, Вальтер (2017), Спектральная теория и квантовая механика: математические основы квантовых теорий, симметрии и введение в алгебраическую формулировку. , Springer, ISBN 978-3-319-70705-1.
• Моретти, Вальтер (2019), Фундаментальные математические структуры квантовой теории: спектральная теория, фундаментальные вопросы, симметрии, алгебраическая формулировка. , Springer, ISBN 978-3-030-18345-5.
• Халворсон, Ганс; Мюгер, Майкл (2006). «Алгебраическая квантовая теория поля». arXiv : math-ph/0602036 .