В математической логике теория (также называемая формальной теорией ) — это набор предложений на формальном языке . В большинстве сценариев дедуктивная система сначала понимается из контекста, после чего элемент дедуктивно замкнутой теории затем называется теоремой теории. Во многих дедуктивных системах обычно есть подмножество , которое называется «множеством аксиом » теории , и в этом случае дедуктивная система также называется « аксиоматической системой ». По определению, каждая аксиома автоматически является теоремой. Теория первого порядка — это набор предложений первого порядка (теорем), рекурсивно полученных с помощью правил вывода системы, примененных к набору аксиом.
При определении теорий для основополагающих целей необходимо проявлять особую осторожность, поскольку обычный теоретико-множественный язык может оказаться неподходящим.
Построение теории начинается с указания определенного непустого концептуального класса , элементы которого называются утверждениями . Эти начальные утверждения часто называют примитивными элементами или элементарными утверждениями теории — чтобы отличать их от других утверждений, которые могут быть выведены из них.
Теория — это концептуальный класс, состоящий из некоторых из этих элементарных утверждений. Элементарные утверждения, которые принадлежат, называются элементарными теоремами и считаются истинными . Таким образом, теорию можно рассматривать как способ обозначения подмножества , которое содержит только истинные утверждения.
Этот общий способ обозначения теории предусматривает, что истинность любого из ее элементарных утверждений неизвестна без ссылки на . Таким образом, одно и то же элементарное утверждение может быть истинным относительно одной теории, но ложным относительно другой. Это напоминает случай в обычном языке, где утверждения типа «Он честный человек» не могут быть оценены как истинные или ложные без интерпретации того, кто «он» такой, и, если на то пошло, что такое «честный человек» в этой теории. [1]
Теория является подтеорией теории, если является подмножеством . Если является подмножеством , то называется расширением или супертеорией
Говорят, что теория является дедуктивной теорией , если является индуктивным классом , то есть ее содержание основано на некоторой формальной дедуктивной системе и что некоторые из ее элементарных утверждений принимаются как аксиомы . В дедуктивной теории любое предложение, которое является логическим следствием одной или нескольких аксиом, также является предложением этой теории. [1] Более формально, если является отношением следования в стиле Тарского , то замкнуто относительно (и поэтому каждая из его теорем является логическим следствием его аксиом) тогда и только тогда, когда для всех предложений на языке теории , если , то ; или, что эквивалентно, если является конечным подмножеством (возможно, множеством аксиом в случае конечно аксиоматизируемых теорий) и , то , и, следовательно, .
Синтаксически непротиворечивая теория — это теория, из которой не каждое предложение в базовом языке может быть доказано (относительно некоторой дедуктивной системы , которая обычно ясна из контекста). В дедуктивной системе (такой как логика первого порядка), которая удовлетворяет принципу взрыва , это эквивалентно требованию, чтобы не было предложения φ такого, что и φ, и его отрицание могут быть доказаны из теории.
Выполнимая теория — это теория, которая имеет модель . Это означает, что существует структура M , которая удовлетворяет каждому предложению в теории. Любая выполнимая теория синтаксически непротиворечива, поскольку структура, удовлетворяющая теории, будет удовлетворять ровно одному из φ и отрицанию φ для каждого предложения φ.
Последовательная теория иногда определяется как синтаксически последовательная теория, а иногда как выполнимая теория. Для логики первого порядка , самого важного случая, из теоремы о полноте следует , что два значения совпадают. [2] В других логиках, таких как логика второго порядка , существуют синтаксически последовательные теории, которые не являются выполнимыми, такие как ω-непоследовательные теории .
Полная непротиворечивая теория (или просто полная теория ) — это непротиворечивая теория , такая, что для каждого предложения φ в ее языке либо φ доказуемо из , либо {φ} непротиворечиво. Для теорий, замкнутых относительно логического следования, это означает, что для каждого предложения φ либо φ, либо его отрицание содержится в теории. [3] Неполная теория — это непротиворечивая теория, которая не является полной.
(см. также ω-согласованную теорию для более сильного понятия согласованности.)
Интерпретация теории — это отношение между теорией и некоторым предметом, когда существует соответствие «многие к одному» между определенными элементарными утверждениями теории и определенными утверждениями, связанными с предметом. Если каждое элементарное утверждение в теории имеет корреспондента, это называется полной интерпретацией , в противном случае это называется частичной интерпретацией . [4]
Каждая структура имеет несколько связанных теорий. Полная теория структуры A — это множество всех предложений первого порядка над сигнатурой A , которые удовлетворяются A . Она обозначается как Th( A ). В более общем смысле, теория K , класс σ - структур, — это множество всех σ-предложений первого порядка, которые удовлетворяются всеми структурами в K , и обозначается как Th( K ). Очевидно, Th( A ) = Th({ A } ). Эти понятия также могут быть определены относительно других логик.
Для каждой σ-структуры A существует несколько связанных теорий в большей сигнатуре σ', которая расширяет σ путем добавления одного нового константного символа для каждого элемента домена A. (Если новые константные символы отождествляются с элементами A , которые они представляют, σ' можно принять за σ A.) Таким образом , мощность σ' больше мощности σ и мощности A. [ необходимо дополнительное объяснение ]
Диаграмма A состоит из всех атомарных или отрицательных атомарных σ'-предложений, которые удовлетворяются A , и обозначается diag A . Положительная диаграмма A — это множество всех атомарных σ'-предложений, которым удовлетворяет A. Она обозначается diag + A . Элементарная диаграмма A — это множество eldiag A всех первопорядковых σ'-предложений, которые удовлетворяются A , или , что эквивалентно, полная (первопорядковая) теория естественного расширения A до сигнатуры σ'.
Теория первого порядка — это набор предложений на формальном языке первого порядка .
Существует множество систем формального вывода («доказательства») для логики первого порядка. К ним относятся дедуктивные системы в стиле Гильберта , естественная дедукция , секвенциальное исчисление , метод таблиц и резолюция .
Формула A является синтаксическим следствием теории первого порядка , если существует вывод A с использованием только формул в в качестве нелогических аксиом. Такая формула A также называется теоремой . Обозначение " " указывает, что A является теоремой .
Интерпретация теории первого порядка обеспечивает семантику формул теории. Говорят, что интерпретация удовлетворяет формуле, если формула истинна согласно интерпретации. Модель теории первого порядка — это интерпретация, в которой каждая формула удовлетворяется .
Теория первого порядка является теорией первого порядка с тождеством, если она включает символ отношения тождества «=» и схемы аксиом рефлексивности и подстановки для этого символа.
Один из способов задания теории — определить набор аксиом на определенном языке. Теория может быть взята так, чтобы включать только эти аксиомы или их логические или доказуемые следствия, по желанию. Теории, полученные таким образом, включают ZFC и арифметику Пеано .
Второй способ определения теории — начать со структуры , и пусть теория будет множеством предложений, которые удовлетворяются структурой. Это метод создания полных теорий через семантический маршрут, с примерами, включающими множество истинных предложений под структурой ( N , +, ×, 0, 1, =), где N — множество натуральных чисел, и множество истинных предложений под структурой ( R , +, ×, 0, 1, =), где R — множество действительных чисел. Первая из них, называемая теорией истинной арифметики , не может быть записана как множество логических следствий любого перечислимого множества аксиом. Тарский показал, что теория ( R , +, ×, 0, 1, =) разрешима ; это теория действительных замкнутых полей (см. Разрешимость теорий первого порядка действительных чисел для получения дополнительной информации).
