t-распределение Стьюдента

Распределение вероятностей

В теории вероятностей и статистике t -  распределение Стьюдента (или просто t -  распределение ) представляет собой непрерывное распределение вероятностей , которое обобщает стандартное нормальное распределение . Как и последний, он симметричен вокруг нуля и имеет колоколообразную форму. ${\displaystyle \ t_{\nu }\ }$

Однако имеет более тяжелые хвосты , а количество вероятностной массы в хвостах контролируется параметром. Для t- распределения Стьюдента становится стандартным распределением Коши , которое имеет очень «толстые» хвосты ; тогда как для него это становится стандартным нормальным распределением , имеющим очень «тонкие» хвосты. ${\displaystyle \ t_{\nu }\ }$ ${\displaystyle \ \nu ~~.}$ ${\displaystyle \ \nu =1\ }$ ${\displaystyle t_{\nu }}$ ${\displaystyle \ \nu \rightarrow \infty \ }$ ${\displaystyle \ {\mathcal {N}}(0,1)\,}$

Распределение Стьюдента  играет роль в ряде широко используемых статистических анализов, включая критерий Стьюдента для оценки статистической значимости разницы между двумя выборочными средними, построения доверительных интервалов для разницы между двумя генеральными средними и в линейной регрессии  . анализ .

В форме t -  распределения в масштабе местоположения оно обобщает нормальное распределение , а также возникает при байесовском анализе данных из нормального семейства как составное распределение при маргинализации по параметру дисперсии. ${\displaystyle lst(\mu ,\tau ^{2},\nu )}$

История и этимология

Статистик Уильям Сили Госсет, известный как «Студент»

В статистике t-  распределение было впервые получено как апостериорное распределение в 1876 году Хелмертом ^{[3] [4] [5]} и Люротом . ^{[6] [7] [8]} Распределение t  также появилось в более общей форме как распределение Пирсона типа IV в статье Карла Пирсона 1895 года. ^[9]

В англоязычной литературе распространение получило свое название от статьи Уильяма Сили Госсета 1908 года в журнале «Биометрика» под псевдонимом «Студент». ^[10] Одна из версий происхождения псевдонима заключается в том, что работодатель Госсета предпочитал, чтобы сотрудники использовали псевдонимы при публикации научных статей вместо своего настоящего имени, поэтому он использовал имя «Студент», чтобы скрыть свою личность. Другая версия заключается в том, что компания Guinness не хотела, чтобы конкуренты знали, что они используют t-  тест для определения качества сырья. ^{[11] [12]}

Госсет работал на пивоварне Guinness Brewery в Дублине, Ирландия , и интересовался проблемами небольших образцов – например, химическими свойствами ячменя, где размеры выборок могли составлять всего 3. В статье Госсета это распределение называется «частотным распределением». стандартных отклонений выборок, взятых из нормальной популяции». Оно стало широко известно благодаря работе Рональда Фишера , который назвал распределение «распределением Стьюдента» и обозначил проверочное значение буквой t . ^{[13] [14]}

Определение

Функция плотности вероятности

Распределение Стьюдента имеет функцию плотности вероятности (PDF)  , определяемую выражением

${\displaystyle f(t)={\frac {\ \Gamma ({\frac {\ \nu +1\ }{2}})\ }{\ {\sqrt {\pi \ \nu \ }}\ \Gamma ({\frac {\nu }{2}})}}\left(\ 1+{\frac {~t^{2}\ }{\nu }}\ \right)^{-(\nu +1)/2}\ ,}$

где – число степеней свободы , – гамма-функция . Это также можно записать как ${\displaystyle \nu }$ ${\displaystyle \Gamma }$

${\displaystyle f(t)={\frac {1}{\ {\sqrt {\nu \ }}\ {\mathrm {B} }\left({\frac {\ 1\ }{2}},\ {\frac {\ \nu \ }{2}}\right)\ }}\ \left(\ 1+{\frac {\ t^{2}\ }{\nu }}\ \right)^{-(\nu +1)/2}\ ,}$

где бета -функция . В частности, для целочисленных степеней свободы мы имеем: ${\displaystyle \ {\mathrm {B} }\ }$ ${\displaystyle \ \nu \ }$

Ибо и даже, ${\displaystyle \ \nu >1\ }$

${\displaystyle \ {\frac {\ \Gamma \left({\frac {\ \nu +1\ }{2}}\right)\ }{\ {\sqrt {\pi \ \nu \ }}\ \Gamma \left({\frac {\ \nu \ }{2}}\right)\ }}={\frac {\ (\nu -1)\cdot (\nu -3)\cdots 5\cdot 3\ }{2{\sqrt {\nu \ }}\ (\nu -2)\cdot (\nu -4)\cdots 4\cdot 2\ }}~.}$

Для и странного, ${\displaystyle \ \nu >1\ }$

${\displaystyle \ {\frac {\ \Gamma \left({\frac {\ \nu +1\ }{2}}\right)\ }{\ {\sqrt {\pi \ \nu \ }}\ \Gamma \left({\frac {\ \nu \ }{2}}\right)}}={\frac {(\nu -1)\cdot (\nu -3)\cdots 4\cdot 2\ }{\ \pi {\sqrt {\nu \ }}\ (\nu -2)\cdot (\nu -4)\cdots 5\cdot 3\ }}~.}$

Функция плотности вероятности симметрична , и ее общая форма напоминает колоколообразную форму нормально распределенной переменной со средним значением 0 и дисперсией 1, за исключением того, что она немного ниже и шире. По мере роста числа степеней свободы распределение t  приближается к нормальному распределению со средним значением 0 и дисперсией 1. По этой причине его также называют параметром нормальности. ^[15] ${\displaystyle {\ \nu \ }}$

На следующих изображениях показана плотность распределения t  для возрастающих значений. Нормальное распределение показано для сравнения синей линией. Обратите внимание, что распределение t  (красная линия) по мере увеличения становится ближе к нормальному распределению . ${\displaystyle \ \nu ~.}$ ${\displaystyle \ \nu \ }$

Плотность t  -распределения (красный) для 1, 2, 3, 5, 10 и 30 степеней свободы по сравнению со стандартным нормальным распределением (синий).
Предыдущие графики показаны зеленым цветом.

Кумулятивная функция распределения

Кумулятивную функцию распределения (CDF) можно записать через I , регуляризованную неполную бета-функцию . Для t > 0 ,

${\displaystyle F(t)=\int _{-\infty }^{t}\ f(u)\ \operatorname {d} u~=~1-{\frac {1}{2}}I_{x(t)}\!\left({\frac {\ \nu \ }{2}},\ {\frac {\ 1\ }{2}}\right)\ ,}$

где

${\displaystyle x(t)={\frac {\nu }{\ t^{2}+\nu \ }}~.}$

Другие значения будут получены путем симметрии. Альтернативная формула, действительная для ${\displaystyle \ t^{2}<\nu \ ,}$

${\displaystyle \int _{-\infty }^{t}f(u)\ \operatorname {d} u~=~{\frac {1}{2}}+t\ {\frac {\ \Gamma \!\left({\frac {\ \nu +1\ }{2}}\right)\ }{\ {\sqrt {\pi \ \nu \ }}\ \Gamma \!\left({\frac {\nu }{\ 2\ }}\right)\ }}\ {}_{2}F_{1}\!\left(\ {\frac {1}{2}},{\frac {\ \nu +1\ }{2}}\ ;{\frac {3}{\ 2\ }}\ ;\ -{\frac {~t^{2}\ }{\nu }}\ \right)\ ,}$

где – частный случай гипергеометрической функции . ${\displaystyle \ {}_{2}F_{1}(\ ,\ ;\ ;\ )\ }$

Информацию об обратной кумулятивной функции распределения см. в разделе « Функция квантиля § t-распределение Стьюдента ».

Особые случаи

Определенные значения дают простую форму t-распределения Стьюдента. ${\displaystyle \ \nu \ }$

Моменты

Ибо необработанные моменты распределения t  равны ${\displaystyle \nu >1\ ,}$

${\displaystyle \operatorname {\mathbb {E} } \left\{\ T^{k}\ \right\}={\begin{cases}\quad 0&k{\text{ odd }},\quad 0<k<\nu \ ,\\{}\\{\frac {1}{\ {\sqrt {\pi \ }}\ \Gamma \left({\frac {\ \nu \ }{2}}\right)}}\ \left[\ \Gamma \!\left({\frac {\ k+1\ }{2}}\right)\ \Gamma \!\left({\frac {\ \nu -k\ }{2}}\right)\ \nu ^{\frac {\ k\ }{2}}\ \right]&k{\text{ even }},\quad 0<k<\nu ~.\\\end{cases}}}$

Моментов порядка и выше не существует. ^[16] ${\displaystyle \ \nu \ }$

Термин для четного k можно упростить, используя свойства гамма-функции : ${\displaystyle \ 0<k<\nu \ ,}$

${\displaystyle \operatorname {\mathbb {E} } \left\{\ T^{k}\ \right\}=\nu ^{\frac {\ k\ }{2}}\ \prod _{j=1}^{k/2}\ {\frac {~2j-1~}{\nu -2j}}\qquad k{\text{ even}},\quad 0<k<\nu ~.}$

Для распределения t  со степенями свободы ожидаемое значение равно if , а его дисперсия равна if . Асимметрия равна 0 if , а избыточный эксцесс равен if. ${\displaystyle \ \nu \ }$ ${\displaystyle \ 0\ }$ ${\displaystyle \ \nu >1\ ,}$ ${\displaystyle \ {\frac {\nu }{\ \nu -2\ }}\ }$ ${\displaystyle \ \nu >2~.}$ ${\displaystyle \ \nu >3\ }$ ${\displaystyle \ {\frac {6}{\ \nu -4\ }}\ }$ ${\displaystyle \ \nu >4~.}$

 Распределение t в масштабе местоположения

Преобразование в масштабе местоположения

Распределение Стьюдента  обобщает трехпараметрическое  распределение t в масштабе местоположения путем введения параметра местоположения и параметра масштаба With . ${\displaystyle \ {\mathcal {lst}}(\mu ,\ \tau ^{2},\ \nu )\ }$ ${\displaystyle \ \mu \ }$ ${\displaystyle \ \tau ~.}$

${\displaystyle \ T\sim t_{\nu }\ }$

и трансформация семьи в масштабе локации

${\displaystyle \ X=\mu +\tau \ T\ }$

мы получаем

${\displaystyle \ X\sim {\mathcal {lst}}(\mu ,\ \tau ^{2},\ \nu )~.}$

Полученное распределение также называют нестандартизованным t -  распределением Стьюдента .

Плотность и первые два момента

Распределение t в масштабе местоположения имеет плотность, определяемую следующим образом: ^[17]

${\displaystyle p(x\mid \nu ,\mu ,\tau )={\frac {\ \Gamma \left({\frac {\ \nu +1\ }{2}}\right)\ }{\ \Gamma \left({\frac {\ \nu \ }{2}}\right)\ {\sqrt {\pi \ \nu \ }}\ \tau \ }}\ \left(1+{\frac {\ 1\ }{\nu }}\ \left(\ {\frac {\ x-\mu \ }{\tau }}\ \right)^{2}\ \right)^{-(\nu +1)/2}\ }$

Эквивалентно плотность можно записать как : ${\displaystyle \tau ^{2}}$

${\displaystyle \ p(x\ \mid \ \nu ,\ \mu ,\ \tau ^{2})={\frac {\ \Gamma ({\frac {\nu +1}{2}})\ }{\ \Gamma \left({\frac {\ \nu \ }{2}}\right)\ {\sqrt {\pi \ \nu \ \tau ^{2}}}\ }}\ \left(\ 1+{\frac {\ 1\ }{\nu }}\ {\frac {\ (x-\mu )^{2}\ }{\ \tau ^{2}\ }}\ \right)^{-(\nu +1)/2}\ }$

Другие свойства этой версии дистрибутива: ^[17]

${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {\mathbb {E} } \{\ X\ \}&=\mu &{\text{ for }}\nu >1\ ,\\\operatorname {var} \{\ X\ \}&=\tau ^{2}{\frac {\nu }{\nu -2}}&{\text{ for }}\nu >2\ ,\\\operatorname {mode} \{\ X\ \}&=\mu ~.\end{aligned}}}$

Особые случаи

• Если следует  распределению t в масштабе местоположения, то для обычно распределяется со средним значением и дисперсией. ${\displaystyle \ X\ }$ ${\displaystyle \ X\sim {\mathcal {lst}}\left(\mu ,\ \tau ^{2},\ \nu \right)\ }$ ${\displaystyle \ \nu \rightarrow \infty \ }$ ${\displaystyle \ X\ }$ ${\displaystyle X\sim \mathrm {N} \left(\mu ,\tau ^{2}\right)}$ ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle \ \tau ^{2}~.}$
•  Распределение t в масштабе местоположения со степенью свободы эквивалентно распределению Коши ${\displaystyle \ {\mathcal {lst}}\left(\mu ,\ \tau ^{2},\ \nu =1\right)\ }$ ${\displaystyle \nu =1}$ ${\displaystyle \mathrm {Cau} \left(\mu ,\tau \right)~.}$
•  Распределение t в масштабе местоположения с помощью и сводится к t-  распределению Стьюдента. ${\displaystyle \ {\mathcal {lst}}\left(\mu =0,\ \tau ^{2}=1,\ \nu \right)\ }$ ${\displaystyle \mu =0}$ ${\displaystyle \ \tau ^{2}=1\ }$ ${\displaystyle \ t_{\nu }~.}$

Как возникает распределение t  (характеристика)

Выборочное распределение t-статистики

Распределение t  возникает как выборочное распределение t -  статистики. Ниже обсуждается t- статистика для одной выборки  , соответствующую t-  статистику для двух выборок см. в t-критерии Стьюдента .

Несмещенная оценка дисперсии

Пусть это независимые и одинаково распределенные выборки из нормального распределения со средним значением и дисперсией. Выборочное среднее и несмещенная выборочная дисперсия определяются выражением: ${\displaystyle \ x_{1},\ldots ,x_{n}\sim {\mathcal {N}}(\mu ,\sigma ^{2})\ }$ ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle \ \sigma ^{2}~.}$

${\displaystyle {\begin{aligned}{\bar {x}}&={\frac {\ x_{1}+\cdots +x_{n}\ }{n}}\ ,\\[5pt]s^{2}&={\frac {1}{\ n-1\ }}\ \sum _{i=1}^{n}(x_{i}-{\bar {x}})^{2}~.\end{aligned}}}$

Результирующая (одна выборка) t-  статистика определяется выражением

${\displaystyle t={\frac {{\bar {x}}-\mu }{\ {\sqrt {s^{2}/n\ }}\ }}\sim t_{n-1}~.}$

и распределяется согласно t -распределению Стьюдента  со степенями свободы. ${\displaystyle \ n-1\ }$

Таким образом, для целей вывода t-  статистика является полезной « основной величиной » в случае, когда среднее значение и дисперсия являются неизвестными параметрами совокупности, в том смысле, что t-  статистика имеет распределение вероятностей, которое не зависит ни от того, ни от других факторов . ${\displaystyle (\mu ,\sigma ^{2})}$ ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle \ \sigma ^{2}~.}$

Оценка отклонения ML

Вместо несмещенной оценки мы можем также использовать оценку максимального правдоподобия. ${\displaystyle \ s^{2}\ }$

${\displaystyle \ s_{\mathsf {ML}}^{2}={\frac {\ 1\ }{n}}\ \sum _{i=1}^{n}(x_{i}-{\bar {x}})^{2}\ }$

получение статистики

${\displaystyle \ t_{\mathsf {ML}}={\frac {{\bar {x}}-\mu }{\sqrt {s_{\mathsf {ML}}^{2}/n\ }}}={\sqrt {{\frac {n}{n-1}}\ }}\ t~.}$

Оно распределяется в соответствии с распределением t в масштабе местоположения  :

${\displaystyle t_{\mathsf {ML}}\sim {\mathcal {lst}}(0,\ \tau ^{2}=n/(n-1),\ n-1)~.}$

Сложное распределение нормального с обратным гамма-распределением

Распределение t в масштабе местоположения  получается в результате объединения гауссовского распределения (нормального распределения) со средним и неизвестным отклонением с обратным гамма-распределением, помещенным над отклонением с параметрами и . Другими словами, предполагается, что случайная величина X имеет гауссово распределение с неизвестная дисперсия распределяется как обратная гамма, а затем дисперсия исключается ( интегрируется). ${\displaystyle \ \mu \ }$ ${\displaystyle \ a={\frac {\ \nu \ }{2}}\ }$ ${\displaystyle b={\frac {\ \nu \ \tau ^{2}\ }{2}}~.}$

Эквивалентно, это распределение является результатом объединения гауссовского распределения с масштабированным распределением обратного хи-квадрата с параметрами и Масштабированное распределение обратного хи-квадрата представляет собой точно такое же распределение, как обратное гамма-распределение, но с другой параметризацией, т.е. ${\displaystyle \nu }$ ${\displaystyle \ \tau ^{2}~.}$ ${\displaystyle \ \nu =2\ a,\;{\tau }^{2}={\frac {\ b\ }{a}}~.}$

Причина полезности этой характеристики заключается в том, что в байесовской статистике обратное гамма-распределение представляет собой сопряженное априорное распределение дисперсии гауссовского распределения. В результате распределение t в масштабе местоположения  естественным образом возникает во многих задачах байесовского вывода. ^[18]

Максимальное распределение энтропии

Распределение Стьюдента  — это распределение вероятностей максимальной энтропии для случайной величины X , для которой фиксировано. ^{[19] [ необходимы разъяснения ] [ нужен лучший источник ]} ${\displaystyle \ \operatorname {\mathbb {E} } \left\{\ \ln(\nu +X^{2})\ \right\}\ }$

Дополнительные свойства

Выборка Монте-Карло

Существуют различные подходы к построению случайных выборок на основе t -распределения Стьюдента  . Вопрос зависит от того, требуются ли выборки на отдельной основе или они должны быть построены путем применения функции квантиля к однородным выборкам; например, в многомерных приложениях, основанных на зависимости от копулы . ^{[ нужна ссылка ]} В случае автономной выборки легко применить расширение метода Бокса-Мюллера и его полярную форму . ^[20] Его достоинство заключается в том, что он одинаково хорошо применим ко всем реальным положительным степеням свободы ν , в то время как многие другие методы-кандидаты терпят неудачу, если ν близко к нулю. ^[20]

Интеграл от функции плотности вероятности Стьюдента и значения p

Функция A ( t | ν ) является интегралом функции плотности вероятности Стьюдента f ( t ) между   -t и t , для t ≥ 0 . Таким образом, это дает вероятность того, что значение t меньше, чем рассчитанное на основе наблюдаемых данных, возникнет случайно. Следовательно, функцию A ( t | ν ) можно использовать при проверке того, является ли разница между средними значениями двух наборов данных статистически значимой, путем расчета соответствующего значения t и вероятности его появления, если два набора данных были взятые из того же населения. Это используется в различных ситуациях, особенно в t-  тестах . Для статистики t с ν степенями свободы A ( t | ν ) — это вероятность того, что t будет меньше наблюдаемого значения, если бы два средних были одинаковыми (при условии, что меньшее среднее вычитается из большего, так что т ≥ 0 ). Его можно легко вычислить из кумулятивной функции распределения F _ν ( t ) t -  распределения:

${\displaystyle A(t\mid \nu )=F_{\nu }(t)-F_{\nu }(-t)=1-I_{\frac {\nu }{\nu +t^{2}}}\!\left({\frac {\nu }{2}},{\frac {1}{2}}\right),}$

где Ix ₍ a , b ) — регуляризованная неполная бета-функция .

Для проверки статистических гипотез эта функция используется для построения значения p .

Связанные дистрибутивы

• Нецентральное  распределение t обобщает распределение t ,  включив в него параметр нецентральности. В отличие от нестандартизованных t-  распределений, нецентральные распределения не симметричны (медиана не совпадает с модой).

• Дискретное t-  распределение Стьюдента определяется его функцией массы вероятности при r , пропорциональной: ^[21]
  $${\displaystyle \prod _{j=1}^{k}{\frac {1}{(r+j+a)^{2}+b^{2}}}\quad \quad r=\ldots ,-1,0,1,\ldots ~.}$$
  Здесь a , b и k — параметры. Это распределение возникает в результате построения системы дискретных распределений, аналогичной системе распределений Пирсона для непрерывных распределений. ^[22]

• Можно сгенерировать выборки Стьюдента A ( t | ν ) , взяв соотношение переменных из нормального распределения и квадратный корень из распределения χ² . Если мы используем вместо нормального распределения, например, распределение Ирвина-Холла , мы получаем в целом симметричное распределение с четырьмя параметрами, которое включает нормальное, равномерное , треугольное , распределение Стьюдента  и Коши . Это также более гибко, чем некоторые другие симметричные обобщения нормального распределения.

• Распределение t  является примером распределения соотношений .

Использование

В частотном статистическом выводе

Распределение Стьюдента  возникает в различных задачах статистического оценивания, цель которых состоит в том, чтобы оценить неизвестный параметр, например среднее значение, в условиях, когда данные наблюдаются с аддитивными ошибками . Если (как почти во всех практических статистических работах) стандартное отклонение генеральной совокупности этих ошибок неизвестно и должно быть оценено на основе данных, t-  распределение часто используется для учета дополнительной неопределенности, возникающей в результате этой оценки. В большинстве таких задач, если бы было известно стандартное отклонение ошибок, вместо t-  распределения использовалось бы нормальное распределение.

Доверительные интервалы и проверка гипотез — это две статистические процедуры, в которых требуются квантили выборочного распределения конкретной статистики (например, стандартного балла ). В любой ситуации, когда эта статистика является линейной функцией данных , разделенной на обычную оценку стандартного отклонения, полученную величину можно масштабировать и центрировать, чтобы она соответствовала t- распределению Стьюдента  . Статистический анализ, включающий средние, взвешенные средние и коэффициенты регрессии, приводит к тому, что статистика имеет такую ​​форму.

Довольно часто в задачах учебников стандартное отклонение генеральной совокупности рассматривается так, как если бы оно было известно, и тем самым устраняется необходимость использования t- распределения Стьюдента  . Эти проблемы обычно бывают двух видов: (1) те, в которых размер выборки настолько велик, что можно рассматривать основанную на данных оценку дисперсии, как если бы она была достоверной, и (2) те, которые иллюстрируют математические рассуждения, в которых проблема оценки стандартного отклонения временно игнорируется, потому что это не тот момент, который затем объясняет автор или преподаватель.

Проверка гипотезы

Можно показать, что ряд статистических данных имеют t-  распределения для выборок среднего размера при нулевых гипотезах , которые представляют интерес, так что t-  распределение формирует основу для тестов значимости. Например, распределение коэффициента ранговой корреляции Спирмена ρ в нулевом случае (нулевая корреляция ⁾ хорошо аппроксимируется распределением t для размеров выборки выше примерно ^{20 .}

Доверительные интервалы

Предположим, что число A выбрано так, что

${\displaystyle \ \operatorname {\mathbb {P} } \left\{\ -A<T<A\ \right\}=0.9\ ,}$

когда T имеет распределение t  с n - 1   степенями свободы. По симметрии это то же самое, что сказать, что A удовлетворяет

${\displaystyle \ \operatorname {\mathbb {P} } \left\{\ T<A\ \right\}=0.95\ ,}$

так что A - это «95-й процентиль» этого распределения вероятностей, или Тогда ${\displaystyle \ A=t_{(0.05,n-1)}~.}$

${\displaystyle \ \operatorname {\mathbb {P} } \left\{\ -A<{\frac {\ {\overline {X}}_{n}-\mu \ }{S_{n}/{\sqrt {n\ }}}}<A\ \right\}=0.9\ ,}$

и это эквивалентно

${\displaystyle \ \operatorname {\mathbb {P} } \left\{\ {\overline {X}}_{n}-A{\frac {S_{n}}{\ {\sqrt {n\ }}\ }}<\mu <{\overline {X}}_{n}+A\ {\frac {S_{n}}{\ {\sqrt {n\ }}\ }}\ \right\}=0.9.}$

Следовательно, интервал, конечные точки которого

${\displaystyle \ {\overline {X}}_{n}\ \pm A\ {\frac {S_{n}}{\ {\sqrt {n\ }}\ }}\ }$

представляет собой 90% доверительный интервал для μ. Следовательно, если мы найдем среднее значение набора наблюдений, от которого мы можем разумно ожидать нормального распределения, мы можем использовать t- распределение  , чтобы проверить, включают ли доверительные пределы этого среднего значения какое-либо теоретически предсказанное значение - например, значение, предсказанное на нулевая гипотеза .

Именно этот результат используется в t-  критериях Стьюдента : поскольку разница между средними значениями выборок из двух нормальных распределений сама по себе распределяется нормально, t-  распределение можно использовать для проверки того, можно ли разумно предположить, что эта разница равна нулю.

Если данные нормально распределены, односторонний (1 − α ) верхний доверительный предел (UCL) среднего значения можно рассчитать с помощью следующего уравнения:

${\displaystyle {\mathsf {UCL}}_{1-\alpha }={\overline {X}}_{n}+t_{\alpha ,n-1}\ {\frac {S_{n}}{\ {\sqrt {n\ }}\ }}~.}$

Результирующий UCL будет наибольшим средним значением, которое может возникнуть для данного доверительного интервала и размера популяции. Другими словами, будучи средним значением набора наблюдений, вероятность того, что среднее значение распределения ниже UCL _{1 − α} , равна уровню достоверности 1 − α . ${\displaystyle {\overline {X}}_{n}}$

Интервалы прогнозирования

Распределение t  можно использовать для построения интервала прогнозирования для ненаблюдаемой выборки из нормального распределения с неизвестным средним значением и дисперсией.

В байесовской статистике

Распределение Стьюдента  , особенно в его трехпараметрической (шкале местоположения) версии, часто возникает в байесовской статистике в результате его связи с нормальным распределением. Всякий раз, когда дисперсия нормально распределенной случайной величины неизвестна и над ней помещается сопряженная априорная величина , следующая обратному гамма-распределению , результирующее предельное распределение переменной будет следовать t- распределению Стьюдента  . Эквивалентные конструкции с теми же результатами включают сопряженное масштабированное распределение обратного хи-квадрата по дисперсии или сопряженное гамма-распределение по точности . Если неправильный априор пропорционален1/ σ² _ помещается над дисперсией, также возникает распределение t  . Это имеет место независимо от того, известно ли среднее значение нормально распределенной переменной, неизвестно, распределено ли в соответствии с сопряженной, нормально распределенной априорной величиной, или неизвестно, распределенной в соответствии с неправильной априорной константой.

Связанные ситуации, которые также приводят к t-  распределению:

• Маргинальное апостериорное распределение неизвестного среднего значения нормально распределенной переменной с неизвестным априорным средним значением и дисперсией в соответствии с вышеуказанной моделью.
• Априорное прогнозируемое распределение и апостериорное прогнозируемое распределение новой точки данных с нормальным распределением, когда наблюдалась серия независимых одинаково распределенных точек данных с нормальным распределением, с априорным средним значением и дисперсией, как в приведенной выше модели.

Надежное параметрическое моделирование

Распределение t  часто используется в качестве альтернативы нормальному распределению в качестве модели данных, которые часто имеют более тяжелые хвосты, чем допускает нормальное распределение; см., например, Lange et al. ^[23] Классический подход заключался в выявлении выбросов (например, с помощью теста Граббса ) и их исключении или уменьшении их веса каким-либо образом. Однако не всегда легко выявить выбросы (особенно в больших размерностях ), а распределение t  является естественным выбором модели для таких данных и обеспечивает параметрический подход к надежной статистике .

Байесовский подход можно найти у Gelman et al. ^[24] Параметр степеней свободы контролирует эксцесс распределения и коррелирует с параметром масштаба. Вероятность может иметь несколько локальных максимумов, и поэтому часто необходимо зафиксировать достаточно низкое значение степеней свободы и оценить другие параметры, принимая это как заданное. Некоторые авторы ^{сообщают , что значения от 3 до} 9 часто являются хорошим выбором. Венейблс и Рипли ^{предполагают ,} что значение 5 часто является хорошим выбором ^.

Студенческий процесс  _

Для практических нужд регрессии и прогнозирования были введены t- процессы Стьюдента , которые являются обобщением t- распределений  Стьюдента  для функций. t -процесс Стьюдента  строится на основе t-  распределений Стьюдента, так же как гауссов процесс строится на основе гауссовских распределений . Для гауссовского процесса все наборы значений имеют многомерное гауссово распределение. Аналогично, является ли процесс Стьюдента t  на интервале , если соответствующие значения процесса ( ) имеют совместное многомерное  распределение Стьюдента t . ^[25] Эти процессы используются для регрессии, прогнозирования, байесовской оптимизации и связанных с ними задач. Для многомерной регрессии и прогнозирования с несколькими выходами  вводятся и используются многомерные t- процессы Стьюдента. ^[26] ${\displaystyle X(t)}$ ${\displaystyle I=[a,b]}$ ${\displaystyle \ X(t_{1}),\ \ldots \ ,X(t_{n})\ }$ ${\displaystyle t_{i}\in I}$

Таблица выбранных значений

В следующей таблице перечислены значения t-  распределений со степенями свободы ν для диапазона односторонних или двусторонних критических областей. Первый столбец — это ν , проценты вверху — это доверительные уровни , а числа в основной части таблицы — это факторы, описанные в разделе, посвященном доверительным интервалам. ${\displaystyle \ \alpha \ ,}$ ${\displaystyle t_{\alpha ,n-1}}$

Последняя строка с бесконечным ν дает критические точки для нормального распределения, поскольку распределение t  с бесконечным числом степеней свободы является нормальным распределением. (См. Связанные дистрибутивы выше).

Расчет доверительного интервала

Допустим, у нас есть выборка размером 11, средним значением выборки 10 и дисперсией выборки 2. Для 90% уверенности с 10 степенями свободы одностороннее значение t  из таблицы равно 1,372. Затем с доверительным интервалом, рассчитанным по формуле

${\displaystyle \ {\overline {X}}_{n}\pm t_{\alpha ,\nu }\ {\frac {S_{n}}{\ {\sqrt {n\ }}\ }}\ ,}$

мы определяем, что с 90% уверенностью имеем истинное среднее значение, лежащее ниже

${\displaystyle \ 10+1.372\ {\frac {\sqrt {2\ }}{\ {\sqrt {11\ }}\ }}=10.585~.}$

Другими словами, в 90% случаев, когда верхний порог рассчитывается этим методом на основе конкретных образцов, этот верхний порог превышает истинное среднее значение.

И с уверенностью 90% мы имеем истинное среднее значение, лежащее выше

${\displaystyle \ 10-1.372\ {\frac {\sqrt {2\ }}{\ {\sqrt {11\ }}\ }}=9.414~.}$

Другими словами, в 90% случаев, когда нижний порог рассчитывается этим методом на основе конкретных образцов, этот нижний порог лежит ниже истинного среднего значения.

Таким образом, при доверительной вероятности 80 % (рассчитанной по формуле 100 % — 2 × (1 — 90 %) = 80 %) мы имеем истинное среднее значение, лежащее в пределах интервала

${\displaystyle \left(\ 10-1.372\ {\frac {\sqrt {2\ }}{\ {\sqrt {11\ }}\ }},\ 10+1.372\ {\frac {\sqrt {2\ }}{\ {\sqrt {11\ }}\ }}\ \right)=(\ 9.414,\ 10.585\ )~.}$

Сказать, что в 80% случаев, когда верхний и нижний пороговые значения рассчитываются с помощью этого метода на основе данной выборки, истинное среднее значение находится как ниже верхнего порога, так и выше нижнего порога, это не то же самое, что сказать, что существует 80% вероятность того, что истинное среднее находится между определенной парой верхних и нижних порогов, рассчитанных с помощью этого метода; см. доверительный интервал и ошибку прокурора .

В настоящее время статистическое программное обеспечение, такое как язык программирования R , и функции, доступные во многих программах работы с электронными таблицами, вычисляют значения распределения t  и обратного ему значения без таблиц.

Смотрите также

• Математический портал

• F -распределение
• Распределения сложенных  t и половинных  t
• Распределение Хотеллинга T²
• Многомерное распределение студентов
• Стандартная нормальная таблица ( таблица Z -распределения)
• статистика  _
• Распределение Тау для внутренне стьюдентизированных остатков
• Лямбда-распределение Уилкса
• Распределение желаний
• Модифицированное полунормальное распределение ^[27] с PDF-файлом задается как где обозначает Пси-функцию Фокса-Райта . ${\displaystyle (0,\infty )}$ ${\displaystyle f(x)={\frac {2\beta ^{\frac {\alpha }{2}}x^{\alpha -1}\exp(-\beta x^{2}+\gamma x)}{\Psi {\left({\frac {\alpha }{2}},{\frac {\gamma }{\sqrt {\beta }}}\right)}}}\ ,}$ ${\displaystyle \Psi (\alpha ,z)={}_{1}\Psi _{1}\left({\begin{matrix}\left(\alpha ,{\frac {1}{2}}\right)\\(1,0)\end{matrix}};z\right)}$

Примечания

1. Херст, Саймон. «Характеристическая функция распределения Стьюдента». Отчет об исследовании финансовой математики. Отчет о статистических исследованиях № SRR044-95. Архивировано из оригинала 18 февраля 2010 года.
2. Нортон, Мэтью; Хохлов, Валентин; Урясев, Стэн (2019). «Расчет CVaR и bPOE для распространенных распределений вероятностей с применением для оптимизации портфеля и оценки плотности» (PDF) . Анналы исследования операций . Спрингер. 299 (1–2): 1281–1315. arXiv : 1811.11301 . дои : 10.1007/s10479-019-03373-1. S2CID  254231768 . Проверено 27 февраля 2023 г.
3. Гельмерт ФР (1875). «Über die Berechnung des wahrscheinlichen Fehlers aus einer endlichen Anzahl wahrer Beobachtungsfehler». Zeitschrift für Angewandte Mathematik und Physik (на немецком языке). 20 : 300–303.
4. Гельмерт ФР (1876). «Über die Wahrscheinlichkeit der Potenzsummen der Beobachtungsfehler und uber einige damit in Zusammenhang stehende Fragen». Zeitschrift für Angewandte Mathematik und Physik (на немецком языке). 21 : 192–218.
5. Гельмерт ФР (1876). «Die Genauigkeit der Formel von Peters zur Berechnung des wahrscheinlichen Beobachtungsfehlers Directer Beobachtungen gleicher Genauigkeit» [Точность формулы Петерса для расчета вероятной ошибки наблюдения прямых наблюдений одинаковой точности]. Astronomische Nachrichten (на немецком языке). 88 (8–9): 113–132. Бибкод : 1876AN.....88..113H. дои : 10.1002/asna.18760880802.
6. Люрот Дж (1876). «Vergleichung von zwei Werten des wahrscheinlichen Fehlers». Astronomische Nachrichten (на немецком языке). 87 (14): 209–220. Бибкод : 1876AN.....87..209L. дои : 10.1002/asna.18760871402.
7. Пфанзагль Дж., Шейнин О. (1996). «Исследования по истории вероятности и статистики. XLIV. Предшественник t- распределения  ». Биометрика . 83 (4): 891–898. дои : 10.1093/biomet/83.4.891. МР  1766040.
8. Шейнин О (1995). «Работа Гельмерта по теории ошибок». Архив истории точных наук . 49 (1): 73–104. дои : 10.1007/BF00374700. S2CID  121241599.
9. Пирсон, К. (1895). «Вклад в математическую теорию эволюции. II. Косые изменения в однородном материале» (PDF) . Философские труды Королевского общества A : Математические, физические и технические науки . 186 (374): 343–414. Бибкод : 1895RSPTA.186..343P. дои : 10.1098/rsta.1895.0010 . ISSN  1364-503X.
10. «Студент» [ псев. Уильям Сили Госсет ] (1908). «Вероятная ошибка среднего» (PDF) . Биометрика . 6 (1): 1–25. дои : 10.1093/biomet/6.1.1. hdl :10338.dmlcz/143545. JSTOR  2331554. {{cite journal}}: CS1 maint: numeric names: authors list (link)
11. Вендл MC (2016). «Псевдонимная слава». Наука . 351 (6280): 1406. Бибкод : 2016Sci...351.1406W. дои : 10.1126/science.351.6280.1406. ПМИД  27013722.
12. Мортимер Р.Г. (2005). Математика для физической химии (3-е изд.). Берлингтон, Массачусетс: Elsevier. стр. 326. ISBN 9780080492889. ОСЛК  156200058.
13. Фишер Р.А. (1925). «Приложения «Студенческой» дистрибуции» (PDF) . Метрон . 5 : 90–104. Архивировано из оригинала (PDF) 5 марта 2016 года.
14. Уолпол Р.Э., Майерс Р., Майерс С., Й.К. (2006). Вероятность и статистика для инженеров и ученых (7-е изд.). Нью-Дели, Индиана: Пирсон. п. 237. ИСБН 9788177584042. ОКЛК  818811849.
15. Крушке Дж.К. (2015). Выполнение байесовского анализа данных (2-е изд.). Академическая пресса. ISBN 9780124058880. ОКЛК  959632184.
16. Казелла Г., Бергер Р.Л. (1990). Статистические выводы . Ресурсный центр Даксбери. п. 56. ИСБН 9780534119584.
17. Джекман, С. (2009). Байесовский анализ для социальных наук . Ряд Уайли по вероятности и статистике. Уайли. п. 507. дои : 10.1002/9780470686621. ISBN 9780470011546.
18. Гельман А.Б., Карлин Дж.С., Рубин Д.Б., Стерн Х.С. (1997). Байесовский анализ данных (2-е изд.). Бока-Ратон, Флорида: Chapman & Hal lp 68. ISBN 9780412039911.
19. Парк С.Ю., Бера АК (2009). «Модель условной гетероскедастичности авторегрессии с максимальной энтропией». Дж. Экономик. 150 (2): 219–230. doi :10.1016/j.jeconom.2008.12.014.
20. Бэйли RW (1994). «Полярная генерация случайных величин с t-  распределением». Математика вычислений . 62 (206): 779–781. Бибкод : 1994MaCom..62..779B. дои : 10.2307/2153537. JSTOR  2153537. S2CID  120459654.
21. Орд Дж.К. (1972). Семейства частотных распределений . Лондон, Великобритания: Гриффин. Таблица 5.1. ISBN 9780852641378.
22. Орд Дж.К. (1972). Семейства частотных распределений . Лондон, Великобритания: Гриффин. Глава 5. ISBN 9780852641378.
23. Ланге К.Л., Литтл Р.Дж., Тейлор Дж.М. (1989). «Надежное статистическое моделирование с использованием t-распределения» (PDF) . Варенье. Стат. доц. 84 (408): 881–896. дои : 10.1080/01621459.1989.10478852. JSTOR  2290063.
24. Гельман А.Б., Карлин Дж.Б., Стерн Х.С. и др. (2014). «Вычислительно эффективное моделирование цепи Маркова». Байесовский анализ данных . Бока-Ратон, Флорида: CRC Press. п. 293. ИСБН 9781439898208.
25. Шах, Амар; Уилсон, Эндрю Гордон; Гахрамани, Зубин (2014). «Процессы Стьюдента как альтернатива гауссовским процессам» (PDF) . JMLR . 33 (Материалы 17-й Международной конференции по искусственному интеллекту и статистике (AISTATS), 2014 г., Рейкьявик, Исландия): 877–885. arXiv : 1402.4306 .
26. Чен, Цзэссун; Ван, Бо; Горбань, Александр Н. (2019). «Многомерная регрессия процессов Гаусса и Стьюдента для прогнозирования с несколькими выходами». Нейронные вычисления и их приложения . 32 (8): 3005–3028. arXiv : 1703.04455 . дои : 10.1007/s00521-019-04687-8 .
27. Сунь, Цзинчао; Конг, Майинг; Пал, Субхадип (22 июня 2021 г.). «Модифицированное полунормальное распределение: свойства и эффективная схема выборки». Коммуникации в статистике - теория и методы . 52 (5): 1591–1613. дои : 10.1080/03610926.2021.1934700. ISSN  0361-0926. S2CID  237919587.

Рекомендации

• Сенн, С.; Ричардсон, В. (1994). «Первый т-  тест». Статистика в медицине . 13 (8): 785–803. дои : 10.1002/sim.4780130802. ПМИД  8047737.
• Хогг Р.В. , Крейг А.Т. (1978). Введение в математическую статистику (4-е изд.). Нью-Йорк: Макмиллан. АСИН  B010WFO0SA.
• Венейблс, Западная Нью-Йорк; Рипли, Б.Д. (2002). Современная прикладная статистика с S (Четвертое изд.). Спрингер.
• Гельман, Эндрю; Джон Б. Карлин; Хэл С. Стерн; Дональд Б. Рубин (2003). Байесовский анализ данных (второе изд.). CRC/Чепмен и Холл. ISBN 1-58488-388-Х.

Внешние ссылки

• «Распределение студентов», Математическая энциклопедия , EMS Press , 2001 [1994]
• Самые ранние известные варианты использования некоторых математических слов (S) (Замечания об истории термина «Распределение Стьюдента»)
• Руо, М. (2013), Вероятность, статистика и оценка (PDF) (краткая редакция)Первые ученики на странице 112.
• t-распределение студента, архивировано 10 апреля 2021 г. в Wayback Machine.