Парадокс близнецов

Мысленный эксперимент в специальной теории относительности

В физике парадокс близнецов — это мысленный эксперимент в специальной теории относительности с участием однояйцевых близнецов, один из которых совершает путешествие в космос на высокоскоростной ракете и возвращается домой и обнаруживает, что оставшийся на Земле близнец постарел еще больше. Этот результат кажется загадочным, потому что каждый близнец видит другого близнеца движущимся, и поэтому, как следствие неправильного ^{[1] [2]} и наивного ^{[3] [4]} применения замедления времени и принципа относительности , каждый должен парадоксальным образом найти другого, который постарел меньше. Однако этот сценарий можно разрешить в рамках стандартной теории относительности: траектория путешествующего близнеца включает в себя две разные инерциальные системы отсчета : одну для исходящего путешествия, а другую для обратного. ^[5] Другой способ взглянуть на это — осознать, что путешествующий близнец испытывает ускорение , что делает его неинерциальным наблюдателем. В обеих точках зрения нет симметрии между пространственно-временными путями близнецов. Следовательно, парадокс близнецов на самом деле не является парадоксом в смысле логического противоречия. До сих пор ведутся споры о разрешении парадокса близнецов. ^[6]

Начиная с Поля Ланжевена в 1911 году, существовали различные объяснения этого парадокса. Эти объяснения «можно сгруппировать в те, которые фокусируются на влиянии разных стандартов одновременности в разных системах отсчета, и на те, которые называют ускорение [испытываемое путешествующим близнецом] основной причиной». ^[7] Макс фон Лауэ в 1913 году утверждал, что, поскольку путешествующий близнец должен находиться в двух отдельных инерциальных системах отсчета, одна на выходе, а другая на обратном пути, это переключение систем является причиной разницы в старении. ^[8] Объяснения, выдвинутые Альбертом Эйнштейном и Максом Борном, использовали гравитационное замедление времени, чтобы объяснить старение как прямой эффект ускорения. ^[9] Однако было доказано, что ни общая теория относительности, ^{[10] [11] [12] [13] [14]} ни даже ускорение не являются необходимыми для объяснения эффекта, поскольку эффект все еще применяется, если два астронавта проходят каждый другие в точке поворота и синхронизируют свои часы в этой точке. Ситуацию в точке поворота можно представить себе так, когда пара наблюдателей , один удаляется от начальной точки, а другой движется к ней, проходят мимо друг друга, и где показания часов первого наблюдателя передаются показаниям часов первого наблюдателя. второй, оба поддерживают постоянную скорость, причем время в пути для обоих суммируется в конце пути. ^[15]

История

В своей знаменитой статье по специальной теории относительности в 1905 году Альберт Эйнштейн пришел к выводу, что для двух стационарных и синхронных часов , расположенных в точках А и В, если часы в точке А перемещаются вдоль линии АВ и останавливаются в точке В, то часы, которые двигались из точки А, остановятся в точке В. A будет отставать от часов в B. Он заявил, что этот результат также применим, если путь от A до B был многоугольным или круговым. ^{[A 1]} Эйнштейн считал это естественным следствием специальной теории относительности, а не парадоксом , как предполагали некоторые, и в 1911 году он еще раз сформулировал и развил этот результат следующим образом (с комментариями физика Роберта Резника , последовавшими за комментариями Эйнштейна): ^{[A 1] 2] [16]}

Эйнштейн: Если бы мы поместили живой организм в ящик... можно было бы сделать так, чтобы этот организм после любого произвольно длительного полета мог быть возвращен в исходное место в почти не измененном состоянии, в то время как соответствующие организмы, оставшиеся в исходном положении уже давно уступили место новым поколениям. Для движущегося организма длительное время путешествия было всего лишь мгновением, если движение происходило примерно со скоростью света.
Резник: Если неподвижный организм — человек, а путешествующий — его близнец, то путешественник, вернувшись домой, обнаружит своего брата-близнеца, намного постаревшего по сравнению с ним самим. Парадокс основан на утверждении, что в теории относительности любой из близнецов может рассматривать другого как путешественника, и в этом случае каждый должен найти другого моложе — логическое противоречие. Это утверждение предполагает, что ситуации близнецов симметричны и взаимозаменяемы, но это предположение неверно. Более того, доступные эксперименты были проведены и подтвердили предсказание Эйнштейна.

В 1911 году Поль Ланжевен привел «яркий пример», описав историю путешественника, совершившего путешествие с коэффициентом Лоренца γ = 100 (99,995% скорости света). Путешественник остается в снаряде в течение одного года своего времени, а затем меняет направление. По возвращении путешественник обнаружит, что постарел на два года, тогда как на Земле прошло 200 лет. Во время путешествия и путешественник, и Земля продолжают посылать друг другу сигналы с постоянной скоростью, что ставит историю Ланжевена среди версий парадокса близнецов с доплеровским сдвигом. Релятивистские эффекты на скорости сигнала используются для объяснения различных скоростей старения. Асимметрия, возникшая из-за того, что ускорению подвергся только путешественник, используется для объяснения, почему вообще существует какая-либо разница, ^{[17] [18],} потому что «любое изменение скорости или любое ускорение имеет абсолютное значение». ^{[А 3]}

Макс фон Лауэ (1911, 1913) развил объяснение Ланжевена. Используя формализм пространства-времени Германа Минковского , Лауэ продемонстрировал, что мировые линии движущихся по инерции тел максимизируют собственное время, прошедшее между двумя событиями. Он также писал, что асимметричное старение полностью объясняется тем, что близнец-космонавт путешествует в двух отдельных системах отсчета, а земной двойник остается в одной системе отсчета, а время ускорения можно сделать сколь угодно малым по сравнению со временем движения по инерции. . ^{[A 4] [A 5] [A 6]} В конце концов, лорд Холсбери и другие устранили любое ускорение, введя подход «трех братьев». Путешествующий близнец передает показания своих часов третьему, идущему в противоположном направлении. Другой способ избежать эффектов ускорения — использование релятивистского эффекта Доплера (см. § Как это выглядит: релятивистский доплеровский сдвиг ниже) .

Ни Эйнштейн, ни Ланжевен не считали такие результаты проблематичными: Эйнштейн лишь называл их «своеобразными», а Ланжевен представлял их как следствие абсолютного ускорения. ^{[A 7]} Оба мужчины утверждали, что, исходя из разницы во времени, проиллюстрированной историей о близнецах, невозможно построить никакого внутреннего противоречия. Другими словами, ни Эйнштейн, ни Ланжевен не считали историю близнецов вызовом самосогласованности релятивистской физики.

Конкретный пример

Рассмотрим космический корабль, путешествующий от Земли к ближайшей звездной системе: на расстояние d = 4 световых года, со скоростью v = 0,8 c (т. е. 80% скорости света).

Чтобы упростить расчеты, предполагается, что корабль достигнет полной скорости за незначительное время после отплытия (хотя на самом деле для набора скорости потребуется около 9 месяцев с ускорением в 1  g ). Аналогично предполагается, что в конце исходящего рейса изменение направления, необходимое для начала обратного пути, происходит за пренебрежимо малое время. Это также можно смоделировать, предположив, что корабль уже находится в движении в начале эксперимента и что событие возвращения моделируется ускорением дельта- распределения Дирака . ^[19]

Стороны будут наблюдать за ситуацией следующим образом: ^{[20] [21]}

Перспектива Земли

Наземное управление полетами рассуждает о путешествии следующим образом: путешествие туда и обратно займет t = 2 d / v = 10 лет по земному времени ( т.е. все, кто останется на Земле, будут на 10 лет старше, когда корабль вернется). Количество времени, измеренное по корабельным часам, и старение путешественников во время их путешествия будут уменьшены на коэффициент , обратный фактору Лоренца ( замедление времени ). В этом случае α = 0,6 , и к моменту возвращения путешественники будут иметь возраст всего 0,6 × 10 = 6 лет . ${\displaystyle \alpha =\scriptstyle {\sqrt {1-v^{2}/c^{2}}}}$

Взгляд путешественников

Члены экипажа корабля также просчитывают детали своего путешествия со своей точки зрения. Они знают, что далекая звездная система и Земля во время путешествия движутся относительно корабля со скоростью v . В их системе отсчета покоя расстояние между Землей и звездной системой составляет α d = 0,6 × 4 = 2,4 световых года ( сокращение длины ) как для путешествия наружу, так и для обратного пути. Каждая половина пути занимает α d / v = 2,4/0,8 = 3 года , а путешествие туда и обратно занимает вдвое больше времени (6 лет). Их расчеты показывают, что они вернутся домой в возрасте 6 лет. Окончательный расчет путешественников об их старении полностью согласуется с расчетами жителей Земли, хотя они переживают путешествие совсем иначе, чем те, кто остается дома.

Заключение

Независимо от того, какой метод они используют для предсказания показаний часов, все с этим согласятся. Если в день отплытия корабля родятся близнецы, и один отправится в путешествие, а другой останется на Земле, они встретятся снова, когда путешественнику исполнится 6 лет, а близнецу-домоседу — 10 лет.

Разрешение парадокса в специальной теории относительности

Парадоксальный аспект ситуации близнецов возникает из-за того, что в любой данный момент часы путешествующего близнеца идут медленно в инерциальной системе отсчета земного близнеца, но, основываясь на принципе относительности, можно в равной степени утверждать, что часы земного близнеца идут медленно в инерциальной системе отсчета близнеца. инерциальная система отсчета путешествующего близнеца. ^{[22] [23] [24]} Одно из предложенных решений основано на том факте, что привязанный к Земле близнец покоится в одной и той же инерциальной системе отсчета на протяжении всего путешествия, а путешествующий близнец — нет: в простейшей версии мысленного эксперимента в середине пути путешествующий двойник переключается с состояния покоя в инерциальной системе отсчета, движущейся в одном направлении (от Земли), на состояние покоя в инерциальной системе отсчета, движущейся в противоположном направлении (к Земле). В этом подходе решающее значение имеет определение того, какой наблюдатель переключает кадры, а какой нет. Хотя оба близнеца могут с полным основанием утверждать, что они покоятся в своей системе отсчета, только путешествующий близнец испытывает ускорение при включении двигателей космического корабля. Это ускорение, измеряемое акселерометром, делает его систему покоя временно неинерционной. Это обнаруживает решающую асимметрию между точками зрения близнецов: хотя мы можем предсказать разницу в старении с обеих точек зрения, нам нужно использовать разные методы для получения правильных результатов.

Роль ускорения

Хотя некоторые решения приписывают решающую роль ускорению путешествующего близнеца во время разворота, ^{[22] [23] [24] [25]} другие отмечают, что эффект также возникает, если представить двух отдельных путешественников, один из которых направлен наружу. уходящие и один приходящие, которые проходят мимо друг друга и сверяют свои часы в точке, соответствующей «повороту» одного путешественника. В этой версии физическое ускорение ходовых часов не играет прямой роли; ^{[26] [27] [19]} «Вопрос в том, насколько длинны мировые линии, а не в том, насколько они изогнуты». ^[28] Длина, о которой здесь идет речь, представляет собой лоренц-инвариантную длину или «собственный временной интервал» траектории, которая соответствует времени, измеренному часами после этой траектории (см. раздел «Разница в прошедшем времени как результат различий у близнецов»). 'пути пространства-времени ниже). В пространстве-времени Минковского путешествующий двойник должен ощущать историю ускорений, отличную от истории земного двойника, даже если это просто означает, что ускорения одного и того же размера разделены разными промежутками времени, ^[28] однако «даже эта роль ускорения может быть устранена в пространстве-времени Минковского». формулировки парадокса близнецов в искривленном пространстве-времени, где близнецы могут свободно падать по пространственно-временным геодезическим между встречами». ^[7]

Относительность одновременности

Диаграмма Минковского парадокса близнецов. Существует разница в траекториях близнецов: траектория корабля поровну разделена между двумя разными инерциальными системами отсчета, тогда как земной двойник остается в одной и той же инерциальной системе отсчета.

Для ежеминутного понимания того, как разворачивается разница во времени между близнецами, нужно понимать, что в специальной теории относительности нет понятия абсолютного настоящего . Для разных инерциальных систем существуют разные наборы событий, которые происходят одновременно в этой системе отсчета. Эта относительность одновременности означает, что переключение с одной инерциальной системы отсчета на другую требует корректировки того, какой срез пространства-времени считается «настоящим». На пространственно-временной диаграмме справа, нарисованной для системы отсчета земного двойника, мировая линия этого двойника совпадает с вертикальной осью (его положение постоянно в пространстве, перемещаясь только во времени). На первом этапе пути второй близнец движется вправо (черная наклонная линия); и на второй ноге назад влево. Синие линии показывают плоскости одновременности путешествующего близнеца на первом этапе пути; красные линии во время ответного матча. Непосредственно перед разворотом путешествующий двойник вычисляет возраст наземного двойника, измеряя интервал вдоль вертикальной оси от начала координат до верхней синей линии. Сразу после поворота, если он пересчитает, он измерит интервал от начала координат до нижней красной линии. В каком-то смысле во время разворота плоскость одновременности перескакивает с синего на красный и очень быстро проносится по большому отрезку мировой линии земного двойника. При переходе из исходящей инерциальной системы координат во входящую инерциальную систему координат происходит скачок в возрасте земного двойника ^{[22] [23] [27] [29] [30]} (6,4 года в приведенном выше примере). .

Непространственно-временной подход

Как упоминалось выше, парадоксальное приключение близнецов «туда и обратно» может включать передачу показаний часов от «уходящего» астронавта к «входящему» астронавту, тем самым устраняя эффект ускорения. Кроме того, физическое ускорение часов не способствует кинематическим эффектам специальной теории относительности. Скорее, в специальной теории относительности разница во времени между двумя воссоединенными часами возникает исключительно за счет равномерного инерционного движения, как обсуждалось в оригинальной статье Эйнштейна по теории относительности 1905 года ^[26] , а также во всех последующих кинематических выводах преобразований Лоренца.

Поскольку диаграммы пространства-времени включают синхронизацию часов Эйнштейна (с ее методологией решетки часов), произойдет необходимый скачок в чтении времени земных часов, сделанный «внезапно вернувшимся астронавтом», который унаследует «новое значение одновременности» в соответствии с новая синхронизация часов, продиктованная переходом в другую инерциальную систему отсчета, как объяснено в книге «Физика пространства-времени» Джона А. Уиллера. ^[29]

Если вместо синхронизации часов Эйнштейна (решетка часов) астронавт (уходящий и приходящий) и группа, базирующаяся на Земле, регулярно информируют друг друга о состоянии своих часов путем отправки радиосигналов (которые перемещаются со скоростью света) , то все стороны отметят постепенное нарастание асимметрии в хронометраже, начиная с точки «разворота». До «разворота» каждая сторона считает, что часы другой стороны записывают время иначе, чем его собственные, но отмеченная разница симметрична между двумя сторонами. После «разворота» отмеченные различия не являются симметричными, и асимметрия постепенно растет, пока две стороны не воссоединятся. После окончательного воссоединения эту асимметрию можно увидеть в реальной разнице, показываемой на двух воссоединенных часах. ^[31]

Эквивалентность биологического старения и хронометража часов

Все процессы — химические, биологические, функционирование измерительных приборов, человеческое восприятие, включающее глаз и мозг, передача силы — ограничиваются скоростью света. Часы работают на каждом уровне, в зависимости от скорости света и внутренней задержки даже на атомном уровне. Биологическое старение, таким образом, ничем не отличается от отсчета времени на часах. ^[32] Это означает, что биологическое старение будет замедляться так же, как часы.

Как это выглядит: релятивистский доплеровский сдвиг

Ввиду зависимости одновременности событий в разных местах пространства от системы координат, некоторые методы лечения предпочитают более феноменологический подход, описывающий то, что наблюдали бы близнецы, если бы каждый из них посылал серию регулярных радиоимпульсов, равномерно распределенных во времени в зависимости от излучателя. Часы. ^[27] Это эквивалентно вопросу: если каждый близнец отправит друг другу видеоизображение себя, что они увидят на своих экранах? Или, если бы каждый близнец всегда носил с собой часы, указывающие его возраст, какое время каждый увидел бы в изображении своего далекого близнеца и его часов?

Вскоре после отъезда путешествующий близнец без каких-либо задержек видит близнеца-домохозяина. По прибытии изображение на экране корабля показывает оставшегося близнеца таким, каким он был через 1 год после запуска, поскольку радио, излучаемое Землей через 1 год после запуска, достигает другой звезды через 4 года и встречает там корабль. На этом этапе путешествия путешествующий близнец видит, что его собственные часы переводятся на 3 года, а часы на экране — на 1 год, поэтому кажется, что они продвигаются со скоростью 1/3 нормальной скорости, всего 20 секунд изображения за минуту корабля. Это сочетает в себе эффекты замедления времени из-за движения (в коэффициент ε = 0,6 пять лет на Земле - это 3 года на корабле) и эффект увеличения задержки света (которая увеличивается с 0 до 4 лет).

Конечно, наблюдаемая частота передачи также составляет 1/3 частоты передатчика (снижение частоты; «красное смещение») . Это называется релятивистским эффектом Доплера . Частота тактов (или волновых фронтов), которую можно увидеть от источника с частотой покоя f _rest , равна

${\displaystyle f_{\mathrm {obs} }=f_{\mathrm {rest} }{\sqrt {\left({1-v/c}\right)/\left({1+v/c}\right)}}}$

когда источник движется прямо прочь. Это f _obs = 1 ⁄ 3 f _rest для v / c = 0,8.

Что касается близнеца-домоседа, то он в течение 9 лет получает замедленный сигнал с корабля на частоте 1/3 частоты передатчика . За эти 9 лет часы путешествующего близнеца на экране, кажется , продвигаются вперед на 3 года, поэтому оба близнеца видят образ своего брата и сестры, стареющего со скоростью лишь 1/3 своей собственной скорости. Другими словами, они оба увидят, что часы друг друга работают со скоростью 1/3 их собственной тактовой частоты. Если они примут во внимание тот факт, что световая задержка передачи увеличивается со скоростью 0,8 секунды в секунду, оба могут прийти к выводу, что другой близнец стареет медленнее, со скоростью 60%.

Затем корабль поворачивает обратно к дому. Часы оставшегося близнеца показывают на экране корабля «1 год после запуска», а за 3 года обратного пути они увеличиваются до «10 лет после запуска», поэтому часы на экране как будто идут вперед. В 3 раза быстрее обычного.

Когда источник движется к наблюдателю, наблюдаемая частота выше («сдвинута в синий цвет») и определяется выражением

${\displaystyle f_{\mathrm {obs} }=f_{\mathrm {rest} }{\sqrt {\left({1+v/c}\right)/\left({1-v/c}\right)}}}$

Это f _obs = 3 f _rest для v / c = 0,8.

Что касается экрана на Земле, то на нем показано, что путешествие назад началось через 9 лет после запуска, а ходовые часы на экране показывают, что на корабле прошло 3 года. Год спустя корабль возвращается домой, и часы показывают 6 лет. Итак, во время обратного пути оба близнеца видят, что часы их брата и сестры идут в 3 раза быстрее, чем их собственные. Учитывая тот факт, что задержка света уменьшается на 0,8 секунды каждую секунду, каждый близнец подсчитывает, что другой близнец стареет на 60% от его собственной скорости старения.

Световые пути для изображений, которыми обменивались во время путешествия.
Слева: Земля перед кораблем. Справа: корабль на Землю.
Красные линии указывают на получение низкочастотных изображений, синие линии указывают на получение высокочастотных изображений.

Диаграммы x – t (пространство-время) слева показывают пути световых сигналов, перемещающихся между Землей и кораблем (1-я диаграмма) и между кораблем и Землей (2-я диаграмма). Эти сигналы передают изображения каждого близнеца и его возрастных часов другому близнецу. Вертикальная черная линия — это путь Земли в пространстве-времени, а две другие стороны треугольника показывают путь корабля в пространстве-времени (как на диаграмме Минковского выше). Что касается отправителя, то он передает их через равные промежутки времени (скажем, раз в час) по своим часам; но согласно часам близнеца, принимающего эти сигналы, они принимаются не через равные промежутки времени.

После того, как корабль достигнет крейсерской скорости 0,8 с , каждый близнец будет видеть 1-секундное прохождение полученного изображения другого близнеца за каждые 3 секунды своего времени. То есть каждый увидит, что изображение часов другого идет медленнее, не просто на коэффициент ε 0,6, но даже медленнее, потому что задержка света увеличивается на 0,8 секунды в секунду. На рисунках это показано дорожками красного света. В какой-то момент изображения, получаемые каждым близнецом, меняются так, что каждый видит, как в изображении проходят 3 секунды за каждую секунду его собственного времени. То есть частота принимаемого сигнала увеличена за счет доплеровского сдвига. Эти высокочастотные изображения показаны на рисунках путями синего света.

Асимметрия на допплеровских сдвинутых изображениях

Асимметрия между Землей и космическим кораблем проявляется на этой диаграмме в том, что корабль принимает более синесмещенные (быстро стареющие) изображения. Другими словами, космический корабль видит изменение изображения с красного смещения (более медленное старение изображения) на синее смещение (более быстрое старение изображения) в середине своего путешествия (при развороте, через 3 года после вылета). ); Земля видит, как изображение корабля меняется с красного смещения на синее через 9 лет (почти в конце периода отсутствия корабля). В следующем разделе мы увидим еще одну асимметрию изображений: двойник Земли видит возраст близнеца корабля на одинаковую величину на сдвинутых в красном и синем изображениях; Корабль-близнец видит возраст близнеца Земли в разной степени на сдвинутых в красном и синем изображениях.

Расчет прошедшего времени по доплеровской диаграмме

Близнец на корабле видит низкочастотные (красные) изображения в течение 3 лет. За это время он увидит, как близнец Земли на изображении постарел на 3/3 = 1 год . Затем он видит высокочастотные (синие) изображения во время трехлетнего обратного путешествия. За это время он увидит, как близнец Земли на изображении постарел на 3 × 3 = 9 лет. Когда путешествие закончится, изображение двойника Земли постареет на 1 + 9 = 10 лет.

Земной двойник видит 9 лет медленных (красных) изображений двойника корабля, в течение которых двойник корабля стареет (на изображении) на 9/3 = 3 года. Затем он видит быстрые (синие) изображения в течение оставшегося 1 года до возвращения корабля. На быстрых изображениях корабль-близнец стареет на 1 × 3 = 3 года. Суммарное старение корабля-двойника на полученных Землей изображениях составляет 3+3=6 лет , поэтому корабль-двойник возвращается моложе (6 лет против 10 лет на Земле).

Разница между тем, что они видят, и тем, что они рассчитывают

Чтобы избежать путаницы, обратите внимание на разницу между тем, что видит каждый близнец, и тем, что каждый из них рассчитывает. Каждый видит изображение своего близнеца, которое, как он знает, возникло в предыдущий момент и которое, как он знает, является допплеровским. Он не считает прошедшее время на изображении возрастом своего близнеца сейчас.

• Если он хочет вычислить, когда его близнец достиг возраста, показанного на изображении ( т. е. сколько ему самому тогда было лет), он должен определить, как далеко находился его близнец, когда был излучен сигнал — другими словами, он должен учитывать одновременность на отдаленное мероприятие.
• Если он хочет подсчитать, насколько быстро старел его близнец на момент передачи изображения, он делает поправку на доплеровский сдвиг. Например, когда он получает высокочастотные изображения (показывающие быстрое старение его близнеца) с частотой , он не приходит к заключению, что близнец старел так же быстро, когда изображение было создано, так же, как он не приходит к заключению, что сирена машины скорой помощи излучает частоту, которую он слышит. Он знает, что эффект Доплера увеличил частоту изображения в 1/(1 − v / c ). Таким образом, он подсчитал, что его близнец старел со скоростью ${\displaystyle \scriptstyle {f_{\mathrm {rest} }{\sqrt {\left({1+v/c}\right)/\left({1-v/c}\right)}}}}$

${\displaystyle f_{\mathrm {rest} }{\sqrt {\left({1+v/c}\right)/\left({1-v/c}\right)}}\times \left(1-v/c\right)=f_{\mathrm {rest} }{\sqrt {1-v^{2}/c^{2}}}\equiv \epsilon f_{\mathrm {rest} }}$

когда изображение было создано. Аналогичный расчет показывает, что его близнец старел с одинаковой сниженной скоростью εf _покоя на всех низкочастотных изображениях.

Одновременность в расчете доплеровского сдвига

Может быть трудно понять, откуда одновременность появилась в расчете доплеровского сдвига, и действительно, этот расчет часто предпочтительнее, потому что не нужно беспокоиться об одновременности. Как видно выше, корабельный двойник может преобразовать полученную частоту с доплеровским сдвигом в более медленную скорость удаленных часов как для красных, так и для синих изображений. Если он проигнорирует одновременность, он мог бы сказать, что его близнец старел медленнее на протяжении всего путешествия и, следовательно, должен быть моложе его. Теперь он вернулся к исходной точке и должен принять во внимание изменение в своем понятии одновременности при повороте. Скорость, которую он может вычислить для изображения (с поправкой на эффект Доплера), равна скорости часов двойника Земли в момент его отправки, а не в момент его получения. Поскольку он получает неравное количество смещенных в красный и синий цвет изображений, он должен понимать, что смещенные в красный и синий цвета излучения не были излучены в течение равных периодов времени для двойника Земли, и поэтому он должен учитывать одновременность на расстоянии.

Точка зрения путешествующего близнеца

Во время разворота путешествующий двойник находится в ускоренной системе отсчета . В соответствии с принципом эквивалентности , путешествующий близнец может анализировать фазу поворота, как если бы близнец-домохозяин свободно падал в гравитационном поле, а путешествующий близнец был неподвижен. В статье Эйнштейна 1918 года представлен концептуальный набросок этой идеи. ^{[А 8]} С точки зрения путешественника, расчет для каждого отдельного этапа без учета поворота приводит к результату, в котором земные часы стареют меньше, чем путешественник. Например, если земные часы стареют на 1 день меньше на каждом участке, то отставание земных часов составит 2 дня. Физическое описание того, что происходит при повороте, должно привести к обратному эффекту, вдвое большему: сдвиг земных часов на 4 дня вперед. Тогда часы путешественника будут иметь чистое двухдневное отставание от земных часов, что согласуется с расчетами, выполненными в рамках близнеца-домохозяина.

Механизм продвижения часов домохозяйки-близнеца — гравитационное замедление времени . Когда наблюдатель обнаруживает, что объекты, движущиеся по инерции, ускоряются относительно самих себя, с точки зрения теории относительности эти объекты находятся в гравитационном поле. Для путешествующего близнеца при развороте это гравитационное поле заполняет Вселенную. В приближении слабого поля часы тикают со скоростью t' = t (1 + Φ / c ² ) , где Φ — разность гравитационного потенциала. В этом случае Φ = gh , где g — ускорение движущегося наблюдателя во время разворота, а h — расстояние до сидящего дома близнеца. Ракета стреляет в сторону сидящего дома близнеца, тем самым помещая этого близнеца в более высокий гравитационный потенциал. Из-за большого расстояния между близнецами часы близнеца-домохозяина будут идти достаточно быстро, чтобы учесть разницу во времени, которое испытывают близнецы. Не случайно этого ускорения достаточно, чтобы объяснить описанный выше сдвиг одновременности. Решение общей теории относительности для статического однородного гравитационного поля и решение специальной теории относительности для конечного ускорения дают идентичные результаты. ^[33]

Для путешествующего двойника (или для любого наблюдателя, который иногда ускоряется) были проведены другие расчеты, которые не используют принцип эквивалентности и не включают в себя какие-либо гравитационные поля. Такие расчеты основаны только на специальной теории, а не на общей теории относительности. Один из подходов рассчитывает поверхности одновременности, рассматривая световые импульсы, в соответствии с идеей k-исчисления Германа Бонди . ^[34] Второй подход рассчитывает простой, но технически сложный интеграл, чтобы определить, как путешествующий близнец измеряет прошедшее время на домашних часах. Краткое описание второго подхода представлено в отдельном разделе ниже.

Разница в прошедшем времени из-за различий в пространственно-временных путях близнецов.

Парадокс близнецов, в котором ракета следует профилю ускорения с точки зрения координатного времени T и устанавливает c = 1: Фаза 1 (a = 0,6, T = 2); Фаза 2 (а=0, Т=2); Фаза 3-4 (а=-0,6, 2Т=4); Фаза 5 (а=0, Т=2); Фаза 6 (а=0,6, Т=2). Близнецы встречаются при Т=12 и τ=9,33. Синие цифры обозначают координатное время T в инерциальной системе отсчёта домоседа-близнеца, красные цифры — собственное время τ ракеты-близнеца, а «a» — собственное ускорение. Тонкие красные линии представляют собой линии одновременности с точки зрения различных мгновенных инерциальных систем отсчета ракеты-близнеца. Точки, отмеченные синими цифрами 2, 4, 8 и 10, обозначают моменты, когда ускорение меняет направление.

В следующем абзаце показано несколько вещей:

• как использовать точный математический подход для расчета разницы в прошедшем времени
• как точно доказать зависимость прошедшего времени от разных путей, пройденных близнецами в пространстве-времени
• как количественно оценить разницу в прошедшем времени
• как вычислить собственное время как функцию (интеграл) координатного времени

Пусть часы K связаны с «близнецом, сидящим дома». Пусть часы К' связаны с ракетой, совершающей полет. В момент отправления оба часа установлены на 0.

Фаза 1: Ракета (с часами K' ) стартует с постоянным собственным ускорением a в течение времени T _a , измеряемого часами K , пока не достигнет некоторой скорости V.

Фаза 2: Ракета продолжает двигаться со скоростью V в течение некоторого времени T _c в соответствии с часами K .

Фаза 3: Ракета запускает свои двигатели в направлении, противоположном K , в течение времени T _a по часам K , пока она не остановится по отношению к часам K. Постоянное собственное ускорение имеет значение −a , другими словами, ракета замедляется .

Фаза 4: Ракета продолжает запускать свои двигатели в направлении, противоположном K , в течение того же времени T _a по часам K , пока K' не восстановит ту же скорость V по отношению к K , но теперь в направлении K (со скоростью − V ).

Фаза 5: Ракета продолжает двигаться в направлении K со скоростью V в течение того же времени T _c согласно часам K .

Фаза 6: Ракета снова запускает свои двигатели в направлении K , поэтому она замедляется с постоянным собственным ускорением a в течение времени T _a , по-прежнему согласно часам K , пока оба часа не воссоединятся.

Зная, что часы K остаются инерционными (стационарными), общее накопленное собственное время Δ τ часов K' будет определяться интегральной функцией координатного времени Δ t

${\displaystyle \Delta \tau =\int {\sqrt {1-(v(t)/c)^{2}}}\ dt\ }$

где v ( t ) — координатная скорость часов K' как функция от t по часам K , и, например, во время фазы 1, определяемая выражением

${\displaystyle v(t)={\frac {at}{\sqrt {1+\left({\frac {at}{c}}\right)^{2}}}}.}$

Этот интеграл можно рассчитать для 6 фаз: ^[35]

Фаза 1 ${\displaystyle :\quad c/a\ {\text{arsinh}}(a\ T_{a}/c)\,}$

Фаза 2 ${\displaystyle :\quad T_{c}\ {\sqrt {1-V^{2}/c^{2}}}}$

Этап 3 ${\displaystyle :\quad c/a\ {\text{arsinh}}(a\ T_{a}/c)\,}$

Этап 4 ${\displaystyle :\quad c/a\ {\text{arsinh}}(a\ T_{a}/c)\,}$

Этап 5 ${\displaystyle :\quad T_{c}\ {\sqrt {1-V^{2}/c^{2}}}}$

Этап 6 ${\displaystyle :\quad c/a\ {\text{arsinh}}(a\ T_{a}/c)\,}$

где a — собственное ускорение, ощущаемое часами K' во время фазы(й) ускорения, и где между V , a и T _a выполняются следующие соотношения :

${\displaystyle V=a\ T_{a}/{\sqrt {1+(a\ T_{a}/c)^{2}}}}$

${\displaystyle a\ T_{a}=V/{\sqrt {1-V^{2}/c^{2}}}}$

Таким образом, ходовые часы К' покажут прошедшее время.

${\displaystyle \Delta \tau =2T_{c}{\sqrt {1-V^{2}/c^{2}}}+4c/a\ {\text{arsinh}}(a\ T_{a}/c)}$

что можно выразить как

${\displaystyle \Delta \tau =2T_{c}/{\sqrt {1+(a\ T_{a}/c)^{2}}}+4c/a\ {\text{arsinh}}(a\ T_{a}/c)}$

тогда как стационарные часы K показывают прошедшее время

${\displaystyle \Delta t=2T_{c}+4T_{a}\,}$

что для каждого возможного значения a , Ta _, Tc _и V больше , чем показание часов K' :

${\displaystyle \Delta t>\Delta \tau \,}$

Разница в прошедшем времени: как посчитать с корабля

Парадокс близнецов, в котором ракета следует профилю ускорения с точки зрения собственного времени τ и устанавливает c=1: Фаза 1 (a=0,6, τ=2); Фаза 2 (а=0, τ=2); Фаза 3-4 (а=-0,6, 2τ=4); Фаза 5 (а=0, τ=2); Фаза 6 (а=0,6, τ=2). Близнецы встречаются при Т=17,3 и τ=12.

В стандартной формуле собственного времени

${\displaystyle \Delta \tau =\int _{0}^{\Delta t}{\sqrt {1-\left({\frac {v(t)}{c}}\right)^{2}}}\ dt,\ }$

Δ τ представляет время неинерционного (путешествующего) наблюдателя K' как функцию прошедшего времени Δt инерционного (сидящего дома) наблюдателя K , для которого наблюдатель K' имеет скорость v ( t ) в момент времени т .

Чтобы вычислить прошедшее время Δt инерционного наблюдателя K как функцию прошедшего времени Δτ неинерционного наблюдателя K' , где доступны только величины, измеряемые K' , можно использовать следующую формулу: ^[19]

${\displaystyle \Delta t^{2}=\left[\int _{0}^{\Delta \tau }e^{\int _{0}^{\bar {\tau }}a(\tau ')d\tau '}\,d{\bar {\tau }}\right]\,\left[\int _{0}^{\Delta \tau }e^{-\int _{0}^{\bar {\tau }}a(\tau ')d\tau '}\,d{\bar {\tau }}\right],\ }$

где a(τ) — собственное ускорение неинерциального наблюдателя K', измеренное им самим (например, с помощью акселерометра) в течение всего путешествия туда и обратно. Неравенство Коши – Шварца можно использовать, чтобы показать, что неравенство Δ t > Δ τ следует из предыдущего выражения:

${\displaystyle {\begin{aligned}\Delta t^{2}&=\left[\int _{0}^{\Delta \tau }e^{\int _{0}^{\bar {\tau }}a(\tau ')d\tau '}\,d{\bar {\tau }}\right]\,\left[\int _{0}^{\Delta \tau }e^{-\int _{0}^{\bar {\tau }}a(\tau ')d\tau '}\,d{\bar {\tau }}\right]\\&>\left[\int _{0}^{\Delta \tau }e^{\int _{0}^{\bar {\tau }}a(\tau ')d\tau '}\,e^{-\int _{0}^{\bar {\tau }}a(\tau ')\,d\tau '}\,d{\bar {\tau }}\right]^{2}=\left[\int _{0}^{\Delta \tau }d{\bar {\tau }}\right]^{2}=\Delta \tau ^{2}.\end{aligned}}}$

Используя дельта-функцию Дирака для моделирования фазы бесконечного ускорения в стандартном случае, когда пассажир имеет постоянную скорость v во время поездки туда и обратно, формула дает известный результат:

${\displaystyle \Delta t={\frac {1}{\sqrt {1-{\tfrac {v^{2}}{c^{2}}}}}}\Delta \tau .\ }$

В случае, когда ускоренный наблюдатель К' удаляется от К с нулевой начальной скоростью, общее уравнение сводится к более простому виду:

${\displaystyle \Delta t=\int _{0}^{\Delta \tau }e^{\pm \int _{0}^{\bar {\tau }}a(\tau ')d\tau '}\,d{\bar {\tau }},\ }$

что в гладкой версии парадокса близнецов, где путешественник имеет постоянные собственные фазы ускорения, последовательно заданные a , − a , − a , a , приводит к ^[19]

${\displaystyle \Delta t={\tfrac {4}{a}}\sinh({\tfrac {a}{4}}\Delta \tau )\ }$

где используется условное обозначение c = 1, в соответствии с приведенным выше выражением с фазами ускорения T _a = Δ t /4 и инерционными фазами (выбегом) T _c = 0.

Ротационная версия

Близнецы Боб и Алиса обитают на космической станции, находящейся на круговой орбите вокруг массивного космического тела. Боб одевается и выходит со станции. В то время как Алиса остается внутри станции, продолжая вращаться вместе с ней по орбите, как и раньше, Боб использует ракетную двигательную установку, чтобы прекратить движение по орбите и зависнуть там, где он был. Когда станция завершает оборот и возвращается к Бобу, он снова присоединяется к Алисе. Алиса сейчас моложе Боба. ^[36] Помимо ускорения вращения, Боб должен замедлиться, чтобы стать неподвижным, а затем снова ускориться, чтобы соответствовать орбитальной скорости космической станции.

Никакого парадокса близнецов в абсолютной системе отсчета

Вывод Эйнштейна о фактической разнице в зарегистрированном времени часов (или старении) между воссоединившимися сторонами побудил Поля Ланжевена постулировать реальную, хотя и экспериментально неразличимую, абсолютную систему отсчета:

В 1911 году Ланжевен писал: «Единый перевод эфира не имеет экспериментального смысла. Но из-за этого не следует делать вывод, как это иногда случалось преждевременно, что следует отказаться от понятия эфира, что эфир не существует. и недоступна для эксперимента. Только равномерная относительно него скорость не может быть обнаружена, но всякое изменение скорости... имеет абсолютный смысл». ^[37]

В 1913 году были опубликованы посмертные «Последние эссе » Анри Пуанкаре , в которых он еще раз изложил свою позицию: «Сегодня некоторые физики хотят принять новую конвенцию. Это не значит, что они вынуждены это делать; они считают эту новую конвенцию более удобной; вот и все, а те, кто не придерживается этого мнения, могут законно сохранить старое». ^[38]

В теории относительности Пуанкаре и Хендрика Лоренца , которая предполагает абсолютную (хотя и экспериментально неразличимую) систему отсчета, не возникает никакого парадокса, поскольку замедление часов (наряду с сокращением длины и скорости) рассматривается как реальность, следовательно, фактическое время разница между воссоединенными часами.

В этой интерпретации группа, покоящаяся вместе со всем космосом (покоящаяся с барицентром вселенной или покоящаяся с возможным эфиром), будет иметь максимальную скорость сохранения времени и иметь несжатую длину. Все эффекты специальной теории относительности Эйнштейна (последовательная мера скорости света, а также симметрично измеренное замедление часов и сокращение длины в инерциальных системах отсчета) встают на свои места.

Эта интерпретация теории относительности, которую Джон А. Уилер называет «теорией эфира B (сокращение длины плюс сокращение времени)», не получила такой популярности, как теория Эйнштейна, которая просто игнорировала более глубокую реальность, стоящую за симметричными измерениями в инерциальных системах отсчета. Не существует физического критерия, который отличал бы одну интерпретацию от другой. ^[39]

В 2005 году Роберт Б. Лафлин (лауреат Нобелевской премии по физике, Стэнфордский университет) написал о природе пространства: «Ирония в том, что самая творческая работа Эйнштейна — общая теория относительности — сводится к концептуализации пространства как среды, когда его Первоначальная предпосылка [в специальной теории относительности] заключалась в том, что такой среды не существовало ... Слово «эфир» имеет крайне негативный смысл в теоретической физике из-за его прошлой ассоциации с оппозицией теории относительности. Это прискорбно, потому что, лишенное этих коннотаций, оно, скорее, является. прекрасно отражает то, как большинство физиков на самом деле думают о вакууме... Теория относительности на самом деле ничего не говорит о существовании или несуществовании материи, пронизывающей Вселенную, а только то, что любая такая материя должна иметь релятивистскую симметрию (т.е. в соответствии с измерениями)». ^[40]

В «Специальной теории относительности» (1968) А. П. Френч писал: «Однако обратите внимание, что мы апеллируем к реальности ускорения А и к наблюдаемости связанных с ним инерционных сил. Будут ли такие эффекты, как парадокс близнецов (в частности — разница во времени между воссоединенными часами) существовала бы, если бы не существовало системы неподвижных звезд и далеких галактик. материя Вселенной в целом». ^[41]

Смотрите также

• Парадокс космического корабля Белла
• Гипотеза часов
• Парадокс Эренфеста
• Герберт Дингл
• Лестничный парадокс
• Список парадоксов
• Парадокс Саппли
• Замедление времени
• Время звезд

Основные источники

1. Эйнштейн, Альберт (1905). «К электродинамике движущихся тел». Аннален дер Физик . 17 (10): 891 (конец § 4). Бибкод : 1905АнП...322..891Е. дои : 10.1002/andp.19053221004 .
2. Эйнштейн, Альберт (1911). «Теория относительности». Naturforschende Gesellschaft, Цюрих, Vierteljahresschrift . 56 : 1–14.
3. Ланжевен, П. (1911), «Эволюция пространства и времени», Scientia , X : 31–54.(перевод Дж. Б. Сайкса, 1973 г., с французского оригинала: «L'évolution de l'espace et du temps»).
4. фон Лауэ, Макс (1911). «Zwei Einwände gegen die Relativitätstheorie und ihre Widerlegung (Два возражения против теории относительности и их опровержение)». Physikalische Zeitschrift . 13 : 118–120.
5. фон Лауэ, Макс (1913). Das Relativitätsprinzip (Принцип относительности) (2-е изд.). Брауншвейг, Германия: Фридрих Видег. ОСЛК  298055497.
6. фон Лауэ, Макс (1913). «Das Relativitätsprinzip (Принцип относительности)». Ярбюхер философии . 1 : 99–128.
7. «Мы увидим, как этот абсолютный характер ускорения проявится в другой форме». («Nous allons voir se Manifer sous une autre forme ce caractère absolu de l'accélération»), стр. 82 Langevin 1911 г.
8. Эйнштейн, А. (1918) «Диалог о возражениях против теории относительности», Die Naturwissenschaften 48 , стр. 697–702, 29 ноября 1918 г.

Вторичные источники

1. Кроуэлл, Бенджамин (2000). Современная революция в физике (иллюстрированное ред.). Свет и Материя. п. 23. ISBN 978-0-9704670-6-5.Выдержка со страницы 23
2. Сервей, Раймонд А.; Моисей, Клемент Дж.; Мойер, Курт А. (2004). Современная физика (3-е изд.). Cengage Обучение. п. 21. ISBN 978-1-111-79437-8.Выдержка со страницы 21
3. Д'Аурия, Риккардо; Триджианте, Марио (2011). От специальной теории относительности к диаграммам Фейнмана: курс теоретической физики элементарных частиц для начинающих (иллюстрированное издание). Springer Science & Business Media. п. 541. ИСБН 978-88-470-1504-3.Выдержка со страницы 541
4. Оганян, Ганс К.; Руффини, Ремо (2013). Гравитация и пространство-время (3-е изд.). Издательство Кембриджского университета. п. 176. ИСБН 978-1-139-61954-7.Выдержка со страницы 176
5. Хоули, Джон Ф.; Холкомб, Кэтрин А. (2005). Основы современной космологии (иллюстрированное изд.). Издательство Оксфордского университета. п. 203. ИСБН 978-0-19-853096-1.Выдержка со страницы 203
6. П. Мохазаби, К. Луо; Ж. прикладной математики и физики, 2021, 9, 2187-2192.
7. Дебс, Талал А.; Рыжий, Майкл Л.Г. (1996). «Парадокс близнецов» и условность одновременности». Американский журнал физики . 64 (4): 384–392. Бибкод : 1996AmJPh..64..384D. дои : 10.1119/1.18252.
8. Миллер, Артур И. (1981). Специальная теория относительности Альберта Эйнштейна. Возникновение (1905 г.) и ранняя интерпретация (1905–1911 гг.). Чтение: Аддисон-Уэсли. стр. 257–264. ISBN 0-201-04679-2.
9. Макс Джаммер (2006). Концепции одновременности: от античности до Эйнштейна и далее. Издательство Университета Джонса Хопкинса. п. 165. ИСБН 0-8018-8422-5.
10. Шютц, Бернард (2003). Гравитация с нуля: Вводное руководство по гравитации и общей теории относительности (иллюстрированное издание). Издательство Кембриджского университета. п. 207. ИСБН 978-0-521-45506-0.Выдержка со страницы 207
11. Баэз, Джон (1996). «Может ли специальная теория относительности справиться с ускорением?» . Проверено 30 мая 2017 г.
12. «Как теория относительности разрешает парадокс близнецов?». Научный американец .
13. Дэвид Холлидей и др., Основы физики , Джон Уайли и сыновья, 1997.
14. Пол Дэвис о времени , Touchstone 1995, стр. 59.
15. Джон Симонетти. «Часто задаваемые вопросы о специальной теории относительности - парадокс близнецов». Вирджинский технологический институт физики . Проверено 25 мая 2020 г.
16. Резник, Роберт (1968). «Дополнительная тема B: Парадокс близнецов». Введение в специальную теорию относительности . место: Нью-Йорк: John Wiley & Sons, Inc. 201. ИСБН 0-471-71725-8. LCCN  67031211.. через Августа Копффа , Хаймана Леви (переводчик), Математическая теория относительности (Лондон: Methuen & Co., Ltd., 1923), стр. 52, цитируется Дж. Дж. Уитроу , «Естественная философия времени» (Нью-Йорк: Harper Torchbooks, 1961), стр. 52. 215.
17. Дж. Б. Кеннеди (2014). Пространство, время и Эйнштейн: Введение (переработанная редакция). Рутледж. п. 39. ИСБН 978-1-317-48944-3.Выдержка со страницы 39
18. Ричард А. Молд (2001). Основная теория относительности (иллюстрировано, под ред. Herdruk). Springer Science & Business Media. п. 39. ИСБН 978-0-387-95210-9.Выдержка со страницы 39
19. Э. Мингуцци (2005) - Дифференциальное старение от ускорения: явная формула - Am. Дж. Физ. 73 : 876-880 arXiv:physicals/0411233 (Обозначение исходных переменных было адаптировано в соответствии с обозначениями в этой статье.)
20. Джайн, Махеш К. (2009). Учебник инженерной физики, часть I. PHI Learning Pvt. п. 74. ИСБН 978-8120338623.Выдержка со страницы 74
21. Сардесай, Польша (2004). Введение в теорию относительности. Нью Эйдж Интернэшнл. стр. 27–28. ISBN 8122415202.Выдержка со страницы 27
22. Оганян, Ганс (2001). Специальная теория относительности: современное введение . Лейквилл, Миннесота: Учебная программа и инструкции по физике. ISBN 0971313415.
23. Харрис, Рэнди (2008). Современная физика . Сан-Франциско, Калифорния: Пирсон Аддисон-Уэсли. ISBN 978-0805303087.
24. Риндлер, W (2006). Введение в специальную теорию относительности . Оксфорд, Великобритания: Издательство Оксфордского университета. ISBN 9780198567318.
25. Вайднер, Ричард (1985). Физика . Нидхэм-Хайтс, Массачусетс: Аллин и Бэкон. ISBN 0205111556.
26. Эйнштейн А., Лоренц Х.А., Минковский Х. и Вейль Х. (1923). Арнольд Зоммерфельд . ред. Принцип относительности. Публикации Дувра: Минеола, Нью-Йорк. стр. 38–49.
27. Когут, Джон Б. (2012). Введение в теорию относительности: для физиков и астрономов. Академическая пресса. п. 35. ISBN 978-0-08-092408-3.Выдержка со страницы 35
28. Модлин, Тим (2012). Философия физики: пространство и время . Принстон: Издательство Принстонского университета. стр. 77–83. ISBN 9780691143095.
29. Уилер, Дж., Тейлор, Э. (1992). Физика пространства-времени, второе издание. WH Freeman: Нью-Йорк, стр. 38, 170–171.
30. Эйнштейн А., Лоренц Х.А., Минковский Х. и Вейль Х. (1923). Арнольд Зоммерфельд. ред. Принцип относительности. Публикации Дувра: Минеола, Нью-Йорк. п. 38.
31. Уильям Герайнт Воган Россер (1991). Введение в специальную теорию относительности, Taylor & Francisco Inc., США, стр. 67-68.
32. Тейлор, Эдвин Ф.; Уиллер, Джон Арчибальд (1992). Физика пространства-времени (2-е, иллюстрированное изд.). У. Х. Фриман. п. 150. ИСБН 978-0-7167-2327-1.
33. Джонс, Престон; Ванекс, LF (февраль 2006 г.). «Парадокс часов в статическом однородном гравитационном поле». Основы физики письма . 19 (1): 75–85. arXiv : физика/0604025 . Бибкод : 2006FoPhL..19...75J. дои : 10.1007/s10702-006-1850-3. S2CID  14583590.
34. Долби, Карл Э. и Галл, Стивен Ф. (2001). «О времени радара и парадоксе близнецов»". Американский журнал физики . 69 (12): 1257–1261. arXiv : gr-qc/0104077 . Бибкод : 2001AmJPh..69.1257D. doi : 10.1119/1.1407254. S2CID  119067219.
35. К. Лагут и Э. Даву (1995) Межзвездный путешественник, Am. Дж. Физ. 63 :221-227
36. Майкл Пол Хобсон, Джордж Эфстатиу , Энтони Н. Ласенби (2006). Общая теория относительности: введение для физиков. Издательство Кембриджского университета. п. 227. ИСБН 0-521-82951-8.{{cite book}}: CS1 maint: multiple names: authors list (link)См. упражнение 9.25 на стр. 227.
37. Ланжевен, П. (1911), «Эволюция пространства и времени», Scientia, X: стр.47 (перевод Дж. Б. Сайкса, 1973).
38. Пуанкаре, Анри. (1913), Математика и естествознание: последние очерки ( Dernières pensées ).
39. Уиллер Дж., Тейлор Э. (1992). Физика пространства-времени, второе издание. WH Freeman: Нью-Йорк, с. 88.
40. Лафлин, Роберт Б. (2005). Другая Вселенная: заново изобретая физику снизу вверх. Основные книги, Нью-Йорк, Нью-Йорк. стр. 120–121.
41. Французский, AP (1968). Специальная теория относительности. WW Нортон, Нью-Йорк. п. 156.

дальнейшее чтение

Идеальные часы

Идеальные часы — это часы, действие которых зависит только от их мгновенной скорости и не зависит от какого-либо ускорения часов.

• Вольфганг Риндлер (2006). «Замедление времени». Относительность: специальная, общая и космологическая . Издательство Оксфордского университета. п. 43. ИСБН 0-19-856731-6.

Гравитационное замедление времени; замедление времени при круговом движении

• Джон Павлин (2001). Космологическая физика. Издательство Кембриджского университета. п. 8. ISBN 0-521-42270-1.
• Сильвио Бонометто; Витторио Горини; Уго Мошелла (2002). Современная космология. ЦРК Пресс. п. 12. ISBN 0-7503-0810-9.
• Патрик Корнилл (2003). Расширенный электромагнетизм и физика вакуума. Всемирная научная. п. 180. ИСБН 981-238-367-0.

Внешние ссылки

• Обзор Twin Paradox. Архивировано 24 сентября 2015 г. на Wayback Machine в FAQ по физике Usenet.
• Парадокс близнецов: парадоксальна ли симметрия замедления времени? Из «Эйнштейнлайта: относительность в анимации и видеоклипах».
• FLASH-анимация: от Джона де Пиллиса. (Сцена 1): «Вид» с точки зрения двойника Земли. (Сцена 2): «Вид» с точки зрения путешествующего близнеца.
• Калькулятор теории относительности — парадокс двойных часов