Доходность, взвешенная по времени

Метод расчета инвестиционного дохода

Взвешенный по времени возврат (TWR) ^{[1] [2]} — это метод расчета инвестиционного возврата , где возвраты за подпериоды складываются вместе , причем каждый подпериод взвешивается в соответствии с его продолжительностью. Взвешенный по времени метод отличается от других методов расчета инвестиционного возврата тем, что он компенсирует внешние потоки.

Внешние потоки

Взвешенная по времени доходность является мерой исторической эффективности инвестиционного портфеля, которая компенсирует внешние потоки . Внешние потоки относятся к чистым движениям стоимости в портфель или из него, вытекающим из переводов денежных средств, ценных бумаг или других финансовых инструментов. Эти потоки характеризуются отсутствием параллельных, равных и противоположных по стоимости транзакций, в отличие от того, что происходит при покупках или продажах. Кроме того, они не возникают из дохода, полученного от инвестиций портфеля, такого как проценты, купоны или дивиденды.

Для компенсации внешних потоков общий анализируемый временной интервал делится на смежные подпериоды в каждой точке времени в пределах общего временного периода, когда есть внешний поток. В общем случае эти подпериоды будут иметь неравную длину. Доходы за подпериоды между внешними потоками связаны геометрически (компаундируются) вместе, т. е. путем умножения факторов роста во всех подпериодах. Фактор роста в каждом подпериоде равен 1 плюс доход за подпериод.

Проблема внешних потоков

Чтобы проиллюстрировать проблему внешних потоков, рассмотрим следующий пример.

Пример 1

Предположим, что инвестор переводит $500 в портфель в начале года 1 и еще $1000 в начале года 2, и портфель имеет общую стоимость $1500 в конце года 2. Чистая прибыль за двухлетний период равна нулю, поэтому интуитивно мы могли бы ожидать, что доходность за весь двухлетний период составит 0% (что, кстати, является результатом применения одного из методов взвешивания по деньгам). Если денежный поток в размере $1000 в начале года 2 игнорируется, то простой метод расчета доходности без компенсации потока составит 200% ($1000 делятся на $500). Интуитивно 200% неверно.

Однако если мы добавим дополнительную информацию, то вырисовывается иная картина. Если первоначальные инвестиции выросли на 100% в стоимости за первый год, но затем портфель снизился на 25% в течение второго года, мы могли бы ожидать, что общая доходность за двухлетний период будет результатом сложения 100%-ного дохода ($500) с 25%-ным убытком ($500). Взвешенная по времени доходность находится путем умножения факторов роста для каждого года, т. е. факторов роста до и после второго перевода в портфель, затем вычитания единицы и выражения результата в процентах:

${\displaystyle (1+1.0)(1-0.25)-1=2.0\times 0.75-1=1.5-1=0.5=50\%}$.

Из взвешенной по времени доходности видно, что отсутствие чистой прибыли за двухлетний период было обусловлено неудачным выбором времени поступления денежных средств в начале второго года.

В этом примере взвешенная по времени доходность, по-видимому, завышает доходность для инвестора, поскольку он не видит чистого прироста. Однако, отражая производительность каждого года, объединенную на уравненной основе, взвешенная по времени доходность признает эффективность инвестиционной деятельности независимо от неудачного времени денежного потока в начале 2-го года. Если бы все деньги были инвестированы в начале 1-го года, доходность по любым меркам, скорее всего, составила бы 50%. 1500 долларов выросли бы на 100% до 3000 долларов в конце 1-го года, а затем снизились бы на 25% до 2250 долларов в конце 2-го года, что привело бы к общему приросту в 750 долларов, т. е. 50% от 1500 долларов. Разница — вопрос перспективы.

Корректировка потоков

Доходность портфеля при отсутствии потоков составляет:

${\displaystyle R={\frac {M_{2}-M_{1}}{M_{1}}}}$

где — конечная стоимость портфеля, — начальная стоимость портфеля, — доходность портфеля за период. ${\displaystyle M_{2}}$ ${\displaystyle M_{1}}$ ${\displaystyle R}$

Фактор роста:

${\displaystyle 1+R={\frac {M_{2}}{M_{1}}}}$

Внешние потоки в течение анализируемого периода усложняют расчет производительности. Если внешние потоки не учитываются, измерение производительности искажается: поток в портфель приведет к тому, что этот метод завысит истинную производительность, тогда как потоки из портфеля приведут к тому, что он занизит истинную производительность.

Чтобы компенсировать внешний поток в портфель в начале периода, скорректируйте начальную стоимость портфеля, добавив . Доходность составляет: ${\displaystyle C_{1}}$ ${\displaystyle M_{1}}$ ${\displaystyle C_{1}}$

${\displaystyle R={\frac {M_{2}-(M_{1}+C_{1})}{M_{1}+C_{1}}}}$

и соответствующий фактор роста:

${\displaystyle 1+R={\frac {M_{2}}{M_{1}+C_{1}}}}$

Чтобы компенсировать внешний поток в портфель непосредственно перед оценкой в ​​конце периода, скорректируйте окончательную стоимость портфеля , вычитая . Доходность составляет: ${\displaystyle C_{2}}$ ${\displaystyle M_{2}}$ ${\displaystyle M_{2}}$ ${\displaystyle C_{2}}$

${\displaystyle R={\frac {(M_{2}-C_{2})-M_{1}}{M_{1}}}}$

и соответствующий фактор роста:

${\displaystyle 1+R={\frac {M_{2}-C_{2}}{M_{1}}}}$

Взвешенная по времени доходность, компенсирующая внешние потоки

Предположим, что портфель оценивается сразу после каждого внешнего потока. Стоимость портфеля в конце каждого подпериода корректируется с учетом внешнего потока, который происходит непосредственно перед этим. Внешние потоки в портфель считаются положительными, а потоки из портфеля — отрицательными.

${\displaystyle 1+R={\frac {M_{1}-C_{1}}{M_{0}}}\times {\frac {M_{2}-C_{2}}{M_{1}}}\times {\frac {M_{3}-C_{3}}{M_{2}}}\times \cdots \times {\frac {M_{n-1}-C_{n-1}}{M_{n-2}}}\times {\frac {M_{n}-C_{n}}{M_{n-1}}}}$

где

${\displaystyle R}$это взвешенная по времени доходность портфеля,

${\displaystyle M_{0}}$это первоначальная стоимость портфеля,

${\displaystyle M_{t}}$это стоимость портфеля в конце подпериода , сразу после внешнего потока , ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle C_{t}}$

${\displaystyle M_{n}}$это окончательная стоимость портфеля,

${\displaystyle C_{t}}$это чистый внешний поток в портфель, который происходит непосредственно перед окончанием подпериода , ${\displaystyle t}$

и

${\displaystyle n}$— количество подпериодов.

Если в конце общего периода есть внешний поток, то количество подпериодов совпадает с количеством потоков. Однако, если в конце общего периода нет потока, то равно нулю, а количество подпериодов на единицу больше количества потоков. ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle C_{n}}$ ${\displaystyle n}$

Если портфель оценивается непосредственно перед каждым потоком, а не сразу после него, то каждый поток следует использовать для корректировки начального значения в каждом подпериоде, а не конечного значения, что приведет к другой формуле:

${\displaystyle 1+R={\frac {M_{1}}{M_{0}+C_{0}}}\times {\frac {M_{2}}{M_{1}+C_{1}}}\times {\frac {M_{3}}{M_{2}+C_{2}}}\times ...\times {\frac {M_{n-1}}{M_{n-2}+C_{n-2}}}\times {\frac {M_{n}}{M_{n-1}+C_{n-1}}}}$

где

${\displaystyle R}$это взвешенная по времени доходность портфеля,

${\displaystyle M_{0}}$это первоначальная стоимость портфеля,

${\displaystyle M_{t}}$это стоимость портфеля в конце подпериода , непосредственно перед внешним потоком , ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle C_{t}}$

${\displaystyle M_{n}}$это окончательная стоимость портфеля,

${\displaystyle C_{t}}$это чистый внешний поток в портфель, который происходит в начале подпериода , ${\displaystyle {t+1}}$

и

${\displaystyle n}$— количество подпериодов.

Объяснение

Почему это называется «взвешенным по времени»

Термин «взвешенный по времени» лучше всего иллюстрируется непрерывными (логарифмическими) ставками доходности . Общая ставка доходности — это средневзвешенное по времени значение непрерывной ставки доходности в каждом подпериоде.

При отсутствии потоков,

${\displaystyle {\text{End value}}={\text{start value}}\times e^{r_{\mathrm {log} }t}}$

где — непрерывная норма прибыли , — продолжительность времени. ${\displaystyle r_{\mathrm {log} }}$ ${\displaystyle t}$

Пример 2

В течение десятилетия портфель растет с постоянной нормой доходности 5% годовых (в год) в течение трех из этих лет и 10% годовых в течение остальных семи лет.

${\displaystyle {\text{End value}}={\text{start value}}\times e^{0.05\times 3}\times e^{0.10\times 7}}$

${\displaystyle ={\text{start value}}\times e^{\left(0.05\times {\frac {3}{10}}+0.10\times {\frac {7}{10}}\right)\times 10}}$

Непрерывная средневзвешенная по времени норма доходности за десятилетний период представляет собой средневзвешенное по времени значение:

${\displaystyle 5\%\times {\frac {3}{10}}+10\%\times {\frac {7}{10}}={\frac {5\%\times 3+10\%\times 7}{10}}=8.5\%}$

Обычная норма прибыли, взвешенная по времени

Пример 3

Рассмотрим еще один пример расчета годовой обычной нормы прибыли за пятилетний период инвестиций, которые приносят 10% годовых в течение двух из пяти лет и -3% годовых в течение остальных трех лет. Обычная взвешенная по времени доходность за пятилетний период составляет:

${\displaystyle (1+0.10)(1+0.10)(1-0.03)(1-0.03)(1-0.03)-1}$

${\displaystyle =1.1^{2}\times 0.97^{3}-1}$

${\displaystyle =0.104334\ldots }$

${\displaystyle =10.4334\ldots \%}$

и после годового расчета норма прибыли составляет:

${\displaystyle (1.1^{2}\times 0.97^{3})^{1/(2+3)}-1}$

${\displaystyle =1.0200\ldots -1}$

${\displaystyle =2.00\ldots \%{\text{ p.a.}}}$

Период времени, в течение которого норма прибыли составляла 10%, составил два года, что отображается в степени двойки по коэффициенту 1,1:

${\displaystyle 1.1^{2}}$

Аналогично, норма прибыли составила -3% за три года, что появляется в степени трех на факторе 0,97. Затем результат переводится в годовой исчислении за весь пятилетний период.

Измерение эффективности портфеля

Инвестиционные менеджеры оцениваются по инвестиционной активности, которая находится под их контролем. Если они не контролируют сроки потоков, то компенсация сроков потоков, применение метода истинной взвешенной по времени доходности к портфелю, является превосходным показателем эффективности инвестиционного менеджера на уровне всего портфеля.

Внутренние потоки и эффективность элементов портфеля

Внутренние потоки — это транзакции, такие как покупки и продажи активов в портфеле, в которых наличные, используемые для покупок, и наличные доходы от продаж также содержатся в том же портфеле, поэтому внешнего потока нет. Денежный дивиденд по акции в портфеле, который сохраняется в том же портфеле, что и акция, — это поток от акции к денежному счету в портфеле. Он является внутренним по отношению к портфелю, но внешним как по отношению к акции, так и к денежному счету, когда они рассматриваются по отдельности, изолированно друг от друга.

Метод взвешивания по времени фиксирует только эффект, приписываемый размеру и времени внутренних потоков в совокупности (т. е. в той мере, в которой они приводят к общей эффективности портфеля). Это происходит по той же причине, по которой метод взвешивания по времени нейтрализует эффект потоков. Поэтому он не фиксирует эффективность частей портфеля, например, эффективность, обусловленную решениями на уровне отдельных ценных бумаг, так эффективно, как он фиксирует общую эффективность портфеля.

Взвешенная по времени доходность конкретной ценной бумаги от первоначальной покупки до окончательной продажи одинакова, независимо от наличия или отсутствия промежуточных покупок и продаж, их сроков, размера и преобладающих рыночных условий. Она всегда соответствует динамике цены акции (включая дивиденды и т. д.). Если только эта особенность взвешенной по времени доходности не является желаемой целью, она, возможно, делает метод взвешенной по времени менее информативным, чем альтернативные методологии атрибуции эффективности инвестиций на уровне отдельных инструментов. Для того чтобы атрибуция эффективности на уровне отдельной ценной бумаги была осмысленной, во многих случаях требуется, чтобы доходность отличалась от доходности цены акции. Если доходность отдельной ценной бумаги соответствует доходности цены акции, эффект времени транзакции равен нулю.

См. пример 4 ниже, который иллюстрирует эту особенность метода взвешивания по времени.

Пример 4

Давайте представим, что инвестор покупает 10 акций по 10 долларов за акцию. Затем инвестор добавляет еще 5 акций той же компании, купленных по рыночной цене 12 долларов за акцию (без учета транзакционных издержек). Весь пакет из 15 акций затем продается по 11 долларов за акцию.

Вторая покупка, по-видимому, неудачно рассчитана по сравнению с первой. Является ли эта неудачная покупка очевидной из взвешенной по времени (период удержания) доходности акций в отрыве от наличности в портфеле?

Чтобы рассчитать взвешенную по времени доходность этих конкретных пакетов акций, в отрыве от денежных средств, использованных для покупки акций, рассматривайте покупку акций как внешний приток. Тогда первый фактор роста подпериода, предшествующий второй покупке, когда есть только первые 10 акций, равен:

${\displaystyle {\frac {\text{End value}}{\text{start value}}}={\frac {10\times 12}{10\times 10}}={\frac {120}{100}}=1.2}$

а фактор роста за второй подпериод, после второй покупки, когда всего имеется 15 акций, составляет:

${\displaystyle {\frac {\text{End value}}{\text{start value}}}={\frac {15\times 11}{15\times 12}}={\frac {165}{180}}=0.91666\ldots }$

таким образом, общий коэффициент роста за период равен:

${\displaystyle {\text{Product of sub-period growth factors}}={\text{first sub-period growth factor}}\times {\text{second sub-period growth factor}}}$

${\displaystyle ={\frac {120}{100}}\times {\frac {165}{180}}}$

${\displaystyle ={\frac {120\times 165}{100\times 180}}}$

${\displaystyle ={\frac {19,800}{18,000}}}$

${\displaystyle =1.1}$

а доходность за период владения, взвешенная по времени, составляет:

${\displaystyle {\text{Growth factor}}-1=0.1=10\%}$

что равно простой доходности, рассчитанной с использованием изменения цены акций:

${\displaystyle ={\frac {{\text{End value}}-{\text{start value}}}{\text{start value}}}={\frac {11-10}{10}}}$

Неудачный выбор времени для второй покупки не оказал никакого влияния на эффективность инвестиций в акции, рассчитанную с использованием метода взвешивания по времени, по сравнению, например, с чистой стратегией «купи и держи» (т. е. покупка всех акций в начале и удержание их до конца периода).

Сравнение с другими методами возврата

Существуют и другие методы компенсации внешних потоков при расчете доходности инвестиций. Такие методы известны как методы «взвешенные по деньгам» или «взвешенные по доллару». Взвешенная по времени доходность выше, чем результат других методов расчета доходности инвестиций, когда внешние потоки плохо рассчитаны по времени — см. Пример 4 выше.

Внутренняя норма прибыли

Одним из таких методов является метод внутренней нормы доходности . Как и метод истинной взвешенной по времени доходности, метод внутренней нормы доходности также основан на принципе сложного процента. Именно ставка дисконтирования установит чистую приведенную стоимость всех внешних потоков и конечную стоимость, равную стоимости первоначальных инвестиций. Однако решение уравнения для нахождения оценки внутренней нормы доходности обычно требует итерационного численного метода и иногда возвращает несколько результатов.

Внутренняя норма доходности обычно используется для измерения эффективности инвестиций в частный капитал , поскольку основной партнер (управляющий инвестициями) имеет больший контроль над сроками денежных потоков, чем партнер с ограниченной ответственностью (конечный инвестор).

Простой метод Дитца

Метод Simple Dietz ^[3] применяет простой принцип процентной ставки, в отличие от принципа сложного процента, лежащего в основе метода внутренней нормы доходности, и далее предполагает, что потоки происходят в средней точке в течение временного интервала (или, что эквивалентно, что они равномерно распределены по всему временному интервалу). Однако метод Simple Dietz непригоден, когда такие предположения недействительны, и в таком случае даст результаты, отличные от результатов других методов.

Простые доходности Дитца двух или более различных активов-компонентов в портфеле за тот же период можно объединить, чтобы получить простую доходность портфеля Дитца, взяв средневзвешенное значение. Веса представляют собой начальное значение плюс половина чистого притока.

Пример 5

Применяем простой метод Дитца к акциям, купленным в примере 4 (выше):

${\displaystyle {\text{Simple Dietz return}}={\frac {\text{gain or loss}}{{\text{start value}}+{\frac {1}{2}}\times {\text{net inflow}}}}}$

${\displaystyle {\text{Gain or loss}}={\text{end value}}-{\text{start value}}-{\text{net inflow}}}$

${\displaystyle =165-100-60}$

${\displaystyle =5}$

так

${\displaystyle {\text{Simple Dietz return}}={\frac {5}{100+{\frac {1}{2}}\times 60}}}$

${\displaystyle ={\frac {5}{130}}}$

${\displaystyle =3.86\%{\text{ (2 d. p.)}}}$

что заметно ниже 10%-ной доходности, взвешенной по времени.

Модифицированный метод Дитца

Модифицированный метод Дитца — это еще один метод, который, как и простой метод Дитца, применяет простой принцип процентной ставки. Вместо того чтобы сравнивать прирост стоимости (за вычетом потоков) с первоначальной стоимостью портфеля, он сравнивает чистый прирост стоимости со средним капиталом за временной интервал. Средний капитал учитывает время каждого внешнего потока. Поскольку разница между модифицированным методом Дитца и методом внутренней нормы доходности заключается в том, что модифицированный метод Дитца основан на простом принципе процентной ставки, тогда как метод внутренней нормы доходности применяет принцип начисления процентов, два метода дают схожие результаты за короткие промежутки времени, если нормы доходности низкие. За более длительные периоды времени, со значительными потоками относительно размера портфеля и там, где доходность не низкая, различия более существенны.

Как и в случае простого метода Дитца, модифицированные доходности Дитца двух или более различных активов-компонентов в портфеле за тот же период можно объединить для получения модифицированной доходности портфеля Дитца, взяв средневзвешенное значение. Вес, который следует применять к доходности каждого актива в этом случае, — это средний капитал актива.

Пример 6

Возвращаясь к сценарию, описанному в примерах 4 и 5, если вторая покупка происходит точно в середине общего периода, модифицированный метод Дитца дает тот же результат, что и простой метод Дитца.

Если вторая покупка происходит раньше, чем в середине общего периода, то прибыль, которая составляет 5 долларов, остается прежней, но средний капитал больше, чем начальное значение плюс половина чистого притока, что делает знаменатель модифицированного возврата Дитца больше, чем в простом методе Дитца. В этом случае модифицированный возврат Дитца меньше простого возврата Дитца.

Если вторая покупка происходит позже, чем в середине общего периода, то прибыль, которая составляет 5 долларов, остается прежней, но средний капитал меньше стартового значения плюс половина чистого притока, что делает знаменатель модифицированного возврата Дитца меньше, чем в простом методе Дитца. В этом случае модифицированный возврат Дитца больше простого возврата Дитца.

Независимо от того, насколько поздно в течение периода происходит вторая покупка акций, средний капитал больше 100, и поэтому модифицированная доходность Дитца составляет менее 5 процентов. Это все еще заметно меньше, чем 10 процентов взвешенной по времени доходности.

Связанные методы возврата

Расчет «истинной доходности, взвешенной по времени» зависит от доступности оценок портфеля в течение инвестиционного периода. Если оценки недоступны, когда происходит каждый поток, доходность, взвешенную по времени, можно оценить только путем геометрического связывания доходностей для смежных подпериодов, используя подпериоды, в конце которых доступны оценки. Такой приблизительный метод доходности, взвешенной по времени, склонен завышать или занижать истинную доходность, взвешенную по времени.

Связанная внутренняя норма доходности (LIROR) — еще один такой метод, который иногда используется для аппроксимации истинной взвешенной по времени доходности. Он объединяет метод истинной взвешенной по времени нормы доходности с методом внутренней нормы доходности (IRR). Внутренняя норма доходности оценивается по регулярным временным интервалам, а затем результаты связываются геометрически. Например, если внутренняя норма доходности за последовательные годы составляет 4%, 9%, 5% и 11%, то LIROR равен 1,04 x 1,09 x 1,05 x 1,11 – 1 = 32,12%. Если регулярные временные периоды не являются годами, то сначала рассчитайте либо версию IRR без годового периода удержания для каждого временного интервала, либо IRR для каждого временного интервала, затем преобразуйте каждую из них в доходность периода удержания за временной интервал, а затем свяжите эти доходности периода удержания, чтобы получить LIROR.

Возвращает методы при отсутствии потоков

Если внешних потоков нет, то все эти методы (доходность, взвешенная по времени, внутренняя норма доходности , модифицированный метод Дитца и т. д.) дают идентичные результаты — их отличают друг от друга только различные способы обработки потоков.

Логарифмическая доходность

Непрерывный или логарифмический метод возврата не является конкурирующим методом компенсации потоков. Это просто натуральный логарифм фактора роста . ${\displaystyle ln\left({\frac {M_{2}}{M_{1}}}\right)}$

Сборы

Чтобы измерить доходность за вычетом комиссий, уменьшите стоимость портфеля на сумму комиссий. Чтобы рассчитать доходность с учетом комиссий, компенсируйте их, рассматривая как внешний поток, и исключите из оценок отрицательное влияние накопленных комиссий.

Годовая норма прибыли

Доходность и норма доходности иногда рассматриваются как взаимозаменяемые термины, но доходность, рассчитанная таким методом, как метод взвешенного по времени, представляет собой доходность периода удержания на доллар (или на какую-либо другую единицу валюты), а не за год (или другую единицу времени), если только период удержания не составляет один год. Годовая пересчет, то есть преобразование в годовую норму доходности, является отдельным процессом. См. статью норма доходности .

Смотрите также

• Внутренняя норма прибыли
• Модифицированный метод Дитца
• Норма прибыли
• Норма доходности портфеля
• Простой метод Дитца

Ссылки

1. Измерение эффективности инвестиций пенсионных фондов , Институт банковского администрирования, декабрь 1968 г.
2. Оценка эффективности инвестиций , Уильям Г. Бейн, Woodhead Publishing; 1-е издание (13 марта 1996 г.) ISBN  978-1855731950
3. Диц, Питер О. Пенсионные фонды: измерение эффективности инвестиций . Free Press, 1966.

Дальнейшее чтение

• Карл Бэкон. Практическое измерение эффективности портфеля и атрибуция. Западный Сассекс: Wiley, 2003. ISBN 0-470-85679-3 
• Брюс Дж. Фейбел. Измерение эффективности инвестиций. Нью-Йорк: Wiley, 2003. ISBN 0-471-26849-6