В математике , если задан вектор в точке на кривой , этот вектор можно разложить единственным образом в виде суммы двух векторов, один из которых касается кривой и называется тангенциальным компонентом вектора, а другой перпендикулярен кривой и называется нормальным компонентом вектора. Аналогично, вектор в точке на поверхности можно разложить таким же образом.
В более общем случае, если задано подмногообразие N многообразия M и вектор в касательном пространстве к M в точке N , его можно разложить на компоненту, касательную к N , и компоненту, нормальную к N.
Более формально, пусть будет поверхностью, а будет точкой на поверхности. Пусть будет вектором в . Тогда можно однозначно записать в виде суммы , где первый вектор в сумме — это тангенциальная составляющая, а второй — нормальная составляющая. Из этого немедленно следует, что эти два вектора перпендикулярны друг другу.
Для вычисления тангенциальной и нормальной составляющих рассмотрим единичную нормаль к поверхности, то есть единичный вектор, перпендикулярный к . Тогда , и, таким образом , где " " обозначает скалярное произведение . Другая формула для тангенциальной составляющей:
где " " обозначает векторное произведение .
Эти формулы не зависят от конкретной используемой единичной нормали (существуют две единичные нормали к любой поверхности в данной точке, направленные в противоположных направлениях, поэтому одна из единичных нормалей является отрицательной по отношению к другой).
В более общем случае, если задано подмногообразие N многообразия M и точка , мы получаем короткую точную последовательность , включающую касательные пространства : Фактор -пространство является обобщенным пространством нормальных векторов.
Если M — риманово многообразие , то указанная выше последовательность расщепляется , а касательное пространство M в точке p разлагается в прямую сумму касательной к N компоненты и нормальной к N компоненты : Таким образом, каждый касательный вектор расщепляется как , где и .
Предположим, что N задано невырожденными уравнениями.
Если N задано явно, через параметрические уравнения (например, параметрическая кривая ), то производная дает охватывающее множество для касательного расслоения (оно является базисом тогда и только тогда, когда параметризация является погружением ).
Если N задано неявно (как в приведенном выше описании поверхности (или, в более общем смысле, как) гиперповерхность ) как множество уровня или пересечение поверхностей уровня для , то градиенты охватывают нормальное пространство.
В обоих случаях мы снова можем выполнить вычисления, используя скалярное произведение ; однако векторное произведение является специальным для трехмерного случая.
