В геометрии и математической теории групп унимодулярная решетка — это целочисленная решетка с определителем 1 или −1. Для решетки в n -мерном евклидовом пространстве это эквивалентно требованию, чтобы объем любой фундаментальной области для решетки был равен 1.
Двумя известными примерами являются решетка E8 и решетка Лича .
Три наиболее важных примера унимодулярных решеток:
Целочисленная решетка унимодулярна тогда и только тогда, когда ее дуальная решетка целочисленна. Унимодулярные решетки равны своим дуальным решеткам, и по этой причине унимодулярные решетки также известны как самодуальные.
Для данной пары ( m , n ) неотрицательных целых чисел четная унимодулярная решетка сигнатуры ( m , n ) существует тогда и только тогда, когда m − n делится на 8, но нечетная унимодулярная решетка сигнатуры ( m , n ) всегда существует. В частности, четные унимодулярные определенные решетки существуют только в размерности, делящейся на 8. Примеры во всех допустимых сигнатурах даны конструкциями II m,n и I m,n соответственно.
Тета -функция унимодулярной положительно определенной решетки является модулярной формой , вес которой равен половине ранга. Если решетка четная, форма имеет уровень 1, а если решетка нечетная, форма имеет структуру Γ 0 (4) (т. е. является модулярной формой уровня 4). Из-за ограничения размерности на пространствах модулярных форм минимальная норма ненулевого вектора четной унимодулярной решетки не больше, чем ⎣ n /24⎦ + 1. Четная унимодулярная решетка, которая достигает этой границы, называется экстремальной. Экстремальные четные унимодулярные решетки известны в соответствующих размерностях до 80, [1] и их несуществование было доказано для размерностей выше 163 264. [2]
Для неопределенных решеток классификацию легко описать. Запишем R m , n для m + n размерного векторного пространства R m + n со скалярным произведением ( a 1 , ..., a m + n ) и ( b 1 , ..., b m + n ), заданным как
В R m , n существует одна нечетная неопределенная унимодулярная решетка с точностью до изоморфизма , обозначаемая как
который задается всеми векторами ( a 1 ,..., a m + n ) в R m , n со всеми целыми числами a i .
Не существует неопределенных даже унимодулярных решеток, если только
в этом случае существует единственный пример с точностью до изоморфизма, обозначаемый как
Это задается всеми векторами ( a 1 ,..., a m + n ) в R m , n такими, что либо все a i являются целыми числами, либо они все являются целыми числами плюс 1/2, и их сумма четна. Решетка II 8,0 такая же, как решетка E 8 .
Положительно определенные унимодулярные решетки были классифицированы до размерности 25. Существует уникальный пример I n ,0 в каждой размерности n меньше 8 и два примера ( I 8,0 и II 8,0 ) в размерности 8. Число решеток умеренно увеличивается до размерности 25 (где их 665), но после размерности 25 формула массы Смита-Минковского-Зигеля подразумевает, что число очень быстро увеличивается с размерностью; например, в размерности 32 их более 80 000 000 000 000 000.
В некотором смысле унимодулярные решетки вплоть до размерности 9 контролируются E 8 , а вплоть до размерности 25 они контролируются решеткой Лича, и это объясняет их необычайно хорошее поведение в этих размерностях. Например, диаграмма Дынкина векторов нормы 2 унимодулярных решеток в размерности до 25 может быть естественным образом отождествлена с конфигурацией векторов в решетке Лича. Резкий рост чисел за пределами 25 измерений может быть приписан тому факту, что эти решетки больше не контролируются решеткой Лича.
Даже положительно определенная унимодулярная решетка существует только в размерностях, кратных 8. Существует одна в размерности 8 ( решетка E 8 ), две в размерности 16 ( E 8 2 и II 16,0 ) и 24 в размерности 24, называемые решетками Нимейера (примеры: решетка Лича , II 24,0 , II 16,0 + II 8,0 , II 8,0 3 ). За пределами 24 измерений число увеличивается очень быстро; в 32 измерениях их более миллиарда.
Унимодулярные решетки без корней (векторы нормы 1 или 2) были классифицированы до размерности 28. Нет ни одной размерности меньше 23 (кроме нулевой решетки!). Есть одна в размерности 23 (называемая короткой решеткой Лича ), две в размерности 24 (решетка Лича и нечетная решетка Лича ), и Бахер и Венков (2001) показали, что есть 0, 1, 3, 38 в размерностях 25, 26, 27, 28, соответственно. За пределами этого числа их становится очень много; в размерности 29 их не менее 8000. В достаточно больших размерностях большинство унимодулярных решеток не имеют корней.
Единственным ненулевым примером даже положительно определенных унимодулярных решеток без корней в размерности меньше 32 является решетка Лича в размерности 24. В размерности 32 имеется более десяти миллионов примеров, а выше размерности 32 их число растет очень быстро.
В следующей таблице из (King 2003) приведены числа (или нижние границы) четных или нечетных унимодулярных решеток в различных размерностях, а также показан очень быстрый рост, начинающийся вскоре после размерности 24.
За пределами 32 измерений цифры растут еще быстрее.
Вторая группа когомологий замкнутого односвязного ориентированного топологического 4-многообразия является унимодулярной решеткой. Майкл Фридман показал, что эта решетка почти определяет многообразие : существует единственное такое многообразие для каждой четной унимодулярной решетки и ровно два для каждой нечетной унимодулярной решетки. В частности, если мы возьмем решетку за 0, это влечет гипотезу Пуанкаре для 4-мерных топологических многообразий. Теорема Дональдсона утверждает, что если многообразие гладкое и решетка положительно определена, то оно должно быть суммой копий Z , поэтому большинство этих многообразий не имеют гладкой структуры . Одним из таких примеров является многообразие .
