Непрерывное равномерное распределение

Равномерное распределение на интервале

В теории вероятностей и статистике непрерывные равномерные распределения или прямоугольные распределения представляют собой семейство симметричных распределений вероятностей . Такое распределение описывает эксперимент, в котором имеется произвольный результат, лежащий между определенными границами. ^[1] Границы определяются параметрами, а именно минимальным и максимальным значениями. Интервал может быть либо замкнутым (т.е. ), либо открытым (т.е. ). ^[2] Поэтому распределение часто сокращается где означает равномерное распределение. ^[1] Разница между границами определяет длину интервала; все интервалы одинаковой длины на носителе распределения равновероятны. Это распределение вероятностей максимальной энтропии для случайной величины без каких-либо ограничений, кроме того, что она содержится в носителе распределения. ^[3] ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle b,}$ ${\displaystyle [a,b]}$ ${\displaystyle (a,b)}$ ${\displaystyle U(a,b),}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle X}$

Определения

Функция плотности вероятности

Функция плотности вероятности непрерывного равномерного распределения равна

${\displaystyle f(x)={\begin{cases}{\frac {1}{b-a}}&{\text{for }}a\leq x\leq b,\\[8pt]0&{\text{for }}x<a\ {\text{ or }}\ x>b.\end{cases}}}$

Значения на двух границах и обычно не имеют значения, поскольку они не меняют значения ни в каком интервале , ни в каком-либо более высоком моменте. Иногда их выбирают равными нулю, а иногда выбирают равными. Последнее уместно в контексте оценки методом максимального правдоподобия . В контексте анализа Фурье можно принять значение или быть , потому что тогда обратное преобразование многих интегральных преобразований этой однородной функции вернет саму функцию, а не функцию, которая равна « почти всюду », т.е. на множестве точек с нулевой мерой . Кроме того, это согласуется со знаковой функцией , которая не имеет такой двусмысленности. ${\displaystyle f(x)}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle b}$ ${\textstyle \int _{c}^{d}f(x)dx}$ ${\displaystyle [c,d],}$ ${\textstyle \int _{a}^{b}xf(x)dx,}$ ${\displaystyle {\tfrac {1}{b-a}}.}$ ${\displaystyle f(a)}$ ${\displaystyle f(b)}$ ${\displaystyle {\tfrac {1}{2(b-a)}},}$

Любая функция плотности вероятности интегрируется так, что функция плотности вероятности непрерывного равномерного распределения графически изображается в виде прямоугольника, где – базовая длина, а – высота. По мере увеличения длины основания высота (плотность при любом конкретном значении в пределах границ распределения) уменьшается. ^[4] ${\displaystyle 1,}$ ${\displaystyle b-a}$ ${\displaystyle {\tfrac {1}{b-a}}}$

С точки зрения среднего и дисперсии функция плотности вероятности непрерывного равномерного распределения равна ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle \sigma ^{2},}$

${\displaystyle f(x)={\begin{cases}{\frac {1}{2\sigma {\sqrt {3}}}}&{\text{for }}-\sigma {\sqrt {3}}\leq x-\mu \leq \sigma {\sqrt {3}},\\0&{\text{otherwise}}.\end{cases}}}$

Кумулятивная функция распределения

Кумулятивная функция распределения непрерывного равномерного распределения:

${\displaystyle F(x)={\begin{cases}0&{\text{for }}x<a,\\[8pt]{\frac {x-a}{b-a}}&{\text{for }}a\leq x\leq b,\\[8pt]1&{\text{for }}x>b.\end{cases}}}$

Его обратная сторона:

${\displaystyle F^{-1}(p)=a+p(b-a)\quad {\text{ for }}0<p<1.}$

С точки зрения среднего значения и дисперсии кумулятивная функция распределения непрерывного равномерного распределения равна: ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle \sigma ^{2},}$

${\displaystyle F(x)={\begin{cases}0&{\text{for }}x-\mu <-\sigma {\sqrt {3}},\\{\frac {1}{2}}\left({\frac {x-\mu }{\sigma {\sqrt {3}}}}+1\right)&{\text{for }}-\sigma {\sqrt {3}}\leq x-\mu <\sigma {\sqrt {3}},\\1&{\text{for }}x-\mu \geq \sigma {\sqrt {3}};\end{cases}}}$

его обратная сторона:

${\displaystyle F^{-1}(p)=\sigma {\sqrt {3}}(2p-1)+\mu \quad {\text{ for }}0\leq p\leq 1.}$

Пример 1. Использование непрерывной функции равномерного распределения

Для случайной величины найдите ${\displaystyle X\sim U(0,23),}$ ${\displaystyle P(2<X<18):}$

${\displaystyle P(2<X<18)=(18-2)\cdot {\frac {1}{23-0}}={\frac {16}{23}}.}$

В графическом представлении непрерывной функции равномерного распределения область под кривой в заданных границах, отображающая вероятность, представляет собой прямоугольник. Для конкретного примера, приведенного выше, основание будет равно, а высота будет ^[5] ${\displaystyle [f(x){\text{ vs }}x],}$ ${\displaystyle 16,}$ ${\displaystyle {\tfrac {1}{23}}.}$

Пример 2. Использование непрерывной функции равномерного распределения (условное)

Для случайной величины найдите ${\displaystyle X\sim U(0,23),}$ ${\displaystyle P(X>12\ |\ X>8):}$

${\displaystyle P(X>12\ |\ X>8)=(23-12)\cdot {\frac {1}{23-8}}={\frac {11}{15}}.}$

Приведенный выше пример представляет собой случай условной вероятности для непрерывного равномерного распределения: если это верно, какова вероятность того, что Условная вероятность изменит выборочное пространство, поэтому необходимо рассчитать новую длину интервала , где и ^[5] Графическое представление будет по-прежнему следуйте примеру 1, где площадь под кривой в заданных пределах отображает вероятность; основание прямоугольника будет, а высота будет ^[5] ${\displaystyle X>8}$ ${\displaystyle X>12?}$ ${\displaystyle b-a'}$ ${\displaystyle b=23}$ ${\displaystyle a'=8.}$ ${\displaystyle 11,}$ ${\displaystyle {\tfrac {1}{15}}.}$

Генерирующие функции

Функция генерации момента

Момент -генерирующая функция непрерывного равномерного распределения равна: ^[6]

${\displaystyle M_{X}=\mathrm {E} (\mathrm {e} ^{tX})=\int _{a}^{b}\mathrm {e} ^{tx}{\frac {dx}{b-a}}={\frac {\mathrm {e} ^{tb}-\mathrm {e} ^{ta}}{t(b-a)}}={\frac {B^{t}-A^{t}}{t(b-a)}},}$^[7]

из которого мы можем вычислить исходные моменты ${\displaystyle m_{k}:}$

${\displaystyle m_{1}={\frac {a+b}{2}},}$

${\displaystyle m_{2}={\frac {a^{2}+ab+b^{2}}{3}},}$

${\displaystyle m_{k}={\frac {\sum _{i=0}^{k}a^{i}b^{k-i}}{k+1}}.}$

Для случайной величины, следующей за непрерывным равномерным распределением, ожидаемое значение равно , а дисперсия равна ${\displaystyle m_{1}={\tfrac {a+b}{2}},}$ ${\displaystyle m_{2}-m_{1}^{2}={\tfrac {(b-a)^{2}}{12}}.}$

В частном случае функция плотности вероятности непрерывного равномерного распределения равна: ${\displaystyle a=-b,}$

${\displaystyle f(x)={\begin{cases}{\frac {1}{2b}}&{\text{for }}-b\leq x\leq b,\\[8pt]0&{\text{otherwise}};\end{cases}}}$

производящая момент функция сводится к простому виду:

${\displaystyle M_{X}={\frac {\sinh bt}{bt}}.}$

Кумулянт-генерирующая функция

Для -го кумулянта непрерывного равномерного распределения на интервале где -е число Бернулли . ^[8] ${\displaystyle n\geq 2,}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle [-{\tfrac {1}{2}},{\tfrac {1}{2}}]}$ ${\displaystyle {\tfrac {B_{n}}{n}},}$ ${\displaystyle B_{n}}$ ${\displaystyle n}$

Стандартное равномерное распределение

Непрерывное равномерное распределение с параметрами и ie называется стандартным равномерным распределением . ${\displaystyle a=0}$ ${\displaystyle b=1,}$ ${\displaystyle U(0,1),}$

Одно интересное свойство стандартного равномерного распределения заключается в том, что если оно имеет стандартное равномерное распределение, то оно также и есть. Это свойство , среди прочего, можно использовать для генерации противоположных переменных . Другими словами, это свойство известно как метод инверсии , при котором непрерывное стандартное равномерное распределение можно использовать для генерации случайных чисел для любого другого непрерывного распределения. ^[4] Если — равномерное случайное число со стандартным равномерным распределением, т. е. с, то генерирует случайное число из любого непрерывного распределения с указанной кумулятивной функцией распределения ^[4] ${\displaystyle u_{1}}$ ${\displaystyle 1-u_{1}.}$ ${\displaystyle u_{1}}$ ${\displaystyle U(0,1),}$ ${\displaystyle x=F^{-1}(u_{1})}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle F.}$

Связь с другими функциями

Если в точках перехода соблюдаются те же соглашения, функция плотности вероятности непрерывного равномерного распределения также может быть выражена через ступенчатую функцию Хевисайда как:

${\displaystyle f(x)={\frac {\operatorname {H} (x-a)-\operatorname {H} (x-b)}{b-a}},}$

или с точки зрения функции прямоугольника как:

${\displaystyle f(x)={\frac {1}{b-a}}\ \operatorname {rect} \left({\frac {x-{\frac {a+b}{2}}}{b-a}}\right).}$

В точке перехода знаковой функции нет никакой двусмысленности . Используя соглашение о полувысоте в точках перехода, непрерывное равномерное распределение можно выразить через знаковую функцию как:

${\displaystyle f(x)={\frac {\operatorname {sgn} {(x-a)}-\operatorname {sgn} {(x-b)}}{2(b-a)}}.}$

Характеристики

Моменты

Среднее значение (первый необработанный момент ) непрерывного равномерного распределения равно:

${\displaystyle E(X)=\int _{a}^{b}x{\frac {dx}{b-a}}={\frac {b^{2}-a^{2}}{2(b-a)}}={\frac {b+a}{2}}.}$

Второй необработанный момент этого распределения:

${\displaystyle E(X^{2})=\int _{a}^{b}x^{2}{\frac {dx}{b-a}}={\frac {b^{3}-a^{3}}{3(b-a)}}.}$

В общем, -тый сырой момент этого распределения таков: ${\displaystyle n}$

${\displaystyle E(X^{n})=\int _{a}^{b}x^{n}{\frac {dx}{b-a}}={\frac {b^{n+1}-a^{n+1}}{(n+1)(b-a)}}.}$

Дисперсия (второй центральный момент ) этого распределения равна:

${\displaystyle V(X)=E\left({\big (}X-E(X){\big )}^{2}\right)=\int _{a}^{b}\left(x-{\frac {a+b}{2}}\right)^{2}{\frac {dx}{b-a}}={\frac {(b-a)^{2}}{12}}.}$

Статистика заказов

Пусть это iid выборка из этой выборки и пусть это статистика -го порядка из этой выборки. ${\displaystyle X_{1},...,X_{n}}$ ${\displaystyle U(0,1),}$ ${\displaystyle X_{(k)}}$ ${\displaystyle k}$

${\displaystyle X_{(k)}}$имеет бета-распределение с параметрами и ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle n-k+1.}$

Ожидаемое значение:

${\displaystyle \operatorname {E} (X_{(k)})={k \over n+1}.}$

Этот факт полезен при построении графиков Q–Q .

Разница составляет:

${\displaystyle \operatorname {V} (X_{(k)})={k(n-k+1) \over (n+1)^{2}(n+2)}.}$

Единообразие

Вероятность того, что непрерывно равномерно распределенная случайная величина попадает в какой-либо интервал фиксированной длины, не зависит от местоположения самого интервала (но зависит от размера интервала ), пока интервал содержится в носителе распределения. ${\displaystyle (\ell )}$

Действительно, если и если является подинтервалом с фиксированным, то: ${\displaystyle X\sim U(a,b)}$ ${\displaystyle [x,x+\ell ]}$ ${\displaystyle [a,b]}$ ${\displaystyle \ell >0,}$

${\displaystyle P{\big (}X\in [x,x+\ell ]{\big )}=\int _{x}^{x+\ell }{\frac {dy}{b-a}}={\frac {\ell }{b-a}},}$

который не зависит от Этот факт определяет название дистрибутива. ${\displaystyle x.}$

Обобщение на борелевские множества.

Это распределение можно обобщить на более сложные множества, чем интервалы. Пусть это борелевское множество положительной конечной меры Лебега , т. е . равномерное распределение на может быть задано путем определения функции плотности вероятности, равной нулю снаружи и постоянно равной на ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle \lambda (S),}$ ${\displaystyle 0<\lambda (S)<+\infty .}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle {\tfrac {1}{\lambda (S)}}}$ ${\displaystyle S.}$

Связанные дистрибутивы

• Если X имеет стандартное равномерное распределение, то с помощью метода выборки обратного преобразования Y = − λ ⁻¹ ln( X ) имеет экспоненциальное распределение с параметром (скорости) λ .
• Если X имеет стандартное равномерное распределение, то Y = X ⁿ имеет бета-распределение с параметрами (1/ n ,1). Как таковой,
• Распределение Ирвина – Холла представляет собой сумму распределений n i.id U (0,1).
• Распределение Бейтса представляет собой среднее значение распределений n i.id U (0,1).
• Стандартное равномерное распределение является частным случаем бета-распределения с параметрами (1,1).
• Сумма двух независимых равномерных распределений U ₁ (a,b)+ U ₂ (c,d) дает трапециевидное распределение , симметричное относительно своего среднего, на носителе [a+c,b+d]. Плато имеет ширину, равную абсолютной разнице ширины U ₁ и U ₂ . Ширина наклонных частей соответствует ширине самого узкого равномерного распределения.
  • Если равномерные распределения имеют одинаковую ширину w, результатом будет треугольное распределение , симметричное относительно своего среднего значения, на носителе [a+c,a+c+2w].
  • Сумма двух независимых, одинаково распределенных, равномерных распределений U ₁ (a,b)+ U ₂ (a,b) дает симметричное треугольное распределение на носителе [2a,2b].
• Расстояние между двумя равномерными случайными величинами iid | U ₁ (а,б)- U ₂ (а,б)| также имеет треугольное распределение , хотя и не симметричное, на носителе [0,ba].

Статистические выводы

Оценка параметров

Оценка максимума

Несмещенная оценка с минимальной дисперсией

При равномерном распределении с неизвестным несмещенная оценка минимальной дисперсии (UMVUE) для максимума равна: ${\displaystyle [0,b]}$ ${\displaystyle b,}$

${\displaystyle {\hat {b}}_{\text{UMVU}}={\frac {k+1}{k}}m=m+{\frac {m}{k}},}$

где – максимум выборки , а – размер выборки , выборка без замены (хотя это различие почти наверняка не имеет значения для непрерывного распределения). Это следует по тем же причинам, что и оценка дискретного распределения , и может рассматриваться как очень простой случай оценки максимального расстояния . Эта проблема широко известна как проблема немецких танков из-за применения максимальной оценки к оценкам производства немецких танков во время Второй мировой войны . ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle k}$

Метод оценки момента

Метод оценки моментов :

${\displaystyle {\hat {b}}_{MM}=2{\bar {X}},}$

где выборочное среднее. ${\displaystyle {\bar {X}}}$

Оценщик максимального правдоподобия

Оценка максимального правдоподобия :

${\displaystyle {\hat {b}}_{ML}=m,}$

где – максимум выборки , также называемый статистикой максимального порядка выборки. ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle m=X_{(n)},}$

Оценка минимума

При равномерном распределении с неизвестным a оценка максимального правдоподобия для a равна: ${\displaystyle [a,b]}$

${\displaystyle {\hat {a}}_{ML}=\min\{X_{1},\dots ,X_{n}\}}$,

образец минимум . ^[9]

Оценка средней точки

Середина распределения является одновременно средним и медианой равномерного распределения. Хотя и выборочное среднее, и выборочная медиана являются несмещенными оценками средней точки, ни один из них не является столь же эффективным , как выборочный средний диапазон , т.е. среднее арифметическое выборочного максимума и выборочного минимума, которое является оценкой UMVU средней точки (и также оценка максимального правдоподобия ). ${\displaystyle {\tfrac {a+b}{2}},}$

Доверительный интервал

Для максимального

Пусть это выборка, откуда находится максимальное значение в популяции. Тогда имеет плотность Лебега-Бореля ^[10] ${\displaystyle X_{1},X_{2},X_{3},...,X_{n}}$ ${\displaystyle U_{[0,L]},}$ ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle X_{(n)}=\max(X_{1},X_{2},X_{3},...,X_{n})}$ ${\displaystyle f={\frac {d\Pr _{X_{(n)}}}{d\lambda }}:}$

${\displaystyle f(t)=n{\frac {1}{L}}\left({\frac {t}{L}}\right)^{n-1}\!=n{\frac {t^{n-1}}{L^{n}}}1\!\!1_{[0,L]}(t),}$где - индикаторная функция ${\displaystyle 1\!\!1_{[0,L]}}$ ${\displaystyle [0,L].}$

Приведенный ранее доверительный интервал математически неверен, поскольку

${\displaystyle \Pr {\big (}[{\hat {\theta }},{\hat {\theta }}+\varepsilon ]\ni \theta {\big )}\geq 1-\alpha }$

невозможно решить без знания . Однако можно решить ${\displaystyle \varepsilon }$ ${\displaystyle \theta }$

${\displaystyle \Pr {\big (}[{\hat {\theta }},{\hat {\theta }}(1+\varepsilon )]\ni \theta {\big )}\geq 1-\alpha }$для любого неизвестного, но действительного ${\displaystyle \varepsilon \geq (1-\alpha )^{-1/n}-1}$ ${\displaystyle \theta ;}$

затем выбирают наименьшее из возможных значений, удовлетворяющее приведенному выше условию. Обратите внимание, что длина интервала зависит от случайной величины ${\displaystyle \varepsilon }$ ${\displaystyle {\hat {\theta }}.}$

Возникновение и применение

Вероятности для функции равномерного распределения легко вычислить благодаря простоте формы функции. ^[2] Таким образом, существуют различные приложения, для которых это распределение может использоваться, как показано ниже: ситуации проверки гипотез, случай случайной выборки, финансы и т. д. Кроме того, как правило, эксперименты физического происхождения следуют равномерному распределению (например, выброс радиоактивных частиц ). ^[1] Однако важно отметить, что в любом приложении существует неизменное предположение, что вероятность попадания в интервал фиксированной длины постоянна. ^[2]

Экономический пример равномерного распределения

В области экономики спрос и пополнение обычно не соответствуют ожидаемому нормальному распределению. В результате для лучшего прогнозирования вероятностей и тенденций используются другие модели распределения, такие как процесс Бернулли . ^[11] Но, по мнению Ванке (2008), в частном случае исследования времени выполнения заказа для управления запасами в начале жизненного цикла , когда анализируется совершенно новый продукт, равномерное распределение оказывается более полезным. ^[11] В этой ситуации другое распространение может быть нежизнеспособным, поскольку отсутствуют данные о новом продукте или история спроса недоступна, поэтому на самом деле не существует подходящего или известного распределения. ^[11] Равномерное распределение было бы идеальным в этой ситуации, поскольку случайная величина времени выполнения заказа (связанная со спросом) для нового продукта неизвестна, но результаты, вероятно, будут находиться в диапазоне между двумя вероятными значениями. ^[11] Таким образом, время выполнения заказа будет представлять собой случайную величину. На основе модели равномерного распределения можно было рассчитать другие факторы, связанные со временем выполнения заказа, такие как уровень обслуживания цикла и дефицит за цикл. Также было отмечено, что из-за простоты расчетов также использовалось равномерное распределение. ^[11]

Выборка из произвольного распределения

Равномерное распределение полезно для выборки из произвольных распределений. Общим методом является метод выборки обратного преобразования, который использует кумулятивную функцию распределения (CDF) целевой случайной величины. Этот метод очень полезен в теоретической работе. Поскольку моделирование с использованием этого метода требует инвертирования CDF целевой переменной, были разработаны альтернативные методы для случаев, когда CDF неизвестен в закрытой форме. Одним из таких методов является бракованная выборка .

Нормальное распределение является важным примером, когда метод обратного преобразования неэффективен. Однако существует точный метод — преобразование Бокса-Мюллера , который использует обратное преобразование для преобразования двух независимых однородных случайных величин в две независимые нормально распределенные случайные величины.

Ошибка квантования

При аналого-цифровом преобразовании возникает ошибка квантования. Эта ошибка связана либо с округлением, либо с усечением. Когда исходный сигнал намного больше одного младшего значащего бита (LSB) , ошибка квантования незначительно коррелирует с сигналом и имеет приблизительно равномерное распределение. Таким образом, среднеквадратическая ошибка следует из дисперсии этого распределения.

Генерация случайной переменной

Существует множество приложений, в которых полезно проводить имитационные эксперименты. Многие языки программирования имеют реализации для генерации псевдослучайных чисел , которые эффективно распределяются в соответствии со стандартным равномерным распределением.

С другой стороны, равномерно распределенные числа часто используются в качестве основы для генерации неравномерных случайных величин .

Если значение выбрано из стандартного равномерного распределения, то значение соответствует равномерному распределению, параметризованному с помощью и, как описано выше. ${\displaystyle u}$ ${\displaystyle a+(b-a)u}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle b,}$

История

Хотя историческое происхождение концепции равномерного распределения неубедительно, предполагается, что термин «равномерное» возник из концепции равновероятности в играх в кости (обратите внимание, что игры в кости будут иметь дискретное , а не непрерывное однородное выборочное пространство). Равновероятность была упомянута в книге Джероламо Кардано «Liber de Ludo Aleae» , руководстве, написанном в 16 веке и подробно описывающем расширенное исчисление вероятностей применительно к игральным костям. ^[12]

Смотрите также

• Дискретное равномерное распределение
• Бета-дистрибутив
• Преобразование Бокса – Мюллера
• Вероятностный график
• График вопросов-вопросов
• Прямоугольная функция
• Распределение Ирвина-Холла . В вырожденном случае, когда n = 1, распределение Ирвина-Холла создает равномерное распределение между 0 и 1.
• Распределение Бейтса — аналогично распределению Ирвина-Холла, но масштабировано для n. Как и распределение Ирвина-Холла, в вырожденном случае, когда n=1, распределение Бейтса генерирует равномерное распределение между 0 и 1.

Рекомендации

1. Деккинг, Мишель (2005). Современное введение в вероятность и статистику: понимание почему и как . Лондон, Великобритания: Спрингер. стр. 60–61. ISBN 978-1-85233-896-1.
2. Уолпол, Рональд; и другие. (2012). Вероятность и статистика для инженеров и ученых . Бостон, США: Прентис Холл. стр. 171–172. ISBN 978-0-321-62911-1.
3. Пак, Сон Ю.; Бера, Анил К. (2009). «Модель условной гетероскедастичности авторегрессии с максимальной энтропией». Журнал эконометрики . 150 (2): 219–230. CiteSeerX 10.1.1.511.9750 . doi :10.1016/j.jeconom.2008.12.014. 
4. «Равномерное распределение (непрерывное)». Матворкс . 2019 . Проверено 22 ноября 2019 г.
5. Илловски, Барбара; и другие. (2013). Вводная статистика. Университет Райса, Хьюстон, Техас, США: Колледж OpenStax. стр. 296–304. ISBN 978-1-938168-20-8.
6. Казелла и Бергер 2001, с. 626
7. https://www.stat.washington.edu/~nehemyl/files/UW_MATH-STAT395_moment-functions.pdf ^{[ пустой URL-адрес PDF ]}
8. https://galton.uchicago.edu/~wichura/Stat304/Handouts/L18.cumulants.pdf ^{[ пустой URL-адрес PDF ]}
9. . Поскольку у нас есть коэффициент максимизируется максимально возможным a , которое ограничено . Поэтому это максимум . ${\displaystyle L_{n}(a,b)=\prod _{i=1}^{n}f(X_{i})={\frac {1}{(b-a)^{n}}}\mathbf {1} _{[a,b]}(X_{1},\dots ,X_{n})}$
   ${\displaystyle ={\frac {1}{(b-a)^{n}}}\mathbf {1} _{\{a\leq \min\{X_{1},\dots ,X_{n}\}\}}\mathbf {1} _{\{\max\{X_{1},\dots ,X_{n}\}\leq b\}}}$
   ${\displaystyle n\geq 1}$ ${\displaystyle {\frac {1}{(b-a)^{n}}}}$ ${\displaystyle L_{n}(a,b)}$ ${\displaystyle \min\{X_{1},\dots ,X_{n}\}}$ ${\displaystyle a=\min\{X_{1},\dots ,X_{n}\}}$ ${\displaystyle L_{n}(a,b)}$
10. Нечвал К.Н., Нечвал Н.А., Васерманис Е.К., Макеев В.Я. (2002) Построение доверительных интервалов наименьшей длины. Транспорт и связь 3 (1) 95-103
11. Ванке, Питер (2008). «Единое распределение как первый практический подход к управлению запасами новой продукции». Международный журнал экономики производства . 114 (2): 811–819. doi :10.1016/j.ijpe.2008.04.004 – через Research Gate.
12. Беллхаус, Дэвид (май 2005 г.). «Расшифровка Liber de Ludo Кардано». История математики . 32 : 180–202. дои : 10.1016/j.hm.2004.04.001 .

дальнейшее чтение

• Казелла, Джордж; Роджер Л. Бергер (2001), Статистический вывод (2-е изд.), Thomson Learning, ISBN 978-0-534-24312-8, LCCN  2001025794

Внешние ссылки

• Онлайн калькулятор Равномерного распределения (непрерывный)