В математике симметричная алгебра S ( V ) (также обозначаемая Sym( V )) на векторном пространстве V над полем K является коммутативной алгеброй над K , которая содержит V , и является, в некотором смысле, минимальной для этого свойства. Здесь «минимальная» означает, что S ( V ) удовлетворяет следующему универсальному свойству : для каждого линейного отображения f из V в коммутативную алгебру A существует единственный гомоморфизм алгебр g : S ( V ) → A такой, что f = g ∘ i , где i — отображение включения V в S ( V ) .
Если B является базисом V , симметрическая алгебра S ( V ) может быть идентифицирована посредством канонического изоморфизма с кольцом многочленов K [ B ] , где элементы B рассматриваются как неопределенные. Таким образом, симметрическая алгебра над V может рассматриваться как «координатно-свободное» кольцо многочленов над V .
Симметрическая алгебра S ( V ) может быть построена как фактор тензорной алгебры T ( V ) по двустороннему идеалу , порожденному элементами вида x ⊗ y − y ⊗ x .
Все эти определения и свойства естественным образом распространяются на случай, когда V — модуль (не обязательно свободный) над коммутативным кольцом .
Можно использовать тензорную алгебру T ( V ) для описания симметрической алгебры S ( V ) . Фактически, S ( V ) можно определить как фактор-алгебру T ( V ) по двустороннему идеалу, порожденному коммутаторами
Легко проверить, что полученная алгебра удовлетворяет универсальному свойству, указанному во введении. Благодаря универсальному свойству тензорной алгебры линейное отображение f из V в коммутативную алгебру A продолжается до гомоморфизма алгебры , который факторизуется через S(V), поскольку A коммутативна. Расширение f до гомоморфизма алгебры является единственным, поскольку V порождает S(V) как K -алгебру.
Это также напрямую следует из общего результата теории категорий , которая утверждает, что композиция двух левосопряжённых функторов также является левосопряжённым функтором. Здесь забывающий функтор из коммутативных алгебр в векторные пространства или модули (забывая умножение) является композицией забывающих функторов из коммутативных алгебр в ассоциативные алгебры (забывая коммутативность) и из ассоциативных алгебр в векторы или модули (забывая умножение). Поскольку тензорная алгебра и фактор по коммутаторам являются левосопряжёнными к этим забывающим функторам, их композиция является левосопряжённой к забывающему функтору из коммутативной алгебры в векторы или модули, и это доказывает желаемое универсальное свойство.
Симметричную алгебру S ( V ) также можно построить из колец многочленов .
Если V является K -векторным пространством или свободным K -модулем с базисом B , то пусть K [ B ] будет кольцом многочленов, в котором элементы B являются неопределенными. Однородные многочлены первой степени образуют векторное пространство или свободный модуль, который можно отождествить с V . Легко проверить, что это делает K [ B ] решением универсальной проблемы, сформулированной во введении. Это подразумевает, что K [ B ] и S ( V ) канонически изоморфны и, следовательно, могут быть отождествлены. Это также немедленно следует из общих соображений теории категорий , поскольку свободные модули и кольца многочленов являются свободными объектами своих соответствующих категорий.
Если V — модуль, который не является свободным, то его можно записать так , где L — свободный модуль, а M — подмодуль L. В этом случае имеем
где — идеал, порожденный M. (Здесь знаки равенства означают равенство с точностью до канонического изоморфизма.) Опять же, это можно доказать, показав, что существует решение универсального свойства, и это можно сделать либо с помощью простого, но скучного вычисления, либо с помощью теории категорий, а точнее, того факта, что частное является решением универсальной проблемы для морфизмов, которые отображают в ноль заданное подмножество. (В зависимости от случая, ядро является нормальной подгруппой , подмодулем или идеалом, и обычное определение частных можно рассматривать как доказательство существования решения универсальной проблемы.)
Симметричная алгебра является градуированной алгеброй . То есть, это прямая сумма
где называется n- й симметрической степенью V , — это векторное подпространство или подмодуль , порожденный произведениями n элементов V. (Вторую симметрическую степень иногда называют симметрическим квадратом V ).
Это можно доказать разными способами. Один из них следует из конструкции тензорной алгебры: поскольку тензорная алгебра градуирована, а симметрическая алгебра является ее фактором по однородному идеалу : идеал, порожденный всеми , где x и y находятся в V , то есть однороден степени один.
В случае векторного пространства или свободного модуля градуировка — это градуировка многочленов по полной степени . Несвободный модуль можно записать как L / M , где L — свободный модуль с базой B ; его симметрическая алгебра — это фактор (градуированной) симметрической алгебры L (кольца многочленов) по однородному идеалу, порожденному элементами M , которые являются однородными степени один.
Можно также определить как решение универсальной задачи для n -линейных симметричных функций из V в векторное пространство или модуль, а затем проверить, что прямая сумма всех удовлетворяет универсальной задаче для симметричной алгебры.
Поскольку симметричная алгебра векторного пространства является фактором тензорной алгебры, элемент симметричной алгебры не является тензором и, в частности, не является симметричным тензором . Однако симметричные тензоры тесно связаны с симметричной алгеброй.
Симметричный тензор степени n — это элемент T n ( V ) , который инвариантен относительно действия симметрической группы Точнее, данное преобразование определяет линейный эндоморфизм T n ( V ) . Симметричный тензор — это тензор, который инвариантен относительно всех этих эндоморфизмов. Симметричные тензоры степени n образуют векторное подпространство (или модуль) Sym n ( V ) ⊂ T n ( V ) . Симметричные тензоры являются элементами прямой суммы , которая является градуированным векторным пространством (или градуированным модулем ). Это не алгебра, так как тензорное произведение двух симметричных тензоров в общем случае не симметрично.
Пусть будет ограничением на Sym n ( V ) канонической сюръекции Если n ! обратимо в основном поле (или кольце), то является изоморфизмом . Это всегда так с основным полем нулевой характеристики . Обратный изоморфизм — это линейное отображение, определяемое (на произведениях n векторов) симметризацией
Отображение не является инъективным, если характеристика меньше n +1; например, равно нулю в характеристике два. Над кольцом характеристики ноль может быть не сюръективным; например, над целыми числами, если x и y — два линейно независимых элемента V = S 1 ( V ), которые не находятся в 2 V , то поскольку
Подводя итог, над полем нулевой характеристики симметричные тензоры и симметричная алгебра образуют два изоморфных градуированных векторных пространства. Таким образом, их можно идентифицировать, если говорить только о структуре векторного пространства, но их нельзя идентифицировать, если речь идет о произведениях. Более того, этот изоморфизм не распространяется на случаи полей положительной характеристики и колец, не содержащих рациональных чисел .
Для данного модуля V над коммутативным кольцом K симметрическая алгебра S ( V ) может быть определена следующим универсальным свойством :
Что касается каждого универсального свойства, то как только решение существует, оно однозначно определяет симметричную алгебру с точностью до канонического изоморфизма . Из этого следует, что все свойства симметричной алгебры могут быть выведены из универсального свойства. Этот раздел посвящен основным свойствам, которые относятся к теории категорий .
Симметрическая алгебра является функтором из категории K -модулей в категорию K -коммутативной алгебры, поскольку универсальное свойство подразумевает, что каждый гомоморфизм модулей может быть единственным образом продолжен до гомоморфизма алгебры
Универсальное свойство можно переформулировать, сказав, что симметричная алгебра является левым сопряженным функтором забывания , который отправляет коммутативную алгебру в ее базовый модуль.
Аналогично можно построить симметричную алгебру на аффинном пространстве . Ключевое отличие состоит в том, что симметричная алгебра аффинного пространства является не градуированной алгеброй, а фильтрованной алгеброй : можно определить степень многочлена на аффинном пространстве, но не его однородные части.
Например, если задан линейный многочлен в векторном пространстве, можно определить его постоянную часть, оценив ее в 0. В аффинном пространстве нет выделенной точки, поэтому этого сделать нельзя (выбор точки превращает аффинное пространство в векторное).
S k — это функторы, сравнимые с внешними степенями ; здесь, однако, размерность растет с k ; она задается выражением
где n — размерность V . Этот биномиальный коэффициент — это число n- переменных мономов степени k . Фактически, симметрическая алгебра и внешняя алгебра появляются как изотипические компоненты тривиального и знакового представления действия, действующего на тензорное произведение (например, над комплексным полем) [ необходима цитата ]
Симметричной алгебре можно придать структуру алгебры Хопфа . Подробности см. в разделе Тензорная алгебра .
Симметрическая алгебра S ( V ) является универсальной обертывающей алгеброй абелевой алгебры Ли , т.е. такой, в которой скобка Ли тождественно равна 0.
