Диэдральная группа порядка 6

Некоммутативная группа из 6 элементов

Граф Кэли с перестановками треугольника

Граф цикла с матрицами перестановок из 3 элементов
(генераторы a и b такие же, как в графе Кэли, показанном выше.)

Таблица Кэли как таблица умножения матриц перестановок

Позиции шести элементов в таблице Кэли
Только нейтральные элементы симметричны главной диагонали, поэтому эта группа не является абелевой .

Таблица Кэли как общая (и специальная ) линейная группа GL(2, 2)

В математике D ₃ ( иногда также обозначается как D ₆ ) — диэдральная группа степени 3 и порядка 6. Она равна симметрической группе S ₃ . Это также наименьшая неабелева группа . ^[1]

На этой странице проиллюстрированы многие групповые концепции на примере данной группы.

Группы симметрии

Группа диэдра D ₃ является группой симметрии равностороннего треугольника , то есть это множество всех жестких преобразований (отражения, вращения и их комбинации), которые оставляют форму и положение этого треугольника фиксированными. В случае D ₃ каждая возможная перестановка вершин треугольника составляет такое преобразование, так что группа этих симметрий изоморфна симметрической группе S ₃ всех перестановок трех различных элементов. Это не так для групп диэдра более высоких порядков.

Группа диэдра D ₃ изоморфна двум другим группам симметрии в трех измерениях:

• один с осью вращения 3-го порядка и перпендикулярной осью вращения 2-го порядка (отсюда их три): D ₃
• один с осью вращения 3-го порядка в плоскости отражения (и, следовательно, также в двух других плоскостях отражения): C _3v

Перестановки набора из трех объектов

Рассмотрим три цветных блока (красный, зеленый и синий), изначально размещенных в порядке RGB. Симметрическая группа S ₃ тогда является группой всех возможных перестановок этих блоков. Если мы обозначим через a действие «поменять местами первые два блока», а через b действие «поменять местами последние два блока», мы можем записать все возможные перестановки в терминах этих двух действий.

В мультипликативной форме мы традиционно пишем xy для комбинированного действия "сначала сделать y , затем сделать x "; так что ab — это действие RGB ↦ RBG ↦ BRG , то есть "взять последний блок и переместить его вперед". Если мы пишем e для "оставить блоки как есть" (тождественное действие), то мы можем записать шесть перестановок набора из трех блоков как следующие действия:

• е  : RGB ↦ RGB или ()
• а  : RGB ↦ GRB или (RG)
• б  : RGB ↦ RBG или (GB)
• ab  : RGB ↦ BRG или (RGB)
• ba  : RGB ↦ GBR или (RBG)
• aba  : RGB ↦ BGR или (RB)

Обозначение в скобках — это обозначение цикла .

Обратите внимание, что действие aa имеет эффект RGB ↦ GRB ↦ RGB , оставляя блоки такими, какими они были; поэтому мы можем записать aa = e . Аналогично,

• бб = е ,
• ( аба )( аба ) = е , и
• ( аб ) ( ба ) знак равно ( ба ) ( аб ) знак равно е ;

поэтому каждое из вышеперечисленных действий имеет обратное.

Путем проверки мы также можем определить ассоциативность и замкнутость (две необходимые групповые аксиомы ); обратите внимание, например, что

• ( аб ) а = а ( ба ) = аба , и
• ( ба ) б = б ( аб ) = баб .

Группа неабелева, так как, например, ab ≠ ba . Поскольку она построена из базовых действий a и b , мы говорим, что множество { a , b } порождает ее.

Группа имеет презентацию

${\displaystyle \langle r,a\mid r^{3}=1,a^{2}=1,ara=r^{-1}\rangle }$, также написано ${\displaystyle \langle r,a\mid r^{3},a^{2},arar\rangle }$

или

${\displaystyle \langle a,b\mid a^{2}=b^{2}=(ab)^{3}=1\rangle }$, также написано ${\displaystyle \langle a,b\mid a^{2},b^{2},(ab)^{3}\rangle }$

где a и b — это обмены, а r = ab — циклическая перестановка. Обратите внимание, что второе представление означает, что группа является группой Коксетера . (На самом деле, все диэдральные и симметричные группы являются группами Коксетера.)

Резюме групповых операций

С генераторами a и b мы определяем дополнительные сокращения c  := aba , d  := ab и f  := ba , так что a, b, c, d, e и f являются элементами этой группы. Затем мы можем суммировать групповые операции в виде таблицы Кэли :

Обратите внимание, что неравные нетождественные элементы коммутируют только если они являются обратными друг другу. Поэтому группа не имеет центра , т. е. центр группы состоит только из тождественного элемента.

Классы сопряженности

Мы можем легко различить три вида перестановок трех блоков, классов сопряженности группы:

• без изменений (), элемент группы порядка 1
• перестановка двух блоков: (RG), (RB), (GB), три групповых элемента порядка 2
• циклическая перестановка всех трех блоков: (RGB), (RBG), два элемента группы порядка 3

Например, (RG) и (RB) оба имеют форму ( x y ); перестановка букв R, G и B (а именно (GB)) меняет обозначение (RG) на (RB). Поэтому, если мы применим (GB), затем (RB), а затем обратное (GB), которое также является (GB), результирующая перестановка будет (RG).

Обратите внимание, что элементы сопряженной группы всегда имеют одинаковый порядок , но в общем случае два элемента группы, имеющие одинаковый порядок, не обязательно должны быть сопряженными.

Подгруппы

Из теоремы Лагранжа мы знаем, что любая нетривиальная подгруппа группы из 6 элементов должна иметь порядок 2 или 3. Фактически две циклические перестановки всех трех блоков с единицей образуют подгруппу порядка 3, индекса 2, а перестановки двух блоков, каждый с единицей, образуют три подгруппы порядка 2, индекса 3. Существование подгрупп порядка 2 и 3 также является следствием теоремы Коши .

Первая из них — { (), (RGB), (RBG) }, знакопеременная группа A ₃ .

Левые смежные классы и правые смежные классы A ₃ совпадают (как и для любой подгруппы индекса 2) и состоят из A ₃ и набора из трех обменов { (RB), (RG), (BG) }.

Левые смежные классы { (), (RG) } :

• { (), (РГ) }
• { (РБ), (РГБ) }
• { (GB), (RBG) }

Правые смежные классы { (RG), () } :

• { (РГ), () }
• { (РБГ), (РБ) }
• { (RGB), (GB) }

Таким образом, A ₃ является нормальной , а остальные три нетривиальные подгруппы — нет. Фактор-группа G / A ₃ изоморфна C ₂ .

${\displaystyle G=\mathrm {A} _{3}\rtimes H}$, полупрямое произведение , где H — подгруппа из двух элементов: () и одного из трех обменов. Это разложение также является следствием (частным случаем) теоремы Шура–Цассенхауза .

С точки зрения перестановок два элемента группы G / A ₃ представляют собой множество четных перестановок и множество нечетных перестановок.

Если исходная группа — это группа, полученная в результате поворота плоскости на 120° вокруг точки и отражения относительно прямой, проходящей через эту точку, то фактор-группа имеет два элемента, которые можно описать как подмножества «просто повернуть (или ничего не делать)» и «получить зеркальное отражение ».

Обратите внимание, что для группы симметрии квадрата неравномерная перестановка вершин соответствует не получению зеркального отображения, а операциям, недопустимым для прямоугольников , то есть повороту на 90° и применению диагональной оси отражения.

Полупрямые продукты

${\displaystyle \mathrm {C} _{3}\rtimes _{\varphi }\mathrm {C} _{2}}$если и φ (0), и φ (1) являются тождественными. Полупрямое произведение изоморфно диэдральной группе порядка 6, если φ (0) является тождественным, а φ (1) является нетривиальным автоморфизмом C ₃ , который инвертирует элементы. ${\displaystyle \mathrm {C} _{3}\times \mathrm {C} _{2}}$

Таким образом, мы получаем:

( n1 _, 0 ) * ( n2 , h2 ₎ = ( _n1 + _{n2 ,} h2 ₎

( n1 , 1) _{* ( n2} , h2 ) = ( n1 _{− n2} , ₁ + h2 )

для всех n ₁ , n ₂ в C ₃ и h ₂ в C ₂ . Более кратко,

${\displaystyle (n_{1},h_{1})*(n_{2},h_{2})=(n_{1}+(-1)^{h_{1}}n_{2},h_{1}+h_{2})}$

для всех n ₁ , n ₂ в C ₃ и h ₁ , h ₂ в C ₂ .

В таблице Кэли:

Обратите внимание, что для второй цифры у нас по сути есть таблица 2×2 с 3×3 одинаковыми значениями для каждой из этих 4 ячеек. Для первой цифры левая половина таблицы такая же, как и правая, но верхняя половина отличается от нижней.

Для прямого произведения таблица та же самая, за исключением того, что первые цифры нижней половины таблицы такие же, как и в верхней половине.

Групповые действия

Рассмотрим D3 геометрически, как группу симметрии изометрий плоскости, и рассмотрим соответствующее действие группы на набор из 30 равномерно расположенных точек на окружности, пронумерованных от 0 до 29, с 0 на одной из осей отражения _.

В этом разделе иллюстрируются концепции групповых действий для данного случая.

Действие G на X называется

• транзитивным , если для любых двух x , y из X существует g из G, такой что g · x = y ; это не так
• верным (или эффективным ), если для любых двух различных g , h в G существует x в X, такой что g · x ≠ h · x ; это так, потому что, за исключением тождества, группы симметрии не содержат элементов, которые «ничего не делают»
• свободен , если для любых двух различных g , h в G и всех x в X имеем g · x ≠ h · x ; это не так, поскольку существуют отражения

Орбиты и стабилизаторы

Орбиты 30 равномерно расположенных точек на окружности под действием группы D ₃

Орбита точки x в X — это множество элементов X , в которые x может быть перемещен элементами G. Орбита x обозначается Gx :

${\displaystyle Gx=\left\{g\cdot x\mid g\in G\right\}}$

Орбиты: {0, 10, 20}, {1, 9, 11, 19, 21, 29}, {2, 8, 12, 18, 22, 28}, {3, 7, 13, 17, 23, 27}, {4, 6, 14, 16, 24, 26} и {5, 15, 25}. Точки внутри орбиты «эквивалентны». Если группа симметрии применяется к шаблону, то внутри каждой орбиты цвет одинаков.

Множество всех орбит X под действием G записывается как X / G.

Если Y является подмножеством X , мы пишем GY для множества { g · y  : y ∈ Y и g ∈ G }. Мы называем подмножество Y инвариантным относительно G , если GY = Y (что эквивалентно GY ⊆ Y ) . В этом случае G также действует на Y. Подмножество Y называется фиксированным относительно G, если g · y = y для всех g из G и всех y из Y. Объединение, например, двух орбит инвариантно относительно G , но не фиксировано.

Для каждого x из X мы определяем стабилизирующую подгруппу x ( также называемую группой изотропии или малой группой ) как множество всех элементов в G , которые фиксируют x :

${\displaystyle G_{x}=\{g\in G\mid g\cdot x=x\}}$

Если x — точка отражения (0, 5, 10, 15, 20 или 25) , ее стабилизатор — группа второго порядка, содержащая единицу и отражение относительно x . В других случаях стабилизатор — тривиальная группа.

Для фиксированного x в X рассмотрим отображение из G в X, заданное формулой g ↦ g · x . Образ этого отображения — орбита x , а кообраз — множество всех левых смежных классов G x . Стандартная теорема о факторе теории множеств затем дает естественную биекцию между G / G _x и Gx . В частности, биекция задается формулой hG _x ↦ h · _x . Этот результат известен как теорема о стабилизаторе орбиты . В двух случаях малой орбиты стабилизатор нетривиален.

Если два элемента x и y принадлежат одной и той же орбите, то их подгруппы стабилизаторов, G _x и G _y , изоморфны . Точнее: если y = g · x , то G _y = gG _x g ⁻¹ . В примере это применимо, например, для 5 и 25, обеих точек отражения. Отражение относительно 25 соответствует повороту на 10, отражение относительно 5 и повороту на −10.

Результат, тесно связанный с теоремой о стабилизаторе орбиты, — это лемма Бернсайда :

${\displaystyle \left|X/G\right|={\frac {1}{\left|G\right|}}\sum _{g\in G}\left|X^{g}\right|}$

где X ^g — множество точек, фиксируемых g . То есть число орбит равно среднему числу точек, фиксируемых на элемент группы.

Для тождества все 30 точек фиксированы, для двух вращений ни одной, а для трех отражений по две: {0, 15}, {5, 20} и {10, 25}. Таким образом, среднее значение равно шести, числу орбит.

Теория представления

С точностью до изоморфизма эта группа имеет три неприводимых комплексных унитарных представления, которые мы будем называть (тривиальное представление) и , где нижний индекс указывает размерность. По своему определению как группа перестановок над множеством с тремя элементами, группа имеет представление на перестановкой элементов вектора, фундаментальное представление. Это представление не является неприводимым, так как оно разлагается в прямую сумму и . появляется как подпространство векторов вида и является представлением на его ортогональном дополнении, которые являются векторами вида . Нетривиальное одномерное представление возникает через градуировку групп : Действие — умножение на знак перестановки элемента группы. Каждая конечная группа имеет такое представление, так как она является подгруппой циклической группы своим регулярным действием. Подсчитывая квадратные размерности представлений ( , порядок группы), мы видим, что это должны быть все неприводимые представления. ^[2] ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle \rho _{1}}$ ${\displaystyle \rho _{2}}$ ${\displaystyle \mathbb {C} ^{3}}$ ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle \rho _{2}}$ ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle (\lambda ,\lambda ,\lambda ),\lambda \in \mathbb {C} }$ ${\displaystyle \rho _{2}}$ ${\displaystyle (\lambda _{1},\lambda _{2},-\lambda _{1}-\lambda _{2})}$ ${\displaystyle \rho _{1}}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} _{2}}$ ${\displaystyle 1^{2}+1^{2}+2^{2}=6}$

Двумерное неприводимое линейное представление даёт одномерное проективное представление (т. е. действие на проективной прямой , вложение в группу Мёбиуса PGL(2, C ) ), как эллиптические преобразования . Это может быть представлено матрицами с элементами 0 и ±1 (здесь записанными как дробные линейные преобразования ), известными как ангармоническая группа :

• заказ 1: ${\displaystyle z}$
• заказ 2: ${\displaystyle 1-z,1/z,z/(z-1)}$
• заказ 3: ${\displaystyle (z-1)/z,1/(1-z)}$

и таким образом спускается к представлению над любым полем, которое всегда является точным/инъективным (поскольку никакие два члена не отличаются только знаком). Над полем с двумя элементами проективная прямая имеет только 3 точки, и это, таким образом, исключительный изоморфизм В характеристике 3 это вложение стабилизирует точку , поскольку (в характеристике больше 3 эти точки различны и переставлены, и являются орбитой гармонического перекрестного отношения ). Над полем с тремя элементами проективная прямая имеет 4 элемента, и поскольку PGL(2, 3) изоморфна симметрической группе на 4 элементах, S ₄ , результирующее вложение равно стабилизатору точки . ${\displaystyle S_{3}\approx \mathrm {PGL} (2,2).}$ ${\displaystyle -1=[-1:1],}$ ${\displaystyle 2=1/2=-1}$ ${\displaystyle \mathrm {S} _{3}\hookrightarrow \mathrm {S} _{4}}$ ${\displaystyle -1}$

Смотрите также

• Диэдральная группа порядка 8

Ссылки

1. Кубо, Джисуке (2008), «Диэдральная группа как семейная группа», Квантовая теория поля и не только , World Sci. Publ., Хакенсак, Нью-Джерси, стр. 46–63, doi :10.1142/9789812833556_0004, MR  2588575. Отождествление D ₃ с S ₃ и наблюдение, что эта группа является наименьшей возможной неабелевой группой, см. на стр. 49.
2. Вайсштейн, Эрик В. «Диэдральная группа D3». MathWorld .

• Фрэли, Джон Б. (1993), Первый курс абстрактной алгебры (5-е изд.), Аддисон-Уэсли, стр. 93–94, ISBN 978-0-201-53467-2

Внешние ссылки

• http://mathworld.wolfram.com/DihedralGroupD3.html
• https://groupprops.subwiki.org/wiki/Dihedral_group_of_order_6/Symmetric_group:S3