Поверхность рода g

Гладкая закрытая поверхность с отверстиями

В математике поверхность рода g (также известная как g -тор или g -дырчатый тор ) — это поверхность, образованная связной суммой g различных торов : внутренняя часть диска удаляется из каждого из g различных торов, а границы g множества дисков отождествляются (склеиваются), образуя g -тор. Род такой поверхности — g .

Поверхность рода g — это двумерное многообразие . Теорема классификации поверхностей утверждает, что каждое компактное связное двумерное многообразие гомеоморфно либо сфере, либо связной сумме торов, либо связной сумме вещественных проективных плоскостей .

Определение рода

Род связной ориентируемой поверхности — это целое число, представляющее максимальное количество разрезов вдоль непересекающихся замкнутых простых кривых, не делая полученное многообразие несвязным. ^[1] Он равен количеству ручек на нем. Альтернативно, его можно определить в терминах эйлеровой характеристики χ , через соотношение χ  = 2 − 2 g для замкнутых поверхностей , где g — род.

Род (иногда называемый полуродом или родом Эйлера) связной неориентируемой замкнутой поверхности — это положительное целое число, представляющее количество поперечных колпачков, прикрепленных к сфере. Альтернативно, его можно определить для замкнутой поверхности в терминах эйлеровой характеристики χ , через соотношение χ = 2 − g , где g — неориентируемый род.

Род 0

Ориентируемой поверхностью рода ноль является сфера S 2. ^Другой поверхностью рода ноль является диск .

• Представления поверхностей рода 0
• 
  Сфера ${\displaystyle S^{2}}$
• 
  Замкнутый диск (с границей)
• 
  По гипотезе Хивуда , его можно раскрасить максимум четырьмя смежными областями.

Род 1

Ориентируемая поверхность рода один — это обычный тор. Неориентируемая поверхность рода один — это проективная плоскость . ^[2]

Эллиптические кривые над комплексными числами можно отождествить с поверхностями рода 1. Формулировка эллиптических кривых как вложения тора в комплексную проективную плоскость естественным образом следует из свойства эллиптических функций Вейерштрасса , которое позволяет получать эллиптические кривые из фактора комплексной плоскости по решетке . ^[3]

• Представления поверхностей рода 1
• 
  Тор рода 1
• 
  Может быть окрашен с использованием до 7 смежных областей.
• 
  Эллиптическая кривая

Род 2

Термин двойной тор иногда используется для обозначения поверхности рода 2. ^{[4] [5]} Неориентируемая поверхность рода 2 — это бутылка Клейна .

Поверхность Больца является наиболее симметричной римановой поверхностью рода 2  в том смысле, что она имеет наибольшую возможную группу конформных автоморфизмов . ^[6]

• Представления поверхностей рода 2
• 
  Тор рода 2
• 
  Может быть окрашен с использованием до 8 смежных областей.

Род 3

Термин тройной тор также иногда используется для обозначения поверхности рода 3. ^{[7] [5]}

Квартика Клейна — компактная риманова поверхность рода 3 с группой автоморфизмов максимально возможного порядка для компактных римановых поверхностей рода 3. Она имеет 168 сохраняющих ориентацию автоморфизмов и всего 336 автоморфизмов.

• Несколько поверхностей рода 3
• 
  Шар с тремя ручками
• 
  Связная сумма трех торов
• 
  Тройной тор
• 
  Может быть окрашен с использованием до 9 смежных областей.
• 
  Двенадцатиугольник с противоположными сторонами, обозначенными ^[8]
• 
  Тетрадекагон с противоположными сторонами, обозначенными ^[8]

Смотрите также

• Три-тор
• узел g-тора

Ссылки

1. Манкрес, Джеймс Р. Топология. Том 2. Верхняя Сэддл-Ривер: Prentice Hall, 2000.
2. Бредон, Глен Э. (1993). Топология и геометрия . Springer-Verlag. ISBN 0-387-97926-3.
3. Сильверман, Джозеф Х. (1986). Арифметика эллиптических кривых . Graduate Texts in Mathematics. Том 106. Springer-Verlag. ISBN 0-387-96203-4.
4. Вайсштейн, Эрик В. «Двойной тор». MathWorld .
5. Mayorga, Luis S.; Masone, Diego (2024). «Тайный балет внутри многопузырьковых тел». ACS Nano . 18 (24): 15651. doi :10.1021/acsnano.4c01590.
6. Больца, Оскар (1887), «О бинарных секстиках с линейными преобразованиями в самих себя», Американский журнал математики , 10 (1): 47–70, doi :10.2307/2369402, JSTOR  2369402
7. Вайсштейн, Эрик В. «Тройной тор». MathWorld .
8. Юрген Йост, (1997) «Компактные римановы поверхности: введение в современную математику», Springer

Источники

• Джеймс Р. Манкрес, Топология, второе издание , Prentice-Hall, 2000, ISBN 0-13-181629-2 . 
• Уильям С. Мэсси, Алгебраическая топология: Введение , Харбрейс, 1967.