t-статистика

Соотношение в статистике

В статистике t - статистика представляет собой отношение отклонения оценочного значения параметра от его предполагаемого значения к его стандартной ошибке . Он используется при проверке гипотез с помощью t -критерия Стьюдента . T - статистика используется в t -тесте, чтобы определить, следует ли поддержать или отвергнуть нулевую гипотезу. Он очень похож на z-показатель , но с той разницей, что t -статистика используется, когда размер выборки небольшой или стандартное отклонение генеральной совокупности неизвестно. Например, t -статистика используется при оценке среднего значения генеральной совокупности на основе выборочного распределения выборочных средних , если стандартное отклонение генеральной совокупности неизвестно. Оно также используется вместе со значением p при проверке гипотез, где значение p сообщает нам, каковы шансы на то, что результаты будут получены.

Определение и особенности

Пусть – оценка параметра β в некоторой статистической модели . Тогда t -статистикой для этого параметра является любая величина вида ${\displaystyle {\hat {\beta }}}$

${\displaystyle t_{\hat {\beta }}={\frac {{\hat {\beta }}-\beta _{0}}{\operatorname {s.e.} ({\hat {\beta }})}},}$

где β ₀ — неслучайная известная константа, которая может совпадать или не совпадать с фактическим значением неизвестного параметра β и является стандартной ошибкой средства оценки β . ${\displaystyle \operatorname {s.e.} ({\hat {\beta }})}$ ${\displaystyle {\hat {\beta }}}$

По умолчанию статистические пакеты сообщают t -статистику с β ₀ = 0 (эта t -статистика используется для проверки значимости соответствующего регрессора). Однако, когда t -статистика необходима для проверки гипотезы вида H ₀ : β = β ₀ , тогда можно использовать ненулевое β _{0 .}

Если – обычная оценка методом наименьших квадратов в классической модели линейной регрессии (т. е. с нормально распределенными и гомоскедастическими членами ошибок), и если истинное значение параметра β равно β ₀ , то выборочное распределение t - статистики — это t -распределение Стьюдента с ( n — k ) степенями свободы, где n — количество наблюдений, а k — количество регрессоров ( ^{включая перехват )} . ${\displaystyle {\hat {\beta }}}$

В большинстве моделей оценка β согласована и распределяется асимптотически нормально . Если истинное значение параметра β равно β ₀ и величина правильно оценивает асимптотическую дисперсию этой оценки, то t -статистика будет асимптотически иметь стандартное нормальное распределение. ${\displaystyle {\hat {\beta }}}$ ${\displaystyle \operatorname {s.e.} ({\hat {\beta }})}$

В некоторых моделях распределение t -статистики отличается от нормального распределения даже асимптотически. Например, когда временной ряд с единичным корнем подвергается регрессии в расширенном тесте Дики-Фуллера , t -статистика теста будет асимптотически иметь одно из распределений Дики-Фуллера (в зависимости от настроек теста).

Использовать

Чаще всего t- статистика используется в t -тестах Стьюдента , форме проверки статистических гипотез , а также при вычислении определенных доверительных интервалов .

Ключевым свойством t- статистики является то, что она является ключевой величиной : хотя она и определяется в терминах выборочного среднего, ее выборочное распределение не зависит от параметров совокупности, и поэтому ее можно использовать независимо от того, какими они могут быть.

Остаток также можно разделить на стандартное отклонение выборки :

${\displaystyle g(x,X)={\frac {x-{\overline {X}}}{s}}}$

Чтобы вычислить оценку количества стандартных отклонений, данная выборка берется из среднего значения, как выборочная версия z-показателя , z-показателя, требующего параметров совокупности.

Прогноз

Учитывая нормальное распределение с неизвестным средним значением и дисперсией, t -статистика будущего наблюдения после того, как было сделано n наблюдений, является вспомогательной статистикой – основной величиной (не зависит от значений μ и σ ² ), которая является статистикой (рассчитано по наблюдениям). Это позволяет вычислить частотный интервал прогнозирования ( доверительный интервал прогнозирования ) с помощью следующего t-распределения: ${\displaystyle N(\mu ,\sigma ^{2})}$ ${\displaystyle X_{n+1},}$

${\displaystyle {\frac {X_{n+1}-{\overline {X}}_{n}}{s_{n}{\sqrt {1+n^{-1}}}}}\sim T^{n-1}.}$

Решение для получения прогнозируемого распределения ${\displaystyle X_{n+1}}$

${\displaystyle {\overline {X}}_{n}+s_{n}{\sqrt {1+n^{-1}}}\cdot T^{n-1},}$

из которых можно вычислить доверительные интервалы прогнозирования - учитывая вероятность p , можно вычислить такие интервалы, что в 100 p % случаев следующее наблюдение попадет в этот интервал. ${\displaystyle X_{n+1}}$

История

Термин « t -статистика» является сокращением от «статистика проверки гипотез». ^{[1] [ нужна цитация ]} В статистике t-распределение было впервые получено как апостериорное распределение в 1876 году Хелмертом ^{[2] [3] [4]} и Люротом . ^{[5] [6] [7]} t-распределение также появилось в более общей форме как распределение Пирсона типа IV в статье Карла Пирсона 1895 года. ^[8] Однако Т-распределение, также известное как Т-распределение Стьюдента, получило свое название от Уильяма Сили Госсета , который первым опубликовал результат на английском языке в своей статье 1908 года под названием «Вероятная ошибка среднего значения» (в « Биометрике ») с использованием его псевдоним «Студент» ^{[9] [10]} , потому что его работодатель предпочитал, чтобы их сотрудники использовали псевдонимы при публикации научных статей вместо своего настоящего имени, поэтому он использовал имя «Студент», чтобы скрыть свою личность. ^[11] Госсет работал на пивоварне Guinness Brewery в Дублине , Ирландия , и интересовался проблемами небольших образцов – например, химическими свойствами ячменя, где размеры выборок могли составлять всего 3. Отсюда и вторая версия этимологии Термин «Студент» заключается в том, что компания Guinness не хотела, чтобы их конкуренты знали, что они используют t-тест для определения качества сырья. Хотя термин «Студент» был написан в честь Уильяма Госсета, на самом деле именно благодаря работе Рональда Фишера это распределение стало широко известно как «распределение Стьюдента» ^{[12] [13]} и « Т-критерий Стьюдента » .

Связанные понятия

• z -показатель (стандартизация) : если параметры совокупности известны, то вместо вычисления t-статистики можно вычислить z-показатель; аналогично, вместо использования t -теста используется z -тест . Это редкость за пределами стандартизированного тестирования .
• Стьюдентизированный остаток : в регрессионном анализе стандартные ошибки оценок в разных точках данных различаются (сравните среднюю и конечную точки простой линейной регрессии ), и, таким образом, необходимо разделить разные остатки на разные оценки ошибки, давая то, что называется стьюденизированные остатки .

Смотрите также

• Математический портал

• F -тест
• t ² -статистика
• Т-распределение Стьюдента
• Т-критерий Стьюдента
• Проверка гипотезы
• Распределения сложенной t и половинной формы
• Распределение хи-квадрат

Рекомендации

1. Микробиом в здоровье и болезни. Академическая пресса. 29 мая 2020 г. с. 397. ИСБН 978-0-12-820001-8.
2. Сабо, Иштван (2003), «Systeme aus einer endlichen Anzahl starrer Körper», Einführung in die Technische Mechanik , Springer Berlin Heidelberg, стр. 196–199, doi : 10.1007/978-3-642-61925-0_16, ISBN 978-3-540-13293-6
3. Шливич, Б. (октябрь 1937 г.). «Untersuchungen über den anastomotischen Kanal zwischen der Arteria coeliaca und super mesenterica und damit in Zusammenhang stehende Fragen». Zeitschrift für Anatomie und Entwicklungsgeschichte . 107 (6): 709–737. дои : 10.1007/bf02118337. ISSN  0340-2061. S2CID  27311567.
4. Гельмерт (1876). «Die Genauigkeit der Formel von Peters zur Berechnung des wahrscheinlichen Beobachtungsfehlers режиссер Beobachtungen gleicher Genauigkeit». Astronomische Nachrichten (на немецком языке). 88 (8–9): 113–131. Бибкод : 1876AN.....88..113H. дои : 10.1002/asna.18760880802.
5. Люрот, Дж. (1876). «Vergleichung von zwei Werthen des wahrscheinlichen Fehlers». Astronomische Nachrichten (на немецком языке). 87 (14): 209–220. Бибкод : 1876AN.....87..209L. дои : 10.1002/asna.18760871402.
6. Пфанзагль, Дж. (1996). «Исследования по истории вероятности и статистике XLIV. Предшественник t-распределения». Биометрика . 83 (4): 891–898. дои : 10.1093/biomet/83.4.891. МР  1766040.
7. Шейнин, Оскар (1995). «Работа Гельмерта по теории ошибок». Архив истории точных наук . 49 (1): 73–104. дои : 10.1007/BF00374700. ISSN  0003-9519. S2CID  121241599.
8. Пирсон, Карл (1895). «X. Вклад в математическую теорию эволюции. — II. Асимметрия в однородном материале». Философские труды Лондонского королевского общества А. 186 : 343–414. Бибкод : 1895RSPTA.186..343P. дои : 10.1098/rsta.1895.0010 . ISSN  1364-503X.
9. «Студент» ( Уильям Сили Госсет ) (1908). «Вероятная ошибка среднего». Биометрика . 6 (1): 1–25. дои : 10.1093/biomet/6.1.1. hdl :10338.dmlcz/143545. JSTOR  2331554.
10. «Таблица T | История таблицы T, этимология, односторонняя T-таблица, двусторонняя T-таблица и T-статистика» .
11. Вендл, MC (2016). «Псевдонимная слава». Наука . 351 (6280): 1406. doi :10.1126/science.351.6280.1406. ПМИД  27013722.
12. Таттл, Мэриленд; Аназонву, Б.с., Уолтер; Рубин, Мэриленд, Ли (2014). «Анализ подгруппы местного применения транексамовой кислоты при тотальной артропластике коленного сустава». Реконструктивный обзор . 4 (2): 37–41. дои : 10.15438/rr.v4i2.72 .
13. Уолпол, Рональд Э. (2006). Вероятность и статистика для инженеров и ученых . Майерс, Х. Рэймонд. (7-е изд.). Нью-Дели: Пирсон. ISBN 81-7758-404-9. ОКЛК  818811849.