Соотношения Крамерса–Кронига

Тип математического отношения

Соотношения Крамерса –Кронига , иногда сокращенно называемые отношениями КК , являются двунаправленными математическими отношениями, связывающими действительную и мнимую части любой комплексной функции , которая является аналитической в ​​верхней полуплоскости . Эти отношения часто используются для вычисления действительной части из мнимой части (или наоборот) функций отклика в физических системах , поскольку для устойчивых систем причинность подразумевает условие аналитичности , и наоборот, аналитичность подразумевает причинность соответствующей устойчивой физической системы. ^[1] Соотношение названо в честь Ральфа Кронига и Ганса Крамерса . ^{[2] [3]} В математике эти отношения известны под названиями теорема Сохоцкого–Племеля и преобразование Гильберта .

Формулировка

Иллюстрация к одному из соотношений Крамерса–Кронига, определяющему действительную часть восприимчивости по мнимой части.

Пусть будет комплексной функцией комплексной переменной , где и являются действительными . Предположим, что эта функция аналитична в замкнутой верхней полуплоскости и стремится к при . Соотношения Крамерса–Кронига задаются как и где является действительным , а где обозначает главное значение Коши . Действительная и мнимая части такой функции не являются независимыми, что позволяет восстановить полную функцию по одной из ее частей. ${\displaystyle \chi (\omega )=\chi _{1}(\omega )+i\chi _{2}(\omega )}$ ${\displaystyle \omega }$ ${\displaystyle \chi _{1}(\omega )}$ ${\displaystyle \chi _{2}(\omega )}$ ${\displaystyle \omega }$ ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle |\omega |\to \infty }$ $${\displaystyle \chi _{1}(\omega )={\frac {1}{\pi }}{\mathcal {P}}\!\!\int _{-\infty }^{\infty }{\frac {\chi _{2}(\omega ')}{\omega '-\omega }}\,d\omega '}$$ $${\displaystyle \chi _{2}(\omega )=-{\frac {1}{\pi }}{\mathcal {P}}\!\!\int _{-\infty }^{\infty }{\frac {\chi _{1}(\omega ')}{\omega '-\omega }}\,d\omega ',}$$ ${\displaystyle \omega }$ ${\displaystyle {\mathcal {P}}}$

Вывод

Интегральный контур для вывода соотношений Крамерса–Кронига

Доказательство начинается с применения теоремы Коши о вычетах для комплексного интегрирования. Если задана любая аналитическая функция в замкнутой верхней полуплоскости, то функция , где является вещественной, является аналитической в ​​(открытой) верхней полуплоскости. Следовательно, теорема о вычетах утверждает, что для любого замкнутого контура в этой области. Когда контур выбран для отслеживания действительной оси, горба над полюсом в точке и большой полукруга в верхней полуплоскости. Это следует за разложением интеграла на его вклады вдоль каждого из этих трех сегментов контура и переходом их к пределам. Длина полукругового сегмента увеличивается пропорционально , ​​но интеграл по нему исчезает в пределе, поскольку исчезает быстрее, чем . У нас остаются сегменты вдоль действительной оси и полукруг вокруг полюса. Мы принимаем размер полукруга равным нулю и получаем ${\displaystyle \chi }$ ${\displaystyle \omega '\mapsto \chi (\omega ')/(\omega '-\omega )}$ ${\displaystyle \omega }$ $${\displaystyle \oint {\frac {\chi (\omega ')}{\omega '-\omega }}\,d\omega '=0}$$ ${\displaystyle \omega '=\omega }$ ${\displaystyle |\omega '|}$ ${\displaystyle {\frac {\chi (\omega ')}{\omega '-\omega }}}$ ${\displaystyle 1/|\omega '|}$ $${\displaystyle 0=\oint {\frac {\chi (\omega ')}{\omega '-\omega }}\,d\omega '={\mathcal {P}}\!\!\int _{-\infty }^{\infty }{\frac {\chi (\omega ')}{\omega '-\omega }}\,d\omega '-i\pi \chi (\omega ).}$$

Второй член в последнем выражении получается с помощью теории вычетов ^[4], а именно теоремы Сохоцкого–Племеля . Преобразуя, приходим к компактной форме соотношений Крамерса–Кронига: $${\displaystyle \chi (\omega )={\frac {1}{i\pi }}{\mathcal {P}}\!\!\int _{-\infty }^{\infty }{\frac {\chi (\omega ')}{\omega '-\omega }}\,d\omega '.}$$

Единица в знаменателе осуществляет связь между действительными и мнимыми компонентами. Наконец, разделите уравнение на действительные и мнимые части, чтобы получить формы, указанные выше. ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle \chi (\omega )}$

Физическая интерпретация и альтернативная форма

Формализм Крамерса–Кронига может быть применен к функциям отклика . В некоторых линейных физических системах или в таких областях техники, как обработка сигналов , функция отклика описывает, как некоторое зависящее от времени свойство физической системы реагирует на импульсную силу в момент времени Например, это может быть угол маятника и приложенная сила двигателя , приводящего маятник в движение. Отклик должен быть равен нулю, поскольку система не может реагировать на силу до ее приложения. Можно показать (например, с помощью теоремы Титчмарша ), что это условие причинности подразумевает, что преобразование Фурье является аналитическим в верхней полуплоскости. ^[5] Кроме того, если система подвергается воздействию колебательной силы с частотой, намного превышающей ее самую высокую резонансную частоту, у системы почти не будет времени для реагирования до того, как сила изменит направление, и поэтому частотная характеристика будет сходиться к нулю, когда становится очень большой. Из этих физических соображений следует, что обычно будет удовлетворять условиям, необходимым для соотношений Крамерса–Кронига. ${\displaystyle \chi (t-t')}$ ${\displaystyle P(t)}$ ${\displaystyle F(t')}$ ${\displaystyle t'.}$ ${\displaystyle P(t)}$ ${\displaystyle F(t)}$ ${\displaystyle \chi (t-t')}$ ${\displaystyle t<t'}$ ${\displaystyle \chi (\omega )}$ ${\displaystyle \chi (t)}$ ${\displaystyle \chi (\omega )}$ ${\displaystyle \omega }$ ${\displaystyle \chi (\omega )}$

Мнимая часть функции отклика описывает, как система рассеивает энергию , поскольку она находится в фазе с движущей силой . ^{[ необходима ссылка ]} Соотношения Крамерса–Кронига подразумевают, что наблюдение за диссипативным откликом системы достаточно для определения ее несовпадающего по фазе (реактивного) отклика, и наоборот.

Интегралы бегут от до , подразумевая, что мы знаем ответ на отрицательных частотах. К счастью, в большинстве физических систем положительный частотный отклик определяет отрицательный частотный отклик, поскольку является преобразованием Фурье действительного отклика . Мы будем делать это предположение в дальнейшем. ${\displaystyle -\infty }$ ${\displaystyle \infty }$ ${\displaystyle \chi (\omega )}$ ${\displaystyle \chi (t)}$

Как следствие, . Это означает, что является четной функцией частоты и нечетной . ${\displaystyle \chi (-\omega )=\chi ^{*}(\omega )}$ ${\displaystyle \chi _{1}(\omega )}$ ${\displaystyle \chi _{2}(\omega )}$

Используя эти свойства, мы можем свернуть диапазоны интегрирования до . Рассмотрим первое соотношение, которое дает действительную часть . Мы преобразуем интеграл в интеграл определенной четности, умножая числитель и знаменатель подынтегральной функции на и разделяя: ${\displaystyle [0,\infty )}$ ${\displaystyle \chi _{1}(\omega )}$ ${\displaystyle \omega '+\omega }$ $${\displaystyle \chi _{1}(\omega )={1 \over \pi }{\mathcal {P}}\!\!\int _{-\infty }^{\infty }{\omega '\chi _{2}(\omega ') \over \omega '^{2}-\omega ^{2}}\,d\omega '+{\omega \over \pi }{\mathcal {P}}\!\!\int _{-\infty }^{\infty }{\chi _{2}(\omega ') \over \omega '^{2}-\omega ^{2}}\,d\omega '.}$$

Так как нечетно, то второй интеграл обращается в нуль, и у нас остается ${\displaystyle \chi _{2}(\omega )}$ $${\displaystyle \chi _{1}(\omega )={2 \over \pi }{\mathcal {P}}\!\!\int _{0}^{\infty }{\omega '\chi _{2}(\omega ') \over \omega '^{2}-\omega ^{2}}\,d\omega '.}$$

Тот же вывод для мнимой части дает $${\displaystyle \chi _{2}(\omega )=-{2 \over \pi }{\mathcal {P}}\!\!\int _{0}^{\infty }{\omega \chi _{1}(\omega ') \over \omega '^{2}-\omega ^{2}}\,d\omega '=-{2\omega \over \pi }{\mathcal {P}}\!\!\int _{0}^{\infty }{\chi _{1}(\omega ') \over \omega '^{2}-\omega ^{2}}\,d\omega '.}$$

Это соотношения Крамерса–Кронига в форме, которая полезна для физически реалистичных функций отклика.

Сопутствующее доказательство из области времени

Ху ^[6] и Холл и Хек ^[7] дают связанное и, возможно, более интуитивное доказательство, которое избегает контурной интеграции. Оно основано на фактах, что:

• Причинно-следственная импульсная реакция может быть выражена как сумма четной функции и нечетной функции, где нечетная функция — это четная функция, умноженная на знаковую функцию .
• Четная и нечетная части формы сигнала во временной области соответствуют действительной и мнимой частям ее интеграла Фурье соответственно.
• Умножение на знаковую функцию во временной области соответствует преобразованию Гильберта (т.е. свертке по ядру Гильберта ) в частотной области. ${\displaystyle 1/\pi \omega }$

Объединение формул, полученных из этих фактов, дает соотношения Крамерса–Кронига. Это доказательство охватывает несколько иную область, чем предыдущее, в том смысле, что оно связывает действительные и мнимые части в частотной области любой функции, которая является причинной во временной области, предлагая подход, несколько отличающийся от условия аналитичности в верхней полуплоскости частотной области.

Также доступна статья с неформальной, иллюстрированной версией этого доказательства. ^[8]

Соотношение амплитуды (усиления) и фазы

Обычная форма Крамерса–Кронига выше связывает действительную и мнимую часть комплексной функции отклика. Связанная цель — найти связь между величиной и фазой комплексной функции отклика.

В общем случае, к сожалению, фазу нельзя однозначно предсказать по величине. ^[9] Простым примером этого является чистая временная задержка времени T , которая имеет амплитуду 1 на любой частоте независимо от T , но имеет фазу, зависящую от T (в частности, фаза = 2π × T × частота).

Однако существует уникальное отношение амплитуды к фазе в частном случае минимально-фазовой системы, ^[9] иногда называемое отношением усиления Боде к фазе . Термины отношения Байярда–Боде и теорема Байярда–Боде , в честь работ Марселя Байярда (1936) и Хендрика Уэйда Боде (1945), также используются как для отношений Крамерса–Кронига в целом, так и для отношения амплитуды к фазе в частности, особенно в областях телекоммуникаций и теории управления . ^{[10] [11]}

Приложения в физике

Оптика

Комплексный показатель преломления

Соотношения Крамерса–Кронига используются для связи действительной и мнимой частей комплексного показателя преломления среды, где — коэффициент экстинкции . ^[12] Следовательно, по сути, это также применимо к комплексной относительной диэлектрической проницаемости и электрической восприимчивости . ^[13] ${\displaystyle {\tilde {n}}=n+i\kappa }$ ${\displaystyle \kappa }$

Уравнение Селлмейера напрямую связано с соотношениями Крамера-Кронига и используется для аппроксимации действительного и комплексного показателя преломления материалов вдали от любых резонансов. ^{[14] [15]}

Круговое двупреломление

В оптическом вращении соотношения Крамерса–Кронига устанавливают связь между оптической вращательной дисперсией и круговым дихроизмом .

Магнитооптика

Соотношения Крамерса–Кронига позволяют получать точные решения нетривиальных задач рассеяния, которые находят применение в магнитооптике. ^[16]

Эллипсометрия

В эллипсометрии соотношения Крамера-Кронига применяются для проверки измеренных значений действительной и комплексной частей показателя преломления тонких пленок. ^[17]

Электронная спектроскопия

В спектроскопии потери энергии электронами анализ Крамерса-Кронига позволяет рассчитать энергетическую зависимость как действительной, так и мнимой частей оптической проницаемости света образца , а также другие оптические свойства, такие как коэффициент поглощения и отражательная способность . ^[18]

Короче говоря, измеряя число электронов с высокой энергией (например, 200 кэВ), которые теряют заданное количество энергии при прохождении через очень тонкий образец (приближение однократного рассеяния), можно вычислить мнимую часть диэлектрической проницаемости при этой энергии. Используя эти данные с анализом Крамерса–Кронига, можно также вычислить действительную часть диэлектрической проницаемости (как функцию энергии).

Это измерение выполняется с помощью электронов, а не света, и может быть выполнено с очень высоким пространственным разрешением. Таким образом, например, можно искать полосы поглощения ультрафиолета (УФ) в лабораторном образце межзвездной пыли размером менее 100 нм, т. е. слишком малы для УФ-спектроскопии. Хотя электронная спектроскопия имеет худшее энергетическое разрешение, чем световая спектроскопия , данные о свойствах в видимом, ультрафиолетовом и мягком рентгеновском спектральных диапазонах могут быть зарегистрированы в том же эксперименте.

В фотоэмиссионной спектроскопии с угловым разрешением соотношения Крамерса-Кронига могут быть использованы для связи действительной и мнимой частей собственной энергии электронов . Это характерно для взаимодействия многих тел, которое электрон испытывает в материале. Известные примеры находятся в высокотемпературных сверхпроводниках , где перегибы, соответствующие действительной части собственной энергии, наблюдаются в дисперсии зон, а изменения ширины MDC также наблюдаются в соответствии с мнимой частью собственной энергии. ^[19]

Адронное рассеяние

Соотношения Крамерса–Кронига также используются под названием «интегральные дисперсионные соотношения» применительно к адронному рассеянию. ^[20] В этом случае функция представляет собой амплитуду рассеяния. Благодаря использованию оптической теоремы мнимая часть амплитуды рассеяния затем связывается с полным сечением , которое является физически измеримой величиной.

Рассеяние электронов

Подобно адронному рассеянию, соотношения Крамерса–Кронига используются в рассеянии электронов высокой энергии . В частности, они входят в вывод правила сумм Герасимова–Дрелла–Хирна . ^[21]

Геофизика

Для распространения сейсмических волн соотношение Крамера–Кронига помогает найти правильную форму для коэффициента качества в затухающей среде. ^[22]

Электрохимическая импедансная спектроскопия

Тест Крамерса-Кронига используется в приложениях с батареями и топливными элементами ( диэлектрическая спектроскопия ) для проверки линейности , причинности и стационарности . Поскольку на практике невозможно получить данные во всем диапазоне частот, как того требует формула Крамерса-Кронига, необходимо делать приближения.

На высоких частотах (> 1 МГц) обычно можно с уверенностью предположить, что импеданс определяется омическим сопротивлением электролита, хотя часто наблюдаются артефакты индуктивности .

На низких частотах тест KK можно использовать для проверки надежности экспериментальных данных. В практике работы с батареями данные, полученные в ходе экспериментов длительностью менее одной минуты, обычно не проходят тест для частот ниже 10 Гц. Поэтому следует проявлять осторожность при интерпретации таких данных. ^[23]

В электрохимической практике из-за конечного частотного диапазона экспериментальных данных вместо соотношений Крамерса-Кронига используется соотношение Z-HIT . В отличие от соотношения Крамерса-Кронига (которое записано для бесконечного частотного диапазона), интегрирование Z-HIT требует только конечного частотного диапазона. Кроме того, Z-HIT более устойчив к ошибкам в Re и Im импеданса, поскольку его точность в основном зависит от точности фазовых данных.

Смотрите также

• Дисперсия (оптика)
• Линейная функция отклика
• Числовое аналитическое продолжение

Ссылки

Цитаты

1. Джон С. Толл (1956). «Причинность и дисперсионное отношение: логические основы». Physical Review . 104 (6): 1760–1770. Bibcode : 1956PhRv..104.1760T. doi : 10.1103/PhysRev.104.1760.
2. Р. де Л. Крониг (1926). «К теории дисперсии рентгеновских лучей». J. Opt. Soc. Am . 12 (6): 547–557. doi :10.1364/JOSA.12.000547.
3. Х. А. Крамерс (1927). «Распространение света по атомам». Атти Конг. Стажер. Фисичи, (Труды Конгресса столетия Вольты) Комо . 2 : 545–557.
4. Г. Арфкен (1985). Математические методы для физиков . Орландо: Academic Press. ISBN 0-12-059877-9.
5. Джон Дэвид Джексон (1999). Классическая электродинамика. Wiley. С. 332–333. ISBN 0-471-43132-X.
6. Ху, Бен Ю-Куанг (1989-09-01). «Крамерс–Кронига в двух строках». American Journal of Physics . 57 (9): 821. Bibcode : 1989AmJPh..57..821H. doi : 10.1119/1.15901. ISSN  0002-9505.
7. Стивен Х. Холл; Говард Л. Хек. (2009). Расширенная целостность сигнала для высокоскоростных цифровых разработок. Хобокен, Нью-Джерси: Wiley. С. 331–336. ISBN 978-0-470-19235-1.
8. Колин Уорвик. «Понимание соотношения Крамерса–Кронига с использованием наглядного доказательства» (PDF) .
9. Джон Беххофер (2011). «Крамерс–Кронига, Боде и значение нуля». American Journal of Physics . 79 (10): 1053–1059. arXiv : 1107.0071 . Bibcode : 2011AmJPh..79.1053B. doi : 10.1119/1.3614039. S2CID  51819925.
10. Эрве Сизун (2006-03-30). Распространение радиоволн для телекоммуникационных приложений. Springer. Bibcode :2004rwpt.book.....S. ISBN 978-3-540-26668-6.
11. Мария М. Серон; Хулио Х. Браславский; Грэм К. Гудвин (1997). Фундаментальные ограничения фильтрации и контроля (PDF) . п. 21.
12. Фокс, Марк (2010). Оптические свойства твердых тел (2-е изд.). Oxford University Press . стр. 44-46. ISBN 978-0-19-957337-0.
13. Орфанидис, Софокл Дж. (2016). Электромагнитные волны и антенны. стр. 27-29.
14. "2.7: Отношения Крамерса-Крёнига". Engineering LibreTexts . 2021-04-06 . Получено 2024-07-09 .
15. "Оптические константы". JA Woollam . 2019-02-20 . Получено 2024-07-09 .
16. Чэнь Сан; Николай А. Синицын (2015). "Точные вероятности перехода для линейной развертки через резонанс Крамерса-Кронига". J. Phys. A: Math. Theor . 48 (50): 505202. arXiv : 1508.01213 . Bibcode : 2015JPhA...48X5202S. doi : 10.1088/1751-8113/48/50/505202. S2CID  118437244.
17. «Методы Крамерса-Кронига и эллипсометрии». Профессор Роберт Б. Лафлин, физический факультет Стэнфордского университета . 2007-03-20 . Получено 09.07.2024 .
18. RF Egerton (1996). Спектроскопия потери энергии электронов в электронном микроскопе (2-е изд.). Нью-Йорк: Plenum Press. ISBN 0-306-45223-5.
19. Андреа Дамаскелли (2003). «Исследования фотоэмиссии с угловым разрешением купратных сверхпроводников». Rev. Mod. Phys . 75 (2): 473–541. arXiv : cond-mat/0208504 . Bibcode :2003RvMP...75..473D. doi :10.1103/RevModPhys.75.473. S2CID  118433150.
20. MM Block; RN Cahn (1985). "Высокоэнергетическое упругое рассеяние pp̅ и pp вперед и полные сечения". Rev. Mod. Phys . 57 (2): 563–598. Bibcode : 1985RvMP...57..563B. doi : 10.1103/RevModPhys.57.563.
21. А. Деур, С. Дж. Бродский, Г. Ф. де Терамонд (2019) «Спиновая структура нуклона» Rept. Prog. Phys. 82 076201
22. Футтерман, Уолтер И. (1962). «Дисперсионные объемные волны». Журнал геофизических исследований . 67 (13): 5279–5291. Bibcode : 1962JGR....67.5279F. doi : 10.1029/JZ067i013p05279.
23. Уркиди-Макдональд, Мирна; Реал, Сильвия; Макдональд, Дигби Д. (1 октября 1990 г.). «Применение преобразований Крамерса—Кронига в анализе данных электрохимического импеданса — III. Устойчивость и линейность». Electrochimica Acta . 35 (10): 1559–1566. doi :10.1016/0013-4686(90)80010-L. ISSN  0013-4686 . Получено 2 августа 2023 г.

Источники

• Мансур Шейх-Бахае (2005). "Основы нелинейной оптики. Соотношения Крамерса–Кронига в нелинейной оптике". В Роберт Д. Гюнтер (ред.). Энциклопедия современной оптики . Амстердам: Academic Press. ISBN 0-12-227600-0.
• Валерио Лукарини; Яркко Дж. Сааринен; Кай-Эрик Пейпонен; Эрик М. Вартиайнен (2005). Соотношения Крамерса-Кронига в исследовании оптических материалов . Гейдельберг: Спрингер. Бибкод : 2005kkro.book.....L. ISBN 3-540-23673-2.
• Фредерик В. Кинг (2009). "19–22". Преобразования Гильберта . Том 2. Кембридж: Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-51720-1.
• JD Jackson (1975). "раздел 7.10". Классическая электродинамика (2-е изд.). Нью-Йорк: Wiley. ISBN 0-471-43132-X.