Факторная группа

Группа, полученная путем объединения схожих элементов более крупной группы.

Фактор -группа или фактор-группа — это математическая группа, полученная путем агрегирования подобных элементов большей группы с использованием отношения эквивалентности , которое сохраняет часть структуры группы (остальная часть структуры «выносится за скобки»). Например, циклическая группа сложения по модулю n может быть получена из группы целых чисел при сложении путем идентификации элементов, которые отличаются на кратное и определения структуры группы, которая работает с каждым таким классом (известным как класс конгруэнтности ) как с единой сущностью. Это часть математической области, известной как теория групп . ${\displaystyle n}$

Для отношения конгруэнтности на группе класс эквивалентности элемента тождества всегда является нормальной подгруппой исходной группы, а другие классы эквивалентности являются в точности смежными классами этой нормальной подгруппы. Результирующее частное записывается как ⁠ ⁠ ${\displaystyle G\,/\,N}$ , где — исходная группа, а — нормальная подгруппа. Это читается как ' ⁠ ⁠ ', где — сокращение от modulo . (Обозначение ⁠ ⁠ следует интерпретировать с осторожностью, поскольку некоторые авторы (например, Винберг ^[1] ) используют его для представления левых смежных классов по в для любой подгруппы , даже если эти смежные классы не образуют группу, если не является нормальным в . Другие (например, Даммит и Фут ^[2] ) используют это обозначение только для обозначения фактор-группы, причем появление этого обозначения подразумевает нормальность в .) ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle G{\bmod {N}}}$ ${\displaystyle {\mbox{mod}}}$ ${\displaystyle G\,/\,H}$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle G}$

Значительная часть важности фактор-групп вытекает из их связи с гомоморфизмами . Первая теорема об изоморфизме утверждает, что образ любой группы G при гомоморфизме всегда изоморфен фактору . В частности , образ при гомоморфизме изоморфен , где обозначает ядро ​​⁠ ⁠ . ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle \varphi :G\rightarrow H}$ ${\displaystyle G\,/\,\ker(\varphi )}$ ${\displaystyle \ker(\varphi )}$ ${\displaystyle \varphi }$

Двойственное понятие фактор-группы — это подгруппа , это два основных способа формирования меньшей группы из большей. Любая нормальная подгруппа имеет соответствующую фактор-группу, образованную из большей группы путем устранения различия между элементами подгруппы. В теории категорий фактор - группы являются примерами фактор-объектов , которые являются двойственными к подобъектам .

Определение и иллюстрация

Если заданы группа и подгруппа , а также фиксированный элемент , можно рассмотреть соответствующий левый смежный класс : ⁠ ⁠ . Смежные классы — это естественный класс подмножеств группы; например, рассмотрим абелеву группу G целых чисел , с операцией, определяемой обычным сложением, и подгруппу четных целых чисел. Тогда существует ровно два смежных класса: ⁠ ⁠ , которые являются четными целыми числами, и ⁠ ⁠ , которые являются нечетными целыми числами (здесь мы используем аддитивную запись для бинарной операции вместо мультипликативной записи). ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle a\in G}$ ${\displaystyle aH:=\left\{ah:h\in H\right\}}$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle 0+H}$ ${\displaystyle 1+H}$

Для общей подгруппы ⁠ ⁠ ${\displaystyle H}$ желательно определить совместимую групповую операцию на множестве всех возможных смежных классов, ⁠ ⁠ ${\displaystyle \left\{aH:a\in G\right\}}$ . Это возможно именно тогда, когда является нормальной подгруппой, см. ниже. Подгруппа группы является нормальной тогда и только тогда, когда равенство смежных классов выполняется для всех ⁠ ⁠ . Нормальная подгруппа группы обозначается ⁠ ⁠ . ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle aN=Na}$ ${\displaystyle a\in G}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle N}$

Определение

Пусть — нормальная подгруппа группы ⁠ ⁠ . Определим множество как множество всех левых смежных классов в ⁠ ⁠ . То есть, ⁠ ⁠ . ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle G\,/\,N}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle G\,/\,N=\left\{aN:a\in G\right\}}$

Так как элемент тождества ⁠ ⁠ ${\displaystyle e\in N}$ , ⁠ ⁠ ${\displaystyle a\in aN}$ . Определим бинарную операцию на множестве смежных классов, ⁠ ⁠ ${\displaystyle G\,/\,N}$ , следующим образом. Для каждого и в ⁠ ⁠ , произведение и ⁠ ⁠ , ⁠ ⁠ , равно ⁠ ⁠ . Это работает только потому, что не зависит от выбора представителей и ⁠ ⁠ , каждого левого смежного класса, и ⁠ ⁠ . Чтобы доказать это, предположим и для некоторого ⁠ ⁠ . Тогда ${\displaystyle aN}$ ${\displaystyle bN}$ ${\displaystyle G\,/\,N}$ ${\displaystyle aN}$ ${\displaystyle bN}$ ${\displaystyle (aN)(bN)}$ ${\displaystyle (ab)N}$ ${\displaystyle (ab)N}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle aN}$ ${\displaystyle bN}$ ${\displaystyle xN=aN}$ ${\displaystyle yN=bN}$ ${\displaystyle x,y,a,b\in G}$

${\textstyle (ab)N=a(bN)=a(yN)=a(Ny)=(aN)y=(xN)y=x(Ny)=x(yN)=(xy)N}$.

Это зависит от того, что ⁠ ⁠ ${\displaystyle N}$ является нормальной подгруппой. Остается еще показать, что это условие не только достаточно, но и необходимо для определения операции на ⁠ ⁠ ${\displaystyle G\,/\,N}$ .

Чтобы показать, что это необходимо, рассмотрим, что для подгруппы ⁠ ⁠ нам дано, что операция корректно определена. То есть для всех и ⁠ ⁠ для ⁠ ⁠ . ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle xN=aN}$ ${\displaystyle yN=bN}$ ${\displaystyle x,y,a,b\in G,\;(ab)N=(xy)N}$

Пусть и ⁠ ⁠ . Так как ⁠ ⁠ , то имеем ⁠ ⁠ . ${\displaystyle n\in N}$ ${\displaystyle g\in G}$ ${\displaystyle eN=nN}$ ${\displaystyle gN=(eg)N=(eN)(gN)=(nN)(gN)=(ng)N}$

Теперь и ⁠ ⁠ . ${\displaystyle gN=(ng)N\Leftrightarrow N=(g^{-1}ng)N\Leftrightarrow g^{-1}ng\in N,\;\forall \,n\in N}$ ${\displaystyle g\in G}$

Следовательно, является нормальной подгруппой ⁠ ⁠ . ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle G}$

Можно также проверить, что эта операция над всегда ассоциативна, имеет единичный элемент ⁠ ⁠ , а обратный элемент всегда может быть представлен как ⁠ ⁠ . Таким образом, множество вместе с операцией, определенной как , образует группу, фактор-группу по ⁠ ⁠ . ${\displaystyle G\,/\,N}$ ${\displaystyle G\,/\,N}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle aN}$ ${\displaystyle a^{-1}N}$ ${\displaystyle G\,/\,N}$ ${\displaystyle (aN)(bN)=(ab)N}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle N}$

Ввиду нормальности ⁠ ⁠ ${\displaystyle N}$ , левые и правые смежные классы in одинаковы, и поэтому их можно было бы определить как набор правых смежных классов in ⁠ ⁠ . ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle G\,/\,N}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle G}$

Пример: Сложение по модулю 6

Например, рассмотрим группу со сложением по модулю 6: ⁠ ⁠ ${\displaystyle G=\left\{0,1,2,3,4,5\right\}}$ . Рассмотрим подгруппу ⁠ ⁠ ${\displaystyle N=\left\{0,3\right\}}$ , которая является нормальной, поскольку является абелевой . Тогда множество (левых) смежных классов имеет размер три: ${\displaystyle G}$

${\displaystyle G\,/\,N=\left\{a+N:a\in G\right\}=\left\{\left\{0,3\right\},\left\{1,4\right\},\left\{2,5\right\}\right\}=\left\{0+N,1+N,2+N\right\}}$.

Определенная выше бинарная операция превращает это множество в группу, известную как фактор-группа, которая в данном случае изоморфна циклической группе порядка 3.

Мотивация названия «частное»

Факторную группу можно сравнить с делением целых чисел . При делении 12 на 3 получается результат 4, поскольку можно перегруппировать 12 объектов в 4 подгруппы по 3 объекта. Факторная группа — это та же идея, хотя в итоге получается группа для окончательного ответа вместо числа, поскольку группы имеют больше структуры, чем произвольная коллекция объектов: в факторной группа используется для формирования естественной «перегруппировки». Это смежные классы в . Поскольку мы начали с группы и нормальной подгруппы, окончательное частное содержит больше информации, чем просто количество смежных классов (что дает обычное деление), но вместо этого имеет саму структуру группы. ${\displaystyle G\,/\,N}$ ${\displaystyle G\,/\,N}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle G}$

Примеры

Чётные и нечётные целые числа

Рассмотрим группу целых чисел (по сложению) и подгруппу, состоящую из всех четных целых чисел. Это нормальная подгруппа, поскольку является абелевой . Существует только два смежных класса: множество четных целых чисел и множество нечетных целых чисел, и поэтому фактор-группа является циклической группой с двумя элементами. Эта фактор-группа изоморфна множеству со сложением по модулю 2; неформально иногда говорят, что равно множеству со сложением по модулю 2. ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ ${\displaystyle 2\mathbb {Z} }$ ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ ${\displaystyle \mathbb {Z} \,/\,2\mathbb {Z} }$ ${\displaystyle \left\{0,1\right\}}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} \,/\,2\mathbb {Z} }$ ${\displaystyle \left\{0,1\right\}}$

Пример с подробным объяснением...

Пусть будут остатками от деления на ⁠ ⁠ . Тогда, когда четное, а когда нечетное. ${\displaystyle \gamma (m)}$ ${\displaystyle m\in \mathbb {Z} }$ ${\displaystyle 2}$ ${\displaystyle \gamma (m)=0}$ ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle \gamma (m)=1}$ ${\displaystyle m}$

По определению ⁠ ⁠ ${\displaystyle \gamma }$ , ядро ​​⁠ ⁠ ${\displaystyle \gamma }$ , ⁠ ⁠ ${\displaystyle \ker(\gamma )=\{m\in \mathbb {Z} :\gamma (m)=0\}}$ , представляет собой множество всех четных целых чисел.

Пусть ⁠ ⁠ ${\displaystyle H=\ker(\gamma )}$ . Тогда, является подгруппой, поскольку тождество в ⁠ ⁠ , то есть ⁠ ⁠ , находится в ⁠ ⁠ , сумма двух четных целых чисел четна и, следовательно, если и находятся в ⁠ ⁠ , находится в (замыкании), а если четно, также четно и, таким образом, содержит свои обратные. ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle m+n}$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle -m}$ ${\displaystyle H}$

Определим как для и — фактор-группа левых смежных классов; ⁠ ⁠ . ${\displaystyle \mu :\mathbb {Z} /H\to \mathrm {Z} _{2}}$ ${\displaystyle \mu (aH)=\gamma (a)}$ ${\displaystyle a\in \mathbb {Z} }$ ${\displaystyle \mathbb {Z} /H}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} /H=\{H,1+H\}}$

Обратите внимание, что мы определили ⁠ ⁠ ${\displaystyle \mu }$ , если является нечетным, и если является четным. ${\displaystyle \mu (aH)}$ ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle a}$

Таким образом, является изоморфизмом из в ⁠ ⁠ . ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle \mathbb {Z} /H}$ ${\displaystyle \mathrm {Z} _{2}}$

Остатки от целочисленного деления

Небольшое обобщение последнего примера. Еще раз рассмотрим группу целых чисел по сложению. Пусть ⁠ ⁠ — любое положительное целое число. Мы рассмотрим подгруппу группы , состоящую из всех кратных ⁠ ⁠ . Еще раз является нормальной в , поскольку является абелевой. Смежные классы представляют собой совокупность ⁠ ⁠ . Целое число принадлежит смежному классу ⁠ ⁠ , где — остаток при делении на ⁠ ⁠ . Частное можно рассматривать как группу «остатков» по ​​модулю ⁠ ⁠ . Это циклическая группа порядка ⁠ ⁠ . ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle n\mathbb {Z} }$ ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle n\mathbb {Z} }$ ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ ${\displaystyle \left\{n\mathbb {Z} ,1+n\mathbb {Z} ,\;\ldots ,(n-2)+n\mathbb {Z} ,(n-1)+n\mathbb {Z} \right\}}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle r+n\mathbb {Z} }$ ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} \,/\,n\mathbb {Z} }$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle n}$

Комплексные целые корни из 1

Смежные классы корней четвертой степени из единицы N по корням двенадцатой степени из единицы G.

Двенадцатые корни из единицы , которые являются точками на комплексной единичной окружности , образуют мультипликативную абелеву группу ⁠ ⁠ ${\displaystyle G}$ , показанную на рисунке справа в виде цветных шаров с числом в каждой точке, дающим ее комплексный аргумент. Рассмотрим ее подгруппу , состоящую из четвертых корней из единицы, показанных в виде красных шаров. Эта нормальная подгруппа разбивает группу на три смежных класса, показанных красным, зеленым и синим цветами. Можно проверить, что смежные классы образуют группу из трех элементов (произведение красного элемента с синим элементом — синий, обратный элемент синего элемента — зеленый и т. д.). Таким образом, фактор-группа — это группа из трех цветов, которая оказывается циклической группой с тремя элементами. ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle G\,/\,N}$

Действительные числа по модулю целых чисел

Рассмотрим группу действительных чисел при сложении и подгруппу целых чисел. Каждый смежный класс в является множеством вида ⁠ ⁠ , где — действительное число. Поскольку и являются идентичными множествами, когда нецелые части и равны , можно наложить ограничение без изменения смысла. Сложение таких смежных классов выполняется путем сложения соответствующих действительных чисел и вычитания 1, если результат больше или равен 1. Фактор-группа изоморфна группе окружности , группе комплексных чисел с абсолютным значением 1 при умножении или, соответственно, группе вращений в 2D вокруг начала координат, то есть специальной ортогональной группе ⁠ ⁠ . Изоморфизм задается формулой (см. тождество Эйлера ). ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle a+\mathbb {Z} }$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle a_{1}+\mathbb {Z} }$ ${\displaystyle a_{2}+\mathbb {Z} }$ ${\displaystyle a_{1}}$ ${\displaystyle a_{2}}$ ${\displaystyle 0\leq a<1}$ ${\displaystyle \mathbb {R} \,/\,\mathbb {Z} }$ ${\displaystyle \mathrm {SO} (2)}$ ${\displaystyle f(a+\mathbb {Z} )=\exp(2\pi ia)}$

Матрицы действительных чисел

Если — группа обратимых действительных матриц , а — подгруппа действительных матриц с определителем 1, то является нормальной в (поскольку является ядром гомоморфизма определителя ) . Смежные классы по являются множествами матриц с заданным определителем, и, следовательно, изоморфны мультипликативной группе ненулевых действительных чисел. Группа известна как специальная линейная группа ⁠ ⁠ . ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle 3\times 3}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle 3\times 3}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle G\,/\,N}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle \mathrm {SL} (3)}$

Целочисленная модульная арифметика

Рассмотрим абелеву группу (то есть множество со сложением по модулю 4) и ее подгруппу ⁠ ⁠ . Фактор-группа — это ⁠ ⁠ . Это группа с единичным элементом ⁠ ⁠ , и групповыми операциями, такими как ⁠ ⁠ . Как подгруппа , так и фактор-группа изоморфны ⁠ ⁠ . ${\displaystyle \mathrm {Z} _{4}=\mathbb {Z} \,/\,4\mathbb {Z} }$ ${\displaystyle \left\{0,1,2,3\right\}}$ ${\displaystyle \left\{0,2\right\}}$ ${\displaystyle \mathrm {Z} _{4}\,/\,\left\{0,2\right\}}$ ${\displaystyle \left\{\left\{0,2\right\},\left\{1,3\right\}\right\}}$ ${\displaystyle \left\{0,2\right\}}$ ${\displaystyle \left\{0,2\right\}+\left\{1,3\right\}=\left\{1,3\right\}}$ ${\displaystyle \left\{0,2\right\}}$ ${\displaystyle \left\{\left\{0,2\right\},\left\{1,3\right\}\right\}}$ ${\displaystyle \mathrm {Z} _{2}}$

Целочисленное умножение

Рассмотрим мультипликативную группу ⁠ ⁠ ${\displaystyle G=(\mathbb {Z} _{n^{2}})^{\times }}$ . Множество ⁠ ⁠ вычетов th является мультипликативной подгруппой, изоморфной ⁠ ⁠ . Тогда является нормальной в и фактор-группа имеет смежные классы ⁠ ⁠ . Криптосистема Пайе основана на гипотезе , что трудно определить смежный класс случайного элемента из , не зная факторизации ⁠ ⁠ . ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle (\mathbb {Z} _{n})^{\times }}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle G\,/\,N}$ ${\displaystyle N,(1+n)N,(1+n)2N,\;\ldots ,(1+n)n-1N}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle n}$

Характеристики

Факторгруппа изоморфна тривиальной группе ( группе с одним элементом) и изоморфна ⁠ ⁠ . ${\displaystyle G\,/\,G}$ ${\displaystyle G\,/\,\left\{e\right\}}$ ${\displaystyle G}$

Порядок ⁠ ⁠ , по определению количество элементов, равен ⁠ ⁠ , индексу в ⁠ ⁠ . Если конечно, индекс также равен порядку , делённому на порядок ⁠ ⁠ . Множество может быть конечным, хотя оба и бесконечны ( например, ⁠ ⁠ ). ${\displaystyle G\,/\,N}$ ${\displaystyle \vert G:N\vert }$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle G\,/\,N}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} \,/\,2\mathbb {Z} }$

Существует «естественный» сюръективный групповой гомоморфизм ⁠ ⁠ ${\displaystyle \pi :G\rightarrow G\,/\,N}$ , отправляющий каждый элемент в смежный класс , которому принадлежит, то есть: ⁠ ⁠ . Отображение иногда называют канонической проекцией на ⁠ ⁠ . Его ядром является ⁠ ⁠ . ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle \pi (g)=gN}$ ${\displaystyle \pi }$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle G\,/\,N}$ ${\displaystyle N}$

Существует биективное соответствие между подгруппами , содержащими , и подгруппами ⁠ ⁠ ; если — подгруппа , содержащая ⁠ ⁠ , то соответствующая подгруппа — ⁠ ⁠ . Это соответствие справедливо для нормальных подгрупп и также и формализуется в решеточной теореме . ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle G\,/\,N}$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle G\,/\,N}$ ${\displaystyle \pi (H)}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle G\,/\,N}$

Несколько важных свойств факторгрупп зафиксированы в основной теореме о гомоморфизмах и теоремах об изоморфизме .

Если является абелевым , нильпотентным , разрешимым , циклическим или конечно порожденным , то также является ⁠ ⁠ . ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle G\,/\,N}$

Если — подгруппа в конечной группе ⁠ ⁠ , и порядок составляет половину порядка ⁠ ⁠ , то гарантированно является нормальной подгруппой, поэтому существует и изоморфна ⁠ ⁠ . Этот результат можно также сформулировать как «любая подгруппа индекса 2 является нормальной», и в этой форме он применим также к бесконечным группам. Более того, если — наименьшее простое число, делящее порядок конечной группы, ⁠ ⁠ , то если имеет порядок ⁠ ⁠ , должна быть нормальной подгруппой ⁠ ⁠ . ^[3] ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle G\,/\,H}$ ${\displaystyle \mathrm {C} _{2}}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle G\,/\,H}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle G}$

Дано и нормальная подгруппа ⁠ ⁠ , тогда является расширением группы на ⁠ ⁠ . Можно спросить, является ли это расширение тривиальным или расщепляемым; другими словами, можно спросить, является ли прямым произведением или полупрямым произведением и ⁠ ⁠ . Это частный случай проблемы расширения . Пример, когда расширение не расщепляется, следующий: Пусть ⁠ ⁠ , и ⁠ ⁠ , который изоморфен ⁠ ⁠ . Тогда также изоморфен ⁠ ⁠ . Но имеет только тривиальный автоморфизм , поэтому единственным полупрямым произведением и является прямое произведение. Поскольку отличается от ⁠ ⁠ , мы заключаем, что не является полупрямым произведением и ⁠ ⁠ . ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle G\,/\,N}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle G\,/\,N}$ ${\displaystyle G=\mathrm {Z} _{4}=\left\{0,1,2,3\right\}}$ ${\displaystyle N=\left\{0,2\right\}}$ ${\displaystyle \mathrm {Z} _{2}}$ ${\displaystyle G\,/\,N}$ ${\displaystyle \mathrm {Z} _{2}}$ ${\displaystyle \mathrm {Z} _{2}}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle G\,/\,N}$ ${\displaystyle \mathrm {Z} _{4}}$ ${\displaystyle \mathrm {Z} _{2}\times \mathrm {Z} _{2}}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle G\,/\,N}$

Факторы групп Ли

Если — группа Ли и — нормальная и замкнутая (в топологическом, а не алгебраическом смысле слова) подгруппа Ли ⁠ ⁠ , фактор также является группой Ли. В этом случае исходная группа имеет структуру расслоения волокон (в частности, главного ⁠ ⁠ -расслоения ) с базовым пространством и волокном ⁠ ⁠ . Размерность равна ⁠ ⁠ . ^[4] ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle G\,/\,N}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle G\,/\,N}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle G\,/\,N}$ ${\displaystyle \dim G-\dim N}$

Обратите внимание, что условие замкнутости является необходимым. Действительно, если не замкнуто, то фактор-пространство не является T1-пространством (поскольку в факторе есть смежный класс, который не может быть отделен от единицы открытым множеством), и, таким образом, не является хаусдорфовым пространством . ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle N}$

Для ненормальной подгруппы Ли ⁠ ⁠ ${\displaystyle N}$ пространство левых смежных классов не является группой, а просто дифференцируемым многообразием , на котором действует. Результат известен как однородное пространство . ${\displaystyle G\,/\,N}$ ${\displaystyle G}$

Смотрите также

• Расширение группы
• Категория коэффициента
• Короткая точная последовательность

Примечания

1. Винберг, Э. Б. (2003). Курс алгебры . Аспирантура по математике. Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество. стр. 157. ISBN 978-0-8218-3318-6.
2. Даммит и Фут (2003, стр. 95)
3. Даммит и Фут (2003, стр. 120)
4. Джон М. Ли, Введение в гладкие многообразия, второе издание, теорема 21.17

Ссылки

• Даммит, Дэвид С.; Фут, Ричард М. (2003), Абстрактная алгебра (3-е изд.), Нью-Йорк: Wiley , ISBN 978-0-471-43334-7
• Херштейн, ИН (1975), Топики по алгебре (2-е изд.), Нью-Йорк: Wiley , ISBN 0-471-02371-X